Какие структуры вы знаете на пространстве полиэдральных поверхностей (с границей) в R^3? Пересечения разрешены.
У меня есть иммерсированная в R^3 поверхность фиксированного комбинаторного типа, склеенная из конечного числа равносторонних треугольников длины 1, с связной границей.
И я рассматриваю множество всех таких иммерсий, с точностью до изометрии R^3.
ну во-первых, это действительно-алгебраическое множество, которое задано системой квадратичных уравнений (для каждого ребра уравнение "расстояние=1"), потом его нужно отфакторизовать по изометриям (по сдвигам проблем нет выбрать слайс, а с поворотами не вполне понятно как делать), но можно просто закрепить один треугольник и получить алгебраическое конфигурационное пространство, учитывающее повороты.
это конфигурационное пространство алгебраическое, в частности у него конечное число компонент связности,
например. Также не все компоненты являются точками -- существуют изгибаемые многогранники, то есть непрерывные семейства неконгруэнтных изометрических иммерсий.
Из этого, например, можно вывести, показав, что объем замкнутого многогранника является корнем полинома с коэффициентами , которые выражаются (алгебраически) через длины сторон, что на компонентах связности объем постоянен, то есть при изгибании не меняется (гипотеза кузнечных мехов). На самом деле даже инвариант Дена не меняется. То есть у данного полиэдра может быть только конечное число возможных объемов.
В принципе это забавно, что набор значений объемов -- внутренний инвариант поверхности. Можно взять их сумму или произведение. Как его найти чисто по метрике на полиэдре, например?

Так вот из пространства полиэдров в пространство замкнутых ломаных есть отображение. Полиэдр отправляем в границу. Это просто проекция, по теореме Тарского -- образ -- задан конечным набором алгебраических уравнений и неравенств.
Пространство ломаных длины n изучено значительно лучше, его можно получить симплектической редукцией на (S2)^n по диагональному действию SO(3) -- отображение моментов -- сумма ребер ломаных как векторов, 0 отображения моментов -- как раз условие замыкания цепи.

На тривиальных примерах: m равносторонних треугольников с общей вершиной приклееных последовательно (так что замыкаются, или нет, ну типа такая ромашка или звезда) получается как раз половина размерности. То есть изгибания границы, индуцированные с изгибания полиэдра имеют половину размерности от всех изгибаний границы как ломаной. И лагранжевы.

При этом у самого полиэдра пространство конфигураций может быть сколько угодно многомерным (можно приваривать в нему кучу изгибамемых полиэдров). также граница может быть жесткой (и так будет почти всегда, почти все полиэдры жесткие), то есть образ может иметь и нулевую размерность.

Но вот гипотеза что образ всегда изотропный, то есть симплектическая форма Каповича-Милсона зануляется.

Я думал как-то склеивать поверхности из звезд и кусков звезд, но ничего не получается, ни за размерностю сделить ни за изотропностью тем более. Это примерно как пытаться из уравнений задающих конфигурационное пространство пытаться что-то выводить про размерность -- они могут быть сильно зависимы и тд.