posic's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
[Friends]
Below are the 20 most recent journal entries recorded in
posic's LiveJournal:
[ << Previous 20 ]
| Thursday, March 13th, 2014 | | 9:36 pm |
Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence Постпубликационная архивная версия (новый для меня жанр) -- http://arxiv.org/abs/0905.2621В конце раздела 5.5 появилась "Note added three years later", в которой объясняется, как доказать утверждение, остававшееся недоказанным в опубликованном тексте работы в Memoirs AMS, пользуясь результатами работы Casacuberta-Gutierrez-Rosicky и принципом Вопенки в теории множеств (на котором они основаны). В конце списка литературы добавлено пять новых наименований, ссылки на которые приводятся в этой самой "note". Также исправлено некоторое количество опечаток (еще больше осталось, конечно). | | 9:20 pm |
| | Tuesday, March 11th, 2014 | | 3:01 pm |
Еще одна контрапроизводная модельная структура? Развитие постинга http://posic.livejournal.com/1024084.htmlПусть B -- CDG-кольцо; обозначим через Hot(B-mod) гомотопическую категорию левых CDG-модулей над B. Триангулированная категория Hot(B-mod) является гомотопической категорией следующей (стабильной) модельной структуры на абелевой категории Z 0(B-mod) левых CDG-модулей над B и замкнутых морфизмов между ними: корасслоения суть инъективные морфизмы, являющиеся вложениями прямых слагаемых в категории градуированных B #-модулей; расслоения, аналогичным образом, суть сюръективные морфизмы, расщепимо сюръективные в категории градуированных B #-модулей; слабые эквивалентности суть просто гомотопические эквивалентности CDG-модулей. Заметим, что подлежащая категория Z 0(B-mod) абелева и эквивалентна категории градуированных модулей над подходящим кольцом (обозначаемым обычно через B~ = B[δ]). Вышеописанная модельная структура на ней не является "абелевой модульной структурой" (в смысле известного определения Hovey); это "точная модельная структура", согласованная со структурой точной категории на Z 0(B-mod), в которой тройка CDG-модулей точна, если она расщепимо точна в категории градуированных B #-модулей. Тем не менее, это некоторая модельная структрура на абелевой категории Гротендика. Соответственно, к триангулированной категории Hot(B-mod) применима теорема 2.4 из работы http://arxiv.org/abs/1106.2218 , согласно которой в гомотопической категории стабильной модельной структуры на локально представимой категории всякая полная триангулированная подкатегория, замкнутая относительно бесконечных произведений, является компонентой полуортогонального разложения (в предположении принципа Вопенки). В частности, это применимо к наименьшей полной триангулированной подкатегории в Hot(B-mod), замкнутой относительно бесконечных произведений и содержащей тотализации точных троек CDG-модулей над B. Применимо это и к каким-нибудь расширительным определениям подкатегории контраацикличных объектов, использующим трасфинитно-итерированные расширения, как описано в постинге по ссылке. Что можно сказать о CDG-модуле, перпендикулярном слева ко всем тотализациям точных троек CDG-модулей? Ко всем трансфинитно-итерированым расширениям стягиваемых CDG-модулей и т.д.? Верно ли, что всякий такой CDG-модуль гомотопически эквивалентен CDG-модулю с проективным подлежащим градуированным B #-модулем? Если нет, то не получается ли отсюда новый вариант "контрапроизводной модельной структуры" (ср. http://posic.livejournal.com/1023730.html и http://arxiv.org/abs/1205.4473 ) на категории CDG-модулей над B? Или даже серия из нескольких таких новых вариантов? P.S. Заметим, что изложенный аргумент не выглядит прямо применимым к копроизводным модельным структурам, поскольку теоремы 3.7 и 3.9 из той же работы Casacuberta-Gutierrez-Rosicky гарантируют существование полуортогонального разложения с заданной компонентой -- полной триангулированной подкатегорией, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм, только в предположениях, что эта подкатегория порождена множеством объектов или большая триангулированная категория является гомотопической категорией кофибрантно порожденной модельной структуры на локально представимой категории. Модельная структура на Z 0(B-mod), о которой идет речь в начале этого постинга, не похожа на кофибрантно порожденную. С другой стороны, вполне удовлетворительное описание копроизводной модельной структуры для CDG-модулей над произвольным CDG-кольцом можно получить средствами из работы Ханно Беккера (по существу, у него это все написано); так что методы, основанные на принципе Вопенки, для копроизводных категорий, может быть, просто и не нужны. | | Sunday, March 9th, 2014 | | 2:01 am |
AD LEUCONOEN Не кричи, глашатай, не труби сбора. Погоди, недолго терпеть. Нет, ещё не завтра, но уже скоро - Риму предстоит умереть. Радуйся, торговец, закупай мыло, мыло скоро будет в цене. Скоро будет всё иначе, чем было. А меня убьют на войне. Не зевай, историк, сочиняй книгу, наблюдай вращенье Земли. Каждому столетью, году, дню, мигу, сколько надлежит, удели. Ветер подымается, звезда меркнет, цезарь спит и стонет во сне. Скоро станет ясно, кто кого свергнет. А меня убьют на войне. Смейся, Левконоя, разливай вина, знать, что будет, ты не вольна. Но можешь мне поверить, по всему видно, что тебя не тронет война. Знать, что будет завтра, - много ль в том толка! Думай о сегодняшнем дне. Я ж, хотя и знаю, но скажу только, что меня убьют на войне. http://blackalpinist.com/scherbakov/htmtexts/1987/adleucon.htmlhttp://www.youtube.com/watch?v=8dNSLFgviFchttp://www.youtube.com/watch?v=ZequcX4TX7o | | Saturday, March 8th, 2014 | | 4:25 pm |
Конец застоя https://www.facebook.com/yuriy.kuznetsov.5/posts/859143024112628Я думаю, что нынешняя путинская авантюра проваливается и провалится, и что результатом ее провала станет падение его режима. Но независимо от этого или любых других прогнозов развития событий в жизни общественной, можно констатировать факт окончания эпохи в моей (и, видимо, далеко не только моей) частной жизни. Период депрессивной, но продуктивной (для многих -- и для меня, например) "стабильности" закончился. Стабильность перестала быть продуктивной, и она перестала быть депрессивной, и перестала быть стабильностью. Настало время надежды, тревоги и лихорадочной тряски -- революционное время, подобное началу 1990-х годов. На смену эпохе, когда надо было во что бы то ни стало успеть дописать этот, а потом еще и этот, и этот 100- или 200-страничный текст -- пришла эпоха, когда надо победить, и выжить, и позаботиться о своих близких, и найти себе место в новой жизни. Место, основа для которого была, может быть, заложена продуктивностью предшествовавших лет. | | Monday, March 3rd, 2014 | | 4:31 pm |
| | 2:17 pm |
| | Friday, February 28th, 2014 | | 11:19 pm |
| | 3:18 am |
| | Monday, February 24th, 2014 | | 11:02 pm |
В России были крайне обеспокоены ситуацией на Украине, теперь вздохнули с облегчением и надеждой http://allocco.livejournal.com/242980.htmlПризываю моих соседей-москвичей и сограждан-жителей России дать суровый отпор разнузданной риторике распоясавшейся путинской клики, этой кучки узурпаторов власти, растоптавших демократию в России и воспринимающих демократию в сопредельных странах как угрозу своему стремлению уйти от ответственности за совершенные преступления, продолжить свое расхищение национальных богатств России, масштабы которого поразили мир. Призываю всех людей доброй воли жестко пресечь любые попытки посягательства на свободу, независимость и национальное достоинство Украины, на мир на украинской земле со стороны банды подонков и убийц, правящих ныне, к несчастью, моей страной. Находясь в настоящее время с частной поездкой в Киеве, подтверждаю спокойную, безопасную обстановку в городе, вежливые, уважительные отношения между людьми на его улицах и площадях, общее чувство доверия к бойцам самообороны Майдана, осуществившим право народа на восстание против тирании и защитившим горожан от смертельной угрозы, исходившей от свергнутого режима и его силовых структур. Подтверждаю общее чувство скорби и траура в городе, видевшем кровь и смерть на своих улицах, общее стремление не допустить новых невинных жертв. Заявляю об этом как россиянин, москвич и еврей. Л.Е. Посицельский | | Saturday, February 22nd, 2014 | | 3:39 pm |
Прибыл Киев сим утром благополучно частным визитом поездка планировалась январе вагоне поезда ехали три пассажира одна проводница уважая независимость Украины участия революционных событиях принимать не предполагал не предполагаю радуюсь успешному разрешению кризиса надеюсь дальнейшую нормализацию возвращение мирной свободной жизни | | Monday, February 17th, 2014 | | 3:22 am |
| | Friday, February 14th, 2014 | | 1:19 am |
| | Thursday, February 13th, 2014 | | 5:39 am |
| | Wednesday, February 12th, 2014 | | 10:32 pm |
Полубесконечная алгебраическая геометрия
В общем, короче, сейчас это мыслится примерно так. Основным исходным данным является некоторый морфизм Y → X. Здесь:
- X -- это, примерно, инд-нетеров инд-стэк с дуализирующим комплексом; в общем, что-то вроде индуктивного предела цепочки замкнутых вложений конечномерных многообразий, профакторизованного по действию проаффинной проалгебраической группы;
- Y -- ну, что тут скажешь, что-то совсем большое; бесконечномерный во все стороны инд-стэк;
- морфизм Y → X -- что-то вроде расслоения; как минимум, плоский морфизм; или, хотя, наверное, не обязательно гладкий, но, может быть, что-то лучшее, чем произвольный плоский морфизм;
- слои морфизма Y → X -- примерно, квазикомпактные полуотделимые схемы; в общем, что-то бесконечномерное, но не сложно собранное-склеенное; наверное, не обязательно аффинные схемы, но не намного сложнее того.
В этом мире должны жить такие звери, как
- полу(ко)производная категория квазикогерентных пучков кручения на Y ("полупроизводная" -- значит копроизводная вдоль X и обычная производная вдоль слоев морфизма Y → X);
- полу(контра)производная категория контрагерентных копучков контрамодулей на Y;
- эквивалентность этих двух полупроизводных категорий, зависящая (как и последующие два пункта) от выбора дуализирующего комплекса на X;
- двусторонний производный функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на Y ("полутензорного" -- значит котензорного (т.е., !-тензорного) произведения вдоль X и обычного тензорного (*-тензорного) вдоль слоев);
- двусторонний производный функтор полугомоморфизмов из квазикогерентных пучков кручения в контрагерентные копучки контрамодулей на Y.
В этом контексте, полубесконечная гомологическая алгебра ассоциативных алгебраических структур (таких, как полуобертывающая полуалгебра тейтовской алгебры Ли, типа алгебры Вирасоро или Каца-Муди, и т.п.) превращается в частный случай нарисованной выше картины, рассматриваемой в рамках некоммутативной алгебраической геометрии.
Пространством X в этой ситуации будет такой стэк -- фактор точки по действию проалгебраической группы, соответствующей положительной части нашей Вирасоро. А (не вполне корректно определенным, т.к. геометрия некоммутативная, но в грубом приближении) слоем морфизма Y → X будет некоммутативная аффинная схема -- спектр обертывающей алгебры (несуществующей) факторалгебры Вирасоро по ее положительной части (т.е., совсем грубо, обертывающей алгебры неположительной подалгебры в Вирасоро). Скажем, четвертый пункт в перечне выше будет в этой ситуации полубесконечными гомологиями этой Вирасоро (а пятый -- полубесконечными когомологиями, а третий -- соответствием между комплексами представлений на дополнительных уровнях, а первый -- полупроизводной категорией категории O).
В описанной ситуации с алгеброй Ли как бы отсутствует инд-измерение (есть только стэковое -- хотя я не уверен, что в некоммутативной геометрии грань между ними так уж отчетлива -- наверное, можно и на проалгебраическую группу как на инд-нульмерную некоммутативную инд-схему посмотреть, с неприводимыми представлениями в роли точек), и дуализирующий комплекс банален. Но, вообще говоря, все эти ингредиенты там могут быть. Скажем, если сделать структуру тейтовской алгебры Ли зависящей от параметров, а параметры заставить пробегать какое-нибудь особое алгебраическое многообразие, дуализирующий комплекс как раз понадобится.
P.S. Собственно, что во всем этом нового, по сравнению с тем, что написано в полубесконечной монографии? Возможность использования контрагерентных копучков для глобализации контрамодулей на неаффинные схемы -- да. Но помимо этого, еще и такое замечание (восходящее к Иенгару-Краузе, Нееману-Мурфету и т.д.)
В полубесконечной книжке рассматривалась "трехэтажная" ситуация с базовым некоммутативным кольцом A, над ним кокольцом C, над ним полуалгеброй S. Кольцо A должно было иметь конечную гомологическую размерность, без этого ничего не работало. В этом смысле говорилось, что "нулевой этаж у нас небольшой (конечной высоты), первый и второй полноразмерные (бесконечные)".
Теперь можно считать более-менее установленным, что нулевой этаж можно сделать намного выше, если включить в рассмотрение дуализирующий комплекс для кольца А (в некоммутативной ситуации -- вообще говоря, связывающий кольцо A с другим некоммутативным кольцом B). В полной общности это, конечно, еще не проработано и там могут быть трудности (например, с существованием резольвент), но ряд частных случаев вполне себе прописаны.
"Размер" колец с дуализирующими комплексами, конечно, тоже где-то там ограничен, но все же их разнообразие гораздо больше, чем просто колец конечной гомологической размерности. | | 3:51 am |
Еще одна теория кокручения, без которой мне никак не обойтись (в конечном итоге) называется "FP". На самом деле, теория эта нужна для того, чтобы работать с когерентными кольцами (такими как, например, факторкольцо кольца многочленов от бесконечного числа переменных по конечно-порожденному идеалу соотношений) так, как без нее можно было бы работать только с нетеровыми (такими как, например, факторкольцо кольца многочленов от конечного числа переменных по идеалу соотношений). Напомним, что ассоциативное кольцо R называется когерентным слева, если любой конечно-порожденный подмодуль конечно-представимого левого R-модуля конечно-представим. Конечно-преставимые левые модули над когерентным слева кольцом R образуют абелеву категорию (с точным функтором вложения в категорию всех модулей). Пусть R -- когерентное слева кольцо. Левый R-модуль J называется FP-инъективным, если Ext R1(M,J) = 0 для любого конечно-представимого левого R-модуля M, или, что эквивалентно, Ext R>0(M,J) = 0 для любого такого M. (Утверждение об эквивалентности этих двух условий уже использует когерентность слева кольца R.) Лемма 1. Класс FP-инъективных левых R-модулей замкнут относительно операций перехода к коядру вложения, расширений, бесконечных прямых сумм и произведений, а также относительно направленных индуктивных пределов. Левый R-модуль P называется FP-проективным, если Ext R1(P,J) = 0 для любого FP-инъективного левого R-модуля J, или, что эквивалентно, Ext R>0(P,J) = 0 для любого такого J. (Утверждение об эквивалентности этих определений выводится из леммы 1.) Лемма 2. а) Класс FP-проективных левых R-модулей замкнут относительно операций перехода к ядру сюръекции, расширений и бесконечных прямых сумм, а также, более общим образом, относительно трансфинитно-итерированных (в смысле индуктивного предела) расширений. б) Левый R-модуль FP-проективен тогда и только тогда, когда он изоморфен прямому слагаемому трансфинитно-итерированного расширения конечно-представимых левых R-модулей. Утверждение леммы 2а), понятное дело, доказывается гораздо легче утверждения леммы 2б), доказательство которого требует теоретико-множественной техники и проводится одновременно с доказательством следующей леммы 3. Лемма 3. а) Всякий левый R-модуль является фактормодулем подходящего FP-проективного левого R-модуля по некоторому его FP-инъективному R-подмодулю. б) Всякий левый R-модуль можно вложить в подходящий FP-инъективный левый R-модуль так, чтобы фактормодуль был FP-проективен. Следующая лемма демонстрирует идею использования FP-инъективных модулей в контексте дуализирующих комплексов, ковариантной двойственности и т.п.: Лемма 4. Пусть S -- ассоциативное кольцо, R -- когерентное справа кольцо, J -- инъективный левый S-модуль, и K -- S-R-бимодуль, являющийся FP-инъективным правым R-модулем. Тогда левый R-модуль Hom S(K,J) является плоским. Зачем все это нужно? Ответ на этот вопрос можно дать на двух уровнях: - Нетеровы слева кольца хороши тем, что над ними класс инъективных модулей замкнут относительно бесконечных прямых сумм (а не только относительно бесконечных произведений, как над произвольным ассоциативным кольцом). Замена инъективных модулей на FP-инъективные позволяет иметь свойство замкнутости относительно бесконечных прямых сумм не только над нетеровыми, но и над когерентными слева кольцами. При этом над нетеровым слева кольцом классы инъективных и FP-инъективных левых модулей совпадают, все левые модули FP-проективны. Когерентные слева кольца, с другой стороны, характеризуются условием, что над ними класс плоских правых модулей замкнут относительно бесконечных произведений. В этом смысле можно сказать, что (над когерентными кольцами) FP-инъективные модули находятся в том же отношении к инъективным, как плоские к проективным. - Да, но зачем нужны когерентные кольца? -- Чтобы заниматься бесконечномерной и полубесконечной алгебраической геометрией. См. первый абзац этого постинга. Кроме того, когерентными являются некоторые интересные некоммутативные кольца. Например, свободная некоммутативная алгебра с ≥2 образующими когерентна, но не нетерова. Литература: 1. http://maths.nju.edu.cn:8001/portals/blog/nqding/pdf/Notes%20on%20FP-projective%20modules%20and%20FP-injective%20modules.pdf (Notes on FP-projective modules and FP-injective modules, by Lixin Mao and Nanquing Ding) и далее по ссылкам 2. http://posic.livejournal.com/774605.html (см. также http://posic.livejournal.com/776156.html ) 3. http://posic.livejournal.com/815381.html и далее по ссылкам | | Sunday, February 9th, 2014 | | 4:26 am |
Текущая версия лежит на обычном месте http://positselski.narod.ru/contrah.pdf (243 страницы). Хочется попробовать вставить еще по параграфу в приложения B и D (еще два новых ко-контра соответствия, в первом случае даже с приставкой полу-), и можно уже посылать в Архив. | | Saturday, February 8th, 2014 | | 3:21 pm |
| | 1:18 am |
Рыться в пыльных старых журналах
The history of mathematics is replete with injustice. There is a tendency to exhibit towards the past a forgetful, oversimplifying, hero-worshipping attitude that we have come to identify with mass behavior. Great advances in science are pinned on a few extraordinary white-maned individuals. By the magic powers of genius denied to ordinary mortals (thus safely getting us off the hook), they alone are made responsible for Progress.
The public abhors detail. Revealing that behind every great man one can find a beehive of lesser-known individuals who paved his way and obtained most of the results for which he is known is a crime of lèse majesté. Whoever dares associate Appollonius with Euclid, Cavalieri with Leibniz, Saccheri with Lobachevski, Kohn with Hilbert, MacMahon with Ramanujan should stand ready for the scornful reaction of the disappointed majority.
One consequence of this sociological law is that whenever a forgotten branch of mathematics comes back into fashion after a period of neglect only the main outlines of the theory are remembered, those you would find in the works of the Great Men. The bulk of the theory is likely to be rediscovered from scratch by smart young mathematicians who have realized that their future careers depend on publishing research papers rather than on rummaging through dusty old journals.
In all mathematics, it would be hard to find a more blatant instance of this regrettable state of affairs than the theory of symmetric functions. Each generation rediscovers them and presents them in the latest jargon. Today it is K-theory, yesterday it was categories and functors, and the day before, group representations. Behind these and several other attractive theories stands one immutable source: the ordinary, crude definition of symmetric functions and the identities they satisfy.
(G.-C. Rota, "A mathematician's gossip", Indiscrete thoughts, p.211-212.)
***
У меня все вышло по-другому. Эйленберг и Мур, придумавшие контрамодули, были именно что "великие люди", а не "менее известные индивидуумы". Это не помешало их изобретению быть совершенно забытым на несколько десятилетий. Я не был таким умным, чтобы уметь думать о карьере или переоткрывать подобные вещи с нуля. Но нашел я, заметил и запомнил их определение в пыльном старом журнале потому, что знал, где примерно мне нужно искать то, что мне может понадобиться. И тогда, когда узнал это. | | Friday, February 7th, 2014 | | 10:06 pm |
Контрамодули: немного истории Пока еще не совсем поздно (на странице Т.Б. этого найти уже не удается, но в интернете еще есть) -- дам-ка я ссылочку на слайды доклада-презентации про контрамодули времен осени 2007 года -- http://www.irb.hr/users/zskoda/BrzezinskiSplitSlides.pdfУтверждение, что "контрамодулей над [дискретными] кольцами не бывает" представляется мне неточно сформулированным (на самом деле они есть, но не отличаются от модулей), что особенно заметно, глядя из сегодняшнего дня, когда уже столько написано про контрамодули над топологическими кольцами. Но вот страница "A bit of history" (шестая в этом pdf-файле, что ли) любопытна. |
[ << Previous 20 ]
|