Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет друг друга пердуна ([info]oort)
@ 2019-11-02 11:23:00

Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
прикольный аргументы кстати для доказательства теоремы Лиувилля на решетке

Вот кстати, пусть у нас есть решетка Z^2, любая ограниченная гармоническая функция на ней -- константа.
Гармоническая функция значит, что значение в точке -- среднее арифметическое значений у 4 соседей.

док-во:

рассмотрим пространство ограниченных функций на Z^2 L^\infty и два оператора сдвига (вправо и вверх) на нем
R и T


на L^\infty есть *-слабая топология (оно двойственно к пространству всех суммируемых функций), которая совпадает с топологией поточеченой сходимости,
и по теореме Банаха-Алаоглу замкнутый шар *-компактен.
условие гармоничности это просто f=0.25(R(f)+T(f)+R^-1(f)+T^-1(f)) и так как сдвиги непрерывные операторы, множество гармонических функций замкнуто.
Возьмем пересечение единичного замкнутого шара и множества всех гармонических функций.
это *-компактное выпуклое множество. обозначим его A.

напомню, что экстремальная точка выпуклого множества это такая, которая не лежит на отрезке, соединяющем две точки множества. экстремальные точки A -- постоянные функции:
если f\in A, то R(f), T(f), R^-1(f), T^-1(f)\in A и значит
f=0.25(R(f)+T(f)+R^-1(f)+T^-1(f)) тривиальная выпуклая комбинация (по экстремальности), т.е.
f=R(f)=T(f)

теорема Крейна-Мильмана говорит, что в нашей ситуации: выпуклое компактное множество в (хаусдорфовом локально выпуклом топологическом) векторном пространстве является замыканием выпуклой оболочки своих экстремальных точек.
то есть любая функция из A является пределом линейных комбинаций констант, то есть константой.


(Читать комментарии)

Добавить комментарий:

Как:
( )анонимно- этот пользователь отключил возможность писать комментарии анонимно
Identity URL: 
имя пользователя:    
Вы должны предварительно войти в LiveJournal.com
 
E-mail для ответов: 
Вы сможете оставлять комментарии, даже если не введете e-mail.
Но вы не сможете получать уведомления об ответах на ваши комментарии!
Внимание: на указанный адрес будет выслано подтверждение.
Имя пользователя:
Пароль:
Тема:
HTML нельзя использовать в теме сообщения
Сообщение:



Обратите внимание! Этот пользователь включил опцию сохранения IP-адресов тех, кто пишет анонимно.