Музыка: | Timothy Diwema Protege moi |
Придумал кстати план курса по геометрии, построенный вокруг синтетических методов и многообразий неотрицательной кривизны. Без ухода в александровскую науку, все в римановом мире, но без анализа.
Синтетическая геометрия
1) Римановы многообразия, связность Леви-Чивиты, тензор Римана, секционная кривизна.
2) Геодезические, поля Якоби. Теоремы сравнения Рауха и Топоногова. Модельные пространства: геометрия Лобачевского, сферическая геометрия, геометрия Евклида. Синтетическое определение ограниченной секционной кривизны (по Александрову).
3*) Пространства ограниченной снизу кривизны. Глобальная теорема Топоногова и пэтчворк Александрова. Сходимость Громова-Хаусдорффа, теорема стабильности Перельмана, стратификация Перельмана (без доказательств).
4) Римановы многообразия неотрицательной кривизны. Выпуклые функции, тотально выпуклые и тотально геодезические подмногообразия. Регулярность выпуклых множеств. Фильтрация Громолла-Чигера. Душа открытого риманова многообразия неотрицательной кривизны.
5) Кобордизм, рудименты теории Морса, тривиальный кобордизм. Ретракция Шарафутдинова. Единственности души с точностью до изометрии.
6) Римановы субмерсии, формулы О'Нила. Многообразия положительной кривизны -- примеры Эшенбурга, Берже, Уоллаха и Базайкина.
7) Лемма Перельмана о плоской полоске. Ретракция Шарафутдинова -- риманова субмерсия. Гипотеза о душе.
8) Теорема Берже о сфере (топологический вариант, по Громову)
Литература:
Anton Petrunin, Exercises in Orthodox Geometry
https://github.com/anton-petrunin/orthodox
Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry
G. Perelman, Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll
Jianguo Cao and Mei-Chi Shaw, A new proof of Cheeger-Gromoll soul conjecture and Takeuchi Theorem
https://pdfs.semanticscholar.org/b373/c46004dd74e3c4be1adae13f207242b60ab4.pdf
Detlef Gromoll and Gerard Walschap, Metric Foliations and Curvature
Misha Gromov, Sign and geometric meaning of curvature