glupyy vopros, yavlyaetsya li Out(S_g) elementarno ekvivalentnym Out(F_g)?
prichin dlya etogo nikakih net, no
1) S_g (fundamental'naya gruppa poverhnosti) elementarno ekvivalentna lyuboy svobodnoy gruppe F_m (kotorye vse elementarno ekvivalentny drug drugu) pri g>1. Eto teorema Zlila Sely
2) Izvestno chto pri g>3 Out(F_3) ne yavlyaetsya lineynoy gruppoy. A dlya g=2 Out(F_2)=GL(2,Z)
http://pi.math.cornell.edu/~vogtmann/papers/Autosurvey/autosurvey.pdf3) Esli by otvet na vopros byl polozhitel'nym, to po teoreme Mal'ceva o kotoroy ya pisal neskol'ko postov nazad pri g>3 Out(S_g) byla by nelineynoy
4) Edinstvenny dokazanyy sluchay gipotezy o lineynosti Mapping Class Group -- dlya g=2
https://arxiv.org/abs/math/0010310----
Elementarnaya ekvivalentnost' grupp eto kogda dve gruppy imeyut odinakovoe uptrapower dlya kakogo-to ultrafiltra. eto bespoleznoe opredelenie, no poleznoe ochen' nudno (slovami eto to chto gruppy udovletvoryayut odnim i tem zhe formulam pervogo poryadka).
eto interesnoe dovol'no gruboe otnoshenie ekvivalentnosti dlya grupp, dostatochno zagadochnoe.
naprimer dve abelevy gruppy bez krucheniya A i B elementarno ekvivalentny togda i tol'ko togda kogda dlya lyubogo prostogo p
|A/pA|=|B/pB|. To est' elementarnye klassy ekvivalentnosti opredelyayutsya naborom natural'nyh chisel (i znachka \infty), v to vremya kak klassifikaciya s tochnost'yu do izomorfizma dikaya -- rank mozhet byt' lyuboy moshchnosti naprimer.
a dve konechno porozhdennye nilpotentnye gruppy G i H elementarno ekvivalentny togda i tol'ko togda, kogda
H\times Z = G\times Z
dve lineynye gruppy GL(n, K) i GL(m, R) elementarno ekvivalentny togda i tol'ko togda kogda K=R i n=m
i tak dalee