| |||
|
|
прикольный аргументы кстати для доказательства теоремы Лиувилля на решетке Вот кстати, пусть у нас есть решетка Z^2, любая ограниченная гармоническая функция на ней -- константа. Гармоническая функция значит, что значение в точке -- среднее арифметическое значений у 4 соседей. док-во: рассмотрим пространство ограниченных функций на Z^2 L^\infty и два оператора сдвига (вправо и вверх) на нем R и T на L^\infty есть *-слабая топология (оно двойственно к пространству всех суммируемых функций), которая совпадает с топологией поточеченой сходимости, и по теореме Банаха-Алаоглу замкнутый шар *-компактен. условие гармоничности это просто f=0.25(R(f)+T(f)+R^-1(f)+T^-1(f)) и так как сдвиги непрерывные операторы, множество гармонических функций замкнуто. Возьмем пересечение единичного замкнутого шара и множества всех гармонических функций. это *-компактное выпуклое множество. обозначим его A. напомню, что экстремальная точка выпуклого множества это такая, которая не лежит на отрезке, соединяющем две точки множества. экстремальные точки A -- постоянные функции: если f\in A, то R(f), T(f), R^-1(f), T^-1(f)\in A и значит f=0.25(R(f)+T(f)+R^-1(f)+T^-1(f)) тривиальная выпуклая комбинация (по экстремальности), т.е. f=R(f)=T(f) теорема Крейна-Мильмана говорит, что в нашей ситуации: выпуклое компактное множество в (хаусдорфовом локально выпуклом топологическом) векторном пространстве является замыканием выпуклой оболочки своих экстремальных точек. то есть любая функция из A является пределом линейных комбинаций констант, то есть константой. Добавить комментарий: |
||||||||||||||