раб очька's Journal
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends View]

Friday, May 10th, 2019

    Time Event
    1:02a
    Пусть (M, \omega) -- компактное симплектическое многообразие. Гамильтоновым векторным
    полем X_H (с периодическим Гамильтонианом H: S^1\times M \to R) на M называется решение
    линейного уравнения

    \omega(X_H,_)=-dH

    это векторное поле зависит от времени, но периодически

    Диффеоморфизм M называется гамильтоновым диффеоморфизмом, если он является
    потоком X_H при t=1 для какого-нибудь H. Множество гамильтоновых дифф-мов обозначается
    Ham(M)

    На Ham(M) есть метрика Хофера:
    для гамильтониана H берем среднее значение по времени разницы минимума и максимума H

    то есть \int_0^1 sup H_t - inf H_t dt

    а потом берем инфимум по всем гамильтонианам, дающим данный диффеоморфизм.

    Утверждение:
    С^1 топология сильнее топологии Хофера

    Нам нужно найти C^1 окрестность тождественного диффеоморфизма, которая имеет
    произвольно маленький диаметр в метрике Хофера.

    Достаточно С^1 близкие к тождественному симплектоморфизмы M можно отождествить
    c 1-формами на M: диагональ в M\times M (с обычной симплектической струткурой на произведении)
    является лагранжевым подмногообразием, по теореме Дарбу-Вайнштейна его трубчатая окрестность симплектоморфна
    окрестности нулевого сечения в T*M. Рассмотрим все диффеоморфизмы, графики которых лежат в этой
    окрестности Дарбу и с производными, достаточно маленькими, чтобы график переходил в график (то есть в некоторую
    1-форму). График симплектоморфизма при этом отображении переходит в замкнутую форму.
    То, что график гамильтонова диффеоморфизма перейдет в точную форму, отсюда не следует. Однако, если мы еще уменьшим
    C^1 окрестность, то можно этого добиться:

    рассмотрим достаточно маленький гамильтонов дифф-изм f и выберем его гамильтониан H.
    соответсвующую 1-форму можно умножать на числа от одного до нуля, получая путь T симплектоморфизмов
    из тождественного в f. пройдем по этому пути, а потом вернемся по пути из гамильтоновых
    диффеоморфизмов, полученных интегрированием (зависящего от времени) векторного поля гамильтониана H
    (точнее, обратного векторного поля).

    Этому пути соответсвет класс первых когомологий при так называемом флукс-отображении:
    берем петлю симплектоморфизмов, дифференцируем, получает зависящее от времени векторное поле,
    дуализируем его с помощью симплектической формы, получаем путь 1-форм \lambda_t. Интегрируем его
    по t и получаем 1-форму на M. По формуле Картана каждая форма в семействе замкнутая
    d(i_X\omega)=L_X\omega - i_Xd\omega = 0, а значит и после интегрирования по t будет замкнутная.
    Это отображение не зависит от класса гомотопии пути. Гамильтоновы семейства отправляются в точные 1-формы.
    Более того, ядро флукс-отображения это В ТОЧНОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫ пути.
    наш путь T определен таким образом, что его образ это просто класс 1-формы, задающей f
    (первая часть пути интегрируется в этот класс, а вторая гамильтонова ни на что не влияет).

    Известно, что образ флукс-отображения дискретен (https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-006-0575-6)
    в частности у 0 есть окрестность, которая не пересекает ни один другой элемент образа, то есть если 1-форма
    достаточно маленькая, то она уходит в 0. Следовательно путь T гамильтонов.

    Теперь мы знаем, что если гамильтонов диффеоморфизм f достаточно C^1 близок к тождественному, то его график
    это точная 1-форма \lambda на M (после идентификации Дарбу-Вайнштейна), и мы имеем гамильтонов путь
    t\lambda из нашего f в Id. То есть t\lambda=dH_t для какого-то гамильтониана.
    Hofer(f) \le \int_t max H_t - min H_t \le \int_t \int_l dH_t = \int_t \int_l t\lambda

    где последний интеграл берется по какому-то пути, соединяющиму точки максимума и минимума на M.
    Длина этого пути ограничена диаметром M,
    если |\lambda| \le epsilon то Hofer(f) \le int_t tDiam(M)\epsilon \le C\epsilon

    то есть можем сделать какой угодно маленький диаметр Хофера у C^1 открытой окрестоности Id.


    ----
    https://arxiv.org/abs/1905.02627
    A Comparison between Hofer's metric and C^1-topology
    Yoshihiro Sugimoto

    Current Music: SCH - Kad Se Svrsi Sve , edit ( Zagreb 1990 Live Industrial/ Noise/ Drone Bosnia)

    << Previous Day 2019/05/10
    [Calendar]
    Next Day >>

About LJ.Rossia.org