Ну, попробую аккуратнее.
B=Z4 (0, e, 2e, 3e), A=Z2 (0, 2e), C=Z2 (0, e).
Пусть G=Z2, и действует умножениями на 3.
Тогда BG=Z2 (0, 2e), а CG=C. При отображении BG->CG элемент 2e принадлежит ядру, а e в CG остается без прообраза.
Или опять наврал? :)

Вот этот пример совершенно правильный.

Ну, собственно, все остальное вы, наверное, тоже слышали.

Краткое повторение вышеизложенного на другом языке: короткой точной последовательности G-модулей

0 → A → B → C → 0

функтор G-инвариантов сопоставляет точную последовательность абелевых групп

0 → A^G → B^G → C^G

(конец краткого повторения вышеизложенного).

Теперь целью теории производных функторов G-инвариантов (когомологий групп) является продолжение последней обрывающейся точной последовательности до длинной точной последовательности абелевых групп

0 → A → B → C →
H¹(G,A) → H¹(G,B) → H¹(G,C) →
H²(G,A) → H²(G,B) → H²(G,C) →
...

Здесь Hⁱ(G,M) -- некие ковариантные функторы, сопоставляющие G-модулям абелевы группы (ковариантные по G-модулю M и, на самом деле, в некотором смысле контравариантные по группе G). Стрелки в конце каждой строчки функториально зависят от короткой точной последовательности G-модулей 0 → A → B → C → 0. По определению, полагают H⁰(G,M) = M^G.

Самое важное в этой формулировке -- это феномен 3-периодичности, который здесь можно наблюдать. Препятствия к сюръективности отображения B^G → C^G лежат в некой абелевой группе, зависящей только от G-модуля A, а именно, H¹(G,A). Если задан некий элемент этой последней группы, то препятствия к возможности поднять его до элемента из C^G зависят только от G-модуля B, и т.д.

Спасибо.
Только в этой длинной точной последовательности, наверно, должны быть в начале A^G, B^G, C^G?

Для понимания.
Я помню построение длинной точной последовательности когомологий из короткой точной последовательности комплексов. Эта длинная последовательность так и получается из первой короткой, если модули достроить до комплексов?

А стрелка из C^G должна ведь быть сюрьективной для точности?
Получается, что H¹(Z₂, Z₂)=Z₂?

Да-да, конечно:

0 → A^G → B^G → C^G →
H¹(G,A) → H¹(G,B) → H¹(G,C) →
H²(G,A) → H²(G,B) → H²(G,C) →
...

Да, так и получается. Так или иначе, в любой из конструкций, H*(G,M) суть когомологии какого-то комплекса, который строится (однозначно или с использованием произвольного выбора) по G и M. С короткой точной последовательностью модулей коэффициентов связана короткая точная последовательность таких комплексов.

Образом стрелки из C^G является ядро отображения H¹(G,A) → H¹(G,B), в этом состоит точность.

H¹(Z/2, Z/2) = Z/2, это верно. Вообще, при тривиальном действии G на М, группа первых когомологий H¹(G,M) изоморфна группе всех гомоморфизмов групп G → M.

>>А стрелка из CG должна ведь быть сюрьективной для точности?
>Образом стрелки из CG является ядро отображения H1(G,A) → H1(G,B), в этом состоит точность.
Я имел в виду тот конкретный контрпример выше, где образ B^G→C^G нулевой, поэтому ядро отображения в H¹(G, A) тоже должно быть нулевое.

Можно еще вопросы? :)
Я так понимаю, все это используется для изучения групп и их расширений.
Но в H^*(G, A) группы G и A играют разную роль. Есть ли какое-то соответствие между H^*(G, A) и H^*(A, G)?
Если не ошибаюсь, в алгебр. топологии группа коэффициентов обычно играет вспомогательную роль, используют в основном R или Z, и ее меняют в основном для упрощения вычислений. Так ли это в этой науке?

В том примере, из того что отображение B^G → C^G нулевое, следует, что C^G вкладывается в H¹(G,A). Чтобы доказать, что это вложение является изоморфизмом, нужно еще как-то убедиться, что отображение H¹(G,A) → H¹(G,B) нулевое.

Соответствия между H*(G,A) и H*(A,G) нет, да и области определения у этих двух образований разные (если даже считать, что действие G на A тривиально, то все равно H*(G,A) имеет смысл для произвольной группы G и абелевой A -- хотя можно определить группу H⁰(G,A) и группу H¹(G,A) для неабелева G-модуля A, но с дальнейшими номерами когомологии бывают только с коммутативными коэффициентами).

В этой науке важны когомологии с коэффициентами в произвольных G-модулях, не только в тривиальных. В топологии это соответствует когомологиям произвольных локальных систем. Когомологии группы G с коэффициентами в G-модуле M изоморфны когомологиям топологического пространства K(G,1) с коэффициентами в локальной системе, соответствующей M.

А, ну да, конечно. Но в данном случае, если наоборот, знать, что H¹(G, A)=Z₂, то это вложение тогда и будет автоматически изоморфизмом.

Ну я пока воздержусь от дальнейших вопросов. Чтобы дальше спрашивать, надо больше знать, а то вопросы станут совсем глупыми.:)
Спасибо за помощь. Я стал понимать чуть лучше, как это все выглядит, и зачем нужно.

т.е., множество H¹(G,A), конечно.