| 12:04a |
Есть известная теорема Минковского:
Пусть n_i -- (некомпланарный) набор m различных векторов единичной длины в евклидовом пространстве, и
F_i набор положительных чисел, такой что sum_i F_i n_i = 0. Тогда:
существует единственный с точностью до параллельного переноса выпуклый замкнутый многогранник,
такой что n_i являются единичными нормалями к его граням, а F_i -- площадями соотвествующих граней.
Иными словами, выпуклый многогранник восстанавливается (с точностью до параллельного переноса)
по направлениям своих граней и по площядям граней, при этом для любого набора векторов и площадей,
удовлетворяющих очевидному необходимому условию такой многогранник существует.
---
Доказательство единственности немного нудное, их несколько и не все работают для большой размерности,
поэтому примем единственность без доказательства.
Для существования же есть красивый аргумент Александрова: зафиксируем n_i
Рассмотрим пространство всех таких задач при фиксированных n_i:
A = {(F_1, ... F_m): F_i>0 и sum_i F_i n_i = 0}
это какое-то открытое выпуклое подмножество в R^(m-k) (k линейных уравнений по числу
размерности евклидова пространства и m неравенств открытых). Это множество непустое,
потому что уж какой-то выпуклый многогранник с данными нормальными к граням векторами есть.
Также рассмотрим пространство решений, то есть всех выпуклых многогранников с данными n_i
Они параметризованы набором действительных чисел h_i, i=1..m (положительных или отрицательных), которые говорят что многогранник высекается гипер-плоскостями n_i\dot x_i = h_i. Эти числа называются опорными числами.
На самом деле некоторые гипер-плоскости могут быть избыточные, но для открытого подмножества наборов
опорных чисел h_i в R^m у соответсвующего многогранника m граней (общее положение). Возьмем это открытое поднмножество профакторизуем по действию группы паралельных переносов (k-мерной) и получим открытое множество в R^(m-k),
которое обозначим B. Оно также непустое.
У нас теперь есть два открытых подмножеств A и B в R^(m-k) между которыми есть отображение
f: B -> A которое решению ставит в соответсвие задачу (то есть просто многограннику набор площадей его граней). Это отображение непрерывное и по единственности (которое мы приняли на веру) -- инъективное.
По теореме Брауэра об инвариантности области это отображение также и открытое.
Образ также и замкнут (предел многранников -- многранник)
Но A было выпуклое, значит связное, значит f -- гомеоморфизм.
---
Гипотеза:
Может ли аналогичное утверждение о единственности быть верно для любой достаточно общей треугольной полиэдральной поверхности в R^3,
не обязательно выпуклой?
Пусть у нас есть полиэдральная поверхность с треугольными гранями в R^3
Каждый треугольник задает своей ориентацией в пространстве элемент SO(3) или S^3 (для последнего надо
сделать некоторый выбор, типа спин-структуры, но так как есть погружение то он уже вроде как есть. еще надо в каждом треугольнике выделить одну точку и сторону, можно это сделать просто упорадочив все вершины многогранника).
То есть есть ли открытое плотное множество полиэдров в R^3, каждый элемент которого однозначно
восстанавливается по ориентациям своих граней и их площадям?
Current Music: Juleny Favela - Nunca es suficiente |