кстати вот кажется открытый вопрос по игре Geomag:



любой ли ромб со стороной 1 в R^3 можно затянуть иммерсированной полиэдральной поверхностью с гранями -- равносторонними треугольниками с длиной стороны 1.

общий вопрос для замкнутой ломаной со звеньями длины 1 точно открыт
https://www.math.brown.edu/~rkenyon/openprobs/index.html

но, кажется, что понятно, что случай с четырехзвенной ломаной ("сломаным ромбом") самый сложный.

общее утверждение можно доказывать по индукции по длине ломаной, используя комбинаторный вариант утверждения, которое можно назвать "неравенство на талию".

назовем талией кратчайшую прямую, соединяющую две вершины на ломаной, разбивающие кривую на две равные части (ну или части, отличающиеся на единицу, если нечетная длина у ломаной). кажется, что худший случай (самая большая талия) это когда кривая -- правильный многоугольник длины L, а его талия это соотвественно самая большая хорда.
то есть есть неравенство Waist < C*L
где C это типа комбинаторное pi/2 -- оно для каждого L будет свое, но понятно какое.

все это еще, наверное, нужно продисторсить на аддитивную константу, не больше 3, то есть Waist < C*L + r (потому что доказывать это все надо будет непрерывными методами, и талию возможно придется пошевелить, чтобы она проходила через вершины ломаной)

ну и потом доказывать по индукции -- брать талию, превращать ее в ломаную со звеньями длины 1 (длину при этом достаточно увеличивать не больше чем на 2) и утверждать, используя неравенство из предыдущего параграфа, что эта ломаная талия будет иметь длину меньше, чем половинки ломаной, которые она разделяет. Ну и на каждую натягивам по поверхности.

проблема с малыми значениями L как раз в том, что когда мы талию делаем ломаной, увеличиваем ее длину, и она может получиться такой же длины как половинка. с ромбом это видно. с шестиугольником и дальше все нормально уже.

как доказывать для ромба вообще непонятно -- если ответ отрицательный, то это должна быть какая-то теория чисел разве что (взять адский иррациональный угол и искать противоречие с соотношениями)
если ответ положительны то непонятно как строить -- мало свободы.