друг друга пердуна's Journal

Если у конечной группы коммутирует больше 63% пар элементов (больше 5/8), то группа абелева.

Пусть G -- конечная неабелева группа, Z -- ее центр. G/Z нециклическая, так как центральное расширение
абелевой с помощью циклической абелево. G/Z имеет порядок не меньше 4, так как все группы порядка до 3х циклические.

Доля коммутирующих элементов равна

F = Z/G + sum C_x / G^2

где Z,G,C_x -- число элементов центра, группы, централизатора нецентрального элемента x (abuse of notation).
Из теоремы Лагранжа следует, что если подгруппа собственная, то ее порядок не больше половины порядка группы, значит для нецентрального x:

C_x/G \le 1/2

следовательно

C_x / G^2 \le 1/2G

и (сумма по нецентральным элементам x)

sum C_x / G^2 \le (G-Z)/2G

теперь

F \le Z/G + (G-Z)/2G = 1/2+1/2*(Z/G)

Учитывая, что Z/G \le 1/4

F \le 1/2+1/2*1/4 = 5/8

----

тут совсем простая оценка, используются самые дубовый факты -- что собственная подгруппа не может содержать больше половины элементов и что группы размера 1,2 и 3 циклические. но вообще более тонкие свойства конечных групп, в частности классификацию можно переводить в такого рода вероятностные утверждения (а потом доказывать независимо). Люди этим занимаются, типа какова вероятность сгенерировать нильпотентную или разрешимую подгруппу и тд.

The Probability of Generating a Finite Soluble Group
R. M. Guralnick J. S. Wilson
https://academic.oup.com/plms/article-abstract/81/2/405/1571778

Current Music: Billie Eilish - bad guy