| |||
|
|
Кстати, вот, видимо, открытый вопрос: S -- замкнутая гладкая риманова поверхность (иммерсированная) в R^3 Может ли у нее быть нетривиальная однопараметрическая изометрическая деформация, то есть семейство иммерсий f_t: S \to R^3 которые индуцируют одну и ту же метрику на S и не переводятся одна в другую изометрией R^3 Иными словами, существуют ли изгибаемые замкнутые поверхности. На самом деле непонятно даже, должно ли пространство изометрических изгибаний быть конечномерным. Для поверхностей с краем -- ответ да, можно взять однопараметрическую деформацию катеноида в геликоид и выбрать маленкий диск на поверхности. Ну или кусок конуса разворачиваете в плоскость. Даже с положительной кривизной локально поверхности довольно изгибаемы -- возьмите кусок поверхности вращения дуги окружности вокруг какой-нибудь хорды, отличной от диаметра (сигара) -- она изометрична куску сферы. Для полиэдров ответ тоже да, бывают изгибаемые многогранники, но их примеры очень ограничены и более-менее все происходят из хитрых вариаций конструкции французского инженера Брикара из 19 века. Неотрицательность кривизны (поверхность локально всегда находится с одной стороны от касательной плоскости) влечет выпуклость и, следовательно, жесткость, но каких-то других критериев жесткости, кроме выпуклости, известно мало. Добавить комментарий: |
||||||||||||||