https://soundcloud.com/kinkgong/ca-tru-vietnam

Офигительный комбинаторный объект С(S) можно поставить в соответствие любой поверхности S -- комплекс
кривых. это такой симплициальный комплекс, вершины которого -- гомотопические классы простых замкнутых
кривых, а N+1 вершин принажделжат N-симплексу, если они могут быть реализованы непересекающимися кривыми.
Он локально бесконечный, но конечномерный. Можно задать на нем метрику, просто определив на каждом
симплексе геометрию евклидова симплекса с длиной стороны 1.
Так вот для каждой поверхности S (ориентированная, с каким-то кол-вом проколов) есть \delta, что C(S)
является \delta-гиперболичным (так как \delta-гиперболичность это инвариант квазиизоморфизма, а наш
комплекс с метрикой квазиизоморфен своему 1-скелету,то достаточно доказывать для 1-скелета, т.е.
понимать пары непересекающихся кривых). Более того,если S не сфера и не сфера с 1, 2 или 3 проколами,
то C(S) имеет бесконечный диаметр.
А вообще геодезические на поверхностях могут быть устроены очень сложно, НЕОЖИДАННО.