про производные категории не очень информативно. Твое старое объяснение про восстановление симметрии между ситуациями когда
Х внутри У и когда У внутри Х лучше; хотя и оно оставляет простор для совершенствования.

О, я совсем позабыл про то старое объяснение. Даже сейчас не могу сообразить, как бы это лучше сказать.

можно еще говорить про гомотопическую алгебру, что это наука про то как важно не только что А это Б, но также важно помнить как именно мы отождествили А с Б, и помнить про отождествления между отождествлениями, и отождествления между отождествлениями между отождествлениями и т.п., так сказать оперировать с ментальным актом идентификации А и Б как с новой вещью, с которой можно оперировать (почти) так же как с исходными А и Б.

Можно дальше спекулировать в том духе, что вообще мышление так устроено: при слове "кошка" обычно не вспоминают всех виденных кошек, и даже не столько думают о признаках, отличающих кошек (хотя если попросить определить что такое кошка станут формулировать такие признаки) -- т.е. на самом деле не оперируют с классом эквивалентности, а с внутренней структурой класса и взаимоотношениями с другими классами, так сказать важны не объекты,
и не классы изоморфизма, а морфизмы, или даже 2-морфизмы... Но надо признать, что спекуляция несколько размытая.

Это гуманитарщина такая, да (неплохая).

А мои два объяснения решают разные задачи. Если человек, который совсем никакой (современной научной) математики не знает, спрашивает что такое гомологическая алгебра/производные категории/..., можно на пальцах что-нибудь из топологии объяснить. Скажем, какие бывают замкнутые кривые на торе, и т.п.

(Однажды я рассказал моей родственнице, музыканту-come-медсестре, формулировку теоремы Эйлера про эйлерову характеристику выпуклых многогранников, в качестве объяснения, "чем я занимаюсь". Ну, в таких случаях, как известно, чувствуешь себя педагогическим гением ровно до тех пор, пока не слышишь обратно, как обучаемый тебе излагает свои впечатления. Много лет спустя она спрашивала меня, типа, по-прежнему ли я занимаюсь, ну вот этим, про многогранники. Ср. самый первый коммент к этому постингу, выше.)

А что исчезает разница между X вложенным в Y и Y вложенным в X, это можно рассказывать человеку, который уже знает чего-то. Что такое топологическое пространство, например, или группа, хоть что-нибудь.