oort: А как квадратичный за�

maxmornev
2014-05-07 14:59 (ссылка)

В арифметике есть такая штука: символ норменного вычета со значениями в \mu_2 =
{+1, -1}, он же символ Гильберта. Для пары a, b ненулевых элементов локального
поля символ норменного вычета (a,b) равен 1, если уравнение ax^2 + by^2 = z^2
имеет решение в K, и -1 в противном случае.

Если K --- числовое поле, p --- place of K, то можно ввести локальный символ (a,b)_p
как символ норменного вычета в пополнении K в p. Символы для разных пополнений
связаны формулой Гильберта: \prod_p (a,b)_p = 1 (произведение по всем пополнениям;
как обычно, почти все символы равны +1). Для K = Q эта формула равносильна закону
квадратичной взаимности. Пойнт в том, что (a,b)_p выражается через символы
Лежандра (забыл как).

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	maxmornev 2014-05-07 15:03 (ссылка)
	>выражается через символы Лежандра (забыл как). Ага, Википедия спешит мне на помощь: http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_symbol#Hilbert_symbols_over_the_rationals (Ответить) (Уровень выше)

	maxmornev 2014-05-07 15:08 (ссылка)
	In short, закон взаимности Вейля это аналог закона взаимности Гильберта (формула с произведением) для функциональных полей. (Ответить) (Уровень выше)

maxmornev
2014-05-07 16:30 (ссылка)

Важно еще вот что сказать.

Локальный символ Вейля принимает значения в мульт.
группе базового поля. Символ Гильберта принимает
значения в {+1,-1}. Это неспроста.

Тот и другой символ вычисляются через значения функции в точке (буквально в случае Вейля, и через
приведение числа по модулю простого в случае
Гильберта). Дальше возникает проблема: в теории чисел
поля для разных точек не являются расширениями какого-нибудь базового поля. Значения для разных
точек нельзя перемножить.

Чтобы это таки сделать, значения предварительно
приводят по модулю квадратов (или кубов, etc.)
символом Лежандра. Отсюда {+1,-1}. В случае
квадратов символы Лежандра от a и a^{-1} совпадают.
Поэтому формула для символа Гильберта через
Лежандра из Вики это в точности формула для
локальных символов Вейля + Лежандр, если забыть про
знак \varepsilon(p).

Как возникает \varepsilon(p), я не вполне понимаю, но
подозреваю, что это сайдэффект приведения по
модулю квадратов.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

maxmornev
2014-05-07 18:39 (ссылка)

> Как возникает \varepsilon(p), я не вполне понимаю, но
> подозреваю, что это сайдэффект приведения по
> модулю квадратов.

Тьфу. Символ Лежандра от -1 это и есть \varepsilon(p). Поэтому формула для
символа Гильберта в Вики это буквально символ Лежандра от символа Вейля (a,b)_p.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	maxmornev 2014-05-07 18:42 (ссылка)
	> и есть \varepsilon(p). (-1)^\varepsilon(p), конечно. (Ответить) (Уровень выше)

	(Анонимно) 2014-05-07 19:00 (ссылка)
	ты бы подучился сначала прежде чем смущать профессора своей дезинформацией это вопрос для истинных профессионалов кыш (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	maxmornev 2014-05-07 19:14 (ссылка)
	``Я у мамы тролль'' (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2014-05-07 19:40 (ссылка)
	я у мамы хуй сосал (Ответить) (Уровень выше)

	(Анонимно) 2014-05-07 19:44 (ссылка)
	займись лучше делом арифметика не твой конек пруф: https://fbcdn-sphotos-b-a.akamaihd.net/hphotos-ak-prn2/t31.0-8/322262_10150447852827280_1110423563_o.jpg (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	maxmornev 2014-05-07 20:26 (ссылка)
	> арифметика Анонима забыли спросить. Трагедия! О, несправедливый, жестокий мир. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2014-05-07 20:48 (ссылка)
	ты так горд тем что ты не аноним что я даже пустил слезинку должно быть это так здорово иметь собственный ник аватарку писать осмысленные посты зарабатывать сетевой авторитет мм.... завидую тебе (Ответить) (Уровень выше)

	maniga 2014-05-08 00:22 (ссылка)
	> в теории чисел поля для разных точек не являются > расширениями какого-нибудь базового поля. о! так вот чем теория чисел отличается от геометрии (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	maxmornev 2014-05-08 01:27 (ссылка)
	Дык! Поле из одного элемента, черт бы его побрал. (Ответить) (Уровень выше)

	maxmornev 2014-05-08 01:31 (ссылка)
	Плюс еще архимедовы точки. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	oort 2014-05-08 01:41 (ссылка)
	анализ, царь овощей! спасибо за ответы, буду читать завтра. вот еще валюация оказывается это аналог локальной параметризации, лучше поздно чем никогда (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	maxmornev 2014-05-08 04:56 (ссылка)
	Незачто! Спасибо тебе за вопрос. Навел на интересное наблюдение. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2014-05-08 12:21 (ссылка)
	Спасибо тебе за благодарность! Будешь в Москве словимся, пообщаемся. Извини, что так редко задаю вопросы. Еще раз спасибо! (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	oort 2014-05-08 12:58 (ссылка)
	у тебя будапешт что ли? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2014-05-08 15:18 (ссылка)
	А какая разница? Это что-то меняет? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	oort 2014-05-08 15:23 (ссылка)
	нет, конечно. просто проблему здесь видишь только ты, по-моему. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2014-05-08 16:41 (ссылка)
	А тебе не похуй? Я почувствовал вкус крови и травлю этого тюленя, за версту таких чую. Никто не смеет пререкаться с анонимусом. (Ответить) (Уровень выше)