Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет раб очька ([info]oort)
@ 2019-11-13 00:47:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
пусть у нас есть пространство гладких отображений окружности в R^3, сохраняющих длину (пока не факторизуем по поворотам, не факторизуем по изометриям R^3).

пусть X,Y два нормальных векторных поля на так погруженной окружности s, которые получаются
как производные в нуле двух однопараметрических деформаций, сохраняющих длину. по формуле для
первой вариации длины это что-то типа любое нормальное векторное поле X, такое что (X',s') = 0
(корче касательные вектора к пространству изометрических иммерсий окружности)


можно взять эти два векторных поля X,Y и векторное поле s' , взять det(X,Y,s') в каждой точке
и проинтегрировать. это кососеммитрическая 2-форма w(X,Y). вроде также и невырождена

пусть теперь M это иммерсированная поверхность в R^3 с границей s. рассмотрим два нормальных векторных поля на M, которые являются производными в нуле двух изгибаний M (то есть однопараметрических семейств изометрических иммерсий). обозначим их ограничения на s X и Y. Верно ли, что w(X,Y)=0?

короче говоря, что на пространстве изометрических иммерсий окружности есть симплектическая структура (получаемая как предел симплектической структур Каповича-Милсона на полигонах). если затянуть петлю поверхностью, то пространство конфигураций границы поверхности сидит в пространстве петель как изотопное.
если это правда, то не понятно как доказывать, скорее всего это тяжело, потому что про пространство конфигураций поверхности мало что известно
то есть например что у выпуклй поверхности с краем всегда есть изгибания сравнительно недавний результат.
с инфинитезимальным изгибаниями поверхности должно быть проще, но я не знаю что это такое.

для плоского диска наверное можно проверить, там пространство изгибаний простое, хотя и бесконечномерное.


(Добавить комментарий)


[info]deevrod
2019-11-14 02:52 (ссылка)
всякий узел допускает параметризацию длиной дуги, то есть твоё пространство -- это гиперповерхность в пространстве всех узлов -- поверхность уровня функции длины. но само пространство узлов симплектично относительно описанной тобою формы, стало быть на гиперповерхности имеет ядро. от того, что ты не делишься по поворотам (то есть добавляешь на узле отмеченную точку), это становится можно починить?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]oort
2019-11-14 03:18 (ссылка)
ну я в принципе не против поделить и по изометриям R^3 и поворотам. сейчас правда не уверен как нужно делать симплектическую редукцию: вроде так же, рассматриваем пространство путей с началом в нуле (паралельным переносом перенесли), отображение гаусса или типа того (точке ставим в соотвествие направление вектора скорости) задает отображение в сферу со стандартной симплектической структурой, отображение момента после отождествления so(3) c R^3 будет просто радиус-вектор конца отрезка.

но чтобы сформулировать гипотезу (что пространство конфигураций границы изгибаемой поверхности изотропно в пространстве узлов) изометричность вложений не нужна на самом деле, пусть будет во всех узлах с твоей честной симплектической формой.

(Ответить) (Уровень выше)