локальная невложимость гиперповерхностей отриц. кривизны
График функции f=X^2-Y^2 является поверхностью отрицательной кривизны в R^3.
Пространство отрицательной кривизны размерности n больше двух, однако, нельзя изометрично вложить в
R^{n+1} даже локально.

Пусть M -> L изометричное вложение.
Разложим ограничение на M связности Леви-Чивиты D^L на L по касательному TM и нормальным NM
компонентам.
Утверждение (упражнение): эти компоненты это соответсвующая связность Леви-Чивиты на M и симметрическая форма (в частности тензор) со значением в NM, то есть

D^L_x(y) = D^M_x(y) + a(x,y)

a(.,.) называется второй фундаментальной формой, а само утверждение формулой Гаусса.
Из формулы Гаусса следует соотношение на кривизну Римана (верхний индекс L везде
означает отношение к амбиентному многообразию, а M -- к погруженному):

(R^L(x,y)z,w) = (R^M(x,y)z,w) + (a(x,z),a(y,w)) - (a(y,z),a(x,w))

В частности, для секционной кривизны (везде рассматриваем x и y ортонормированными, чтобы не было знаменателей):

(R^L(x,y)y,x) = (R^M(x,y)y,x) + (a(x,y),a(y,x)) - (a(y,y),a(x,x))

Принимая во внимание, что L = R^{n+1}, а M -- гиперповерхность отрицательной кривизны в римановом многообразии, получаем

a(x,y)a(y,x) - a(y,y)a(x,x) > 0

a(x,y)^2 > a(y,y)a(x,x) (*)

В размерности 2 такое может быть:
форма
2 0
0 -2
является второй фундаментальной формой для гиперболоида, с которого мы начали, для которой (*)
имеет место (по причине того, что (x-y)^2 > 0 при x \neq y).

Но в размерности больше 2 у нас всегда найдется двумерное неотрицательное по отношению к форме a(.,.)
или двумерное неположительное подпространство, и тогда неравенство (*) противоречит
Коши-Шварцу для соотвествующего двумерного подпространства.

Обратите внимание, что тут мы использовали то, что метрика риманова, когда перешли от скалярного произведения значений формы a(.,.) к обычному умножению в R. В лоренцевом случае так сделать нельзя,
так как (x,y) может быть положительным, отрицательным или нулевым.
Само утверждение тоже не верно в лоренцевом случае, конечно, так всегда можно вложить риманово многообразие постоянной кривизны -1 в V(-,+,+,...)