posic's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
[Friends]
Below are the 20 most recent journal entries recorded in
posic's LiveJournal:
[ << Previous 20 ]
| Thursday, March 13th, 2014 | | 9:36 pm |
Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence Постпубликационная архивная версия (новый для меня жанр) -- http://arxiv.org/abs/0905.2621В конце раздела 5.5 появилась "Note added three years later", в которой объясняется, как доказать утверждение, остававшееся недоказанным в опубликованном тексте работы в Memoirs AMS, пользуясь результатами работы Casacuberta-Gutierrez-Rosicky и принципом Вопенки в теории множеств (на котором они основаны). В конце списка литературы добавлено пять новых наименований, ссылки на которые приводятся в этой самой "note". Также исправлено некоторое количество опечаток (еще больше осталось, конечно). | | Tuesday, March 11th, 2014 | | 3:01 pm |
Еще одна контрапроизводная модельная структура? Развитие постинга http://posic.livejournal.com/1024084.htmlПусть B -- CDG-кольцо; обозначим через Hot(B-mod) гомотопическую категорию левых CDG-модулей над B. Триангулированная категория Hot(B-mod) является гомотопической категорией следующей (стабильной) модельной структуры на абелевой категории Z 0(B-mod) левых CDG-модулей над B и замкнутых морфизмов между ними: корасслоения суть инъективные морфизмы, являющиеся вложениями прямых слагаемых в категории градуированных B #-модулей; расслоения, аналогичным образом, суть сюръективные морфизмы, расщепимо сюръективные в категории градуированных B #-модулей; слабые эквивалентности суть просто гомотопические эквивалентности CDG-модулей. Заметим, что подлежащая категория Z 0(B-mod) абелева и эквивалентна категории градуированных модулей над подходящим кольцом (обозначаемым обычно через B~ = B[δ]). Вышеописанная модельная структура на ней не является "абелевой модульной структурой" (в смысле известного определения Hovey); это "точная модельная структура", согласованная со структурой точной категории на Z 0(B-mod), в которой тройка CDG-модулей точна, если она расщепимо точна в категории градуированных B #-модулей. Тем не менее, это некоторая модельная структрура на абелевой категории Гротендика. Соответственно, к триангулированной категории Hot(B-mod) применима теорема 2.4 из работы http://arxiv.org/abs/1106.2218 , согласно которой в гомотопической категории стабильной модельной структуры на локально представимой категории всякая полная триангулированная подкатегория, замкнутая относительно бесконечных произведений, является компонентой полуортогонального разложения (в предположении принципа Вопенки). В частности, это применимо к наименьшей полной триангулированной подкатегории в Hot(B-mod), замкнутой относительно бесконечных произведений и содержащей тотализации точных троек CDG-модулей над B. Применимо это и к каким-нибудь расширительным определениям подкатегории контраацикличных объектов, использующим трасфинитно-итерированные расширения, как описано в постинге по ссылке. Что можно сказать о CDG-модуле, перпендикулярном слева ко всем тотализациям точных троек CDG-модулей? Ко всем трансфинитно-итерированым расширениям стягиваемых CDG-модулей и т.д.? Верно ли, что всякий такой CDG-модуль гомотопически эквивалентен CDG-модулю с проективным подлежащим градуированным B #-модулем? Если нет, то не получается ли отсюда новый вариант "контрапроизводной модельной структуры" (ср. http://posic.livejournal.com/1023730.html и http://arxiv.org/abs/1205.4473 ) на категории CDG-модулей над B? Или даже серия из нескольких таких новых вариантов? P.S. Заметим, что изложенный аргумент не выглядит прямо применимым к копроизводным модельным структурам, поскольку теоремы 3.7 и 3.9 из той же работы Casacuberta-Gutierrez-Rosicky гарантируют существование полуортогонального разложения с заданной компонентой -- полной триангулированной подкатегорией, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм, только в предположениях, что эта подкатегория порождена множеством объектов или большая триангулированная категория является гомотопической категорией кофибрантно порожденной модельной структуры на локально представимой категории. Модельная структура на Z 0(B-mod), о которой идет речь в начале этого постинга, не похожа на кофибрантно порожденную. С другой стороны, вполне удовлетворительное описание копроизводной модельной структуры для CDG-модулей над произвольным CDG-кольцом можно получить средствами из работы Ханно Беккера (по существу, у него это все написано); так что методы, основанные на принципе Вопенки, для копроизводных категорий, может быть, просто и не нужны. | | Monday, February 17th, 2014 | | 3:22 am |
| | Thursday, February 13th, 2014 | | 5:39 am |
| | Wednesday, February 12th, 2014 | | 10:32 pm |
Полубесконечная алгебраическая геометрия
В общем, короче, сейчас это мыслится примерно так. Основным исходным данным является некоторый морфизм Y → X. Здесь:
- X -- это, примерно, инд-нетеров инд-стэк с дуализирующим комплексом; в общем, что-то вроде индуктивного предела цепочки замкнутых вложений конечномерных многообразий, профакторизованного по действию проаффинной проалгебраической группы;
- Y -- ну, что тут скажешь, что-то совсем большое; бесконечномерный во все стороны инд-стэк;
- морфизм Y → X -- что-то вроде расслоения; как минимум, плоский морфизм; или, хотя, наверное, не обязательно гладкий, но, может быть, что-то лучшее, чем произвольный плоский морфизм;
- слои морфизма Y → X -- примерно, квазикомпактные полуотделимые схемы; в общем, что-то бесконечномерное, но не сложно собранное-склеенное; наверное, не обязательно аффинные схемы, но не намного сложнее того.
В этом мире должны жить такие звери, как
- полу(ко)производная категория квазикогерентных пучков кручения на Y ("полупроизводная" -- значит копроизводная вдоль X и обычная производная вдоль слоев морфизма Y → X);
- полу(контра)производная категория контрагерентных копучков контрамодулей на Y;
- эквивалентность этих двух полупроизводных категорий, зависящая (как и последующие два пункта) от выбора дуализирующего комплекса на X;
- двусторонний производный функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на Y ("полутензорного" -- значит котензорного (т.е., !-тензорного) произведения вдоль X и обычного тензорного (*-тензорного) вдоль слоев);
- двусторонний производный функтор полугомоморфизмов из квазикогерентных пучков кручения в контрагерентные копучки контрамодулей на Y.
В этом контексте, полубесконечная гомологическая алгебра ассоциативных алгебраических структур (таких, как полуобертывающая полуалгебра тейтовской алгебры Ли, типа алгебры Вирасоро или Каца-Муди, и т.п.) превращается в частный случай нарисованной выше картины, рассматриваемой в рамках некоммутативной алгебраической геометрии.
Пространством X в этой ситуации будет такой стэк -- фактор точки по действию проалгебраической группы, соответствующей положительной части нашей Вирасоро. А (не вполне корректно определенным, т.к. геометрия некоммутативная, но в грубом приближении) слоем морфизма Y → X будет некоммутативная аффинная схема -- спектр обертывающей алгебры (несуществующей) факторалгебры Вирасоро по ее положительной части (т.е., совсем грубо, обертывающей алгебры неположительной подалгебры в Вирасоро). Скажем, четвертый пункт в перечне выше будет в этой ситуации полубесконечными гомологиями этой Вирасоро (а пятый -- полубесконечными когомологиями, а третий -- соответствием между комплексами представлений на дополнительных уровнях, а первый -- полупроизводной категорией категории O).
В описанной ситуации с алгеброй Ли как бы отсутствует инд-измерение (есть только стэковое -- хотя я не уверен, что в некоммутативной геометрии грань между ними так уж отчетлива -- наверное, можно и на проалгебраическую группу как на инд-нульмерную некоммутативную инд-схему посмотреть, с неприводимыми представлениями в роли точек), и дуализирующий комплекс банален. Но, вообще говоря, все эти ингредиенты там могут быть. Скажем, если сделать структуру тейтовской алгебры Ли зависящей от параметров, а параметры заставить пробегать какое-нибудь особое алгебраическое многообразие, дуализирующий комплекс как раз понадобится.
P.S. Собственно, что во всем этом нового, по сравнению с тем, что написано в полубесконечной монографии? Возможность использования контрагерентных копучков для глобализации контрамодулей на неаффинные схемы -- да. Но помимо этого, еще и такое замечание (восходящее к Иенгару-Краузе, Нееману-Мурфету и т.д.)
В полубесконечной книжке рассматривалась "трехэтажная" ситуация с базовым некоммутативным кольцом A, над ним кокольцом C, над ним полуалгеброй S. Кольцо A должно было иметь конечную гомологическую размерность, без этого ничего не работало. В этом смысле говорилось, что "нулевой этаж у нас небольшой (конечной высоты), первый и второй полноразмерные (бесконечные)".
Теперь можно считать более-менее установленным, что нулевой этаж можно сделать намного выше, если включить в рассмотрение дуализирующий комплекс для кольца А (в некоммутативной ситуации -- вообще говоря, связывающий кольцо A с другим некоммутативным кольцом B). В полной общности это, конечно, еще не проработано и там могут быть трудности (например, с существованием резольвент), но ряд частных случаев вполне себе прописаны.
"Размер" колец с дуализирующими комплексами, конечно, тоже где-то там ограничен, но все же их разнообразие гораздо больше, чем просто колец конечной гомологической размерности. | | 3:51 am |
Еще одна теория кокручения, без которой мне никак не обойтись (в конечном итоге) называется "FP". На самом деле, теория эта нужна для того, чтобы работать с когерентными кольцами (такими как, например, факторкольцо кольца многочленов от бесконечного числа переменных по конечно-порожденному идеалу соотношений) так, как без нее можно было бы работать только с нетеровыми (такими как, например, факторкольцо кольца многочленов от конечного числа переменных по идеалу соотношений). Напомним, что ассоциативное кольцо R называется когерентным слева, если любой конечно-порожденный подмодуль конечно-представимого левого R-модуля конечно-представим. Конечно-преставимые левые модули над когерентным слева кольцом R образуют абелеву категорию (с точным функтором вложения в категорию всех модулей). Пусть R -- когерентное слева кольцо. Левый R-модуль J называется FP-инъективным, если Ext R1(M,J) = 0 для любого конечно-представимого левого R-модуля M, или, что эквивалентно, Ext R>0(M,J) = 0 для любого такого M. (Утверждение об эквивалентности этих двух условий уже использует когерентность слева кольца R.) Лемма 1. Класс FP-инъективных левых R-модулей замкнут относительно операций перехода к коядру вложения, расширений, бесконечных прямых сумм и произведений, а также относительно направленных индуктивных пределов. Левый R-модуль P называется FP-проективным, если Ext R1(P,J) = 0 для любого FP-инъективного левого R-модуля J, или, что эквивалентно, Ext R>0(P,J) = 0 для любого такого J. (Утверждение об эквивалентности этих определений выводится из леммы 1.) Лемма 2. а) Класс FP-проективных левых R-модулей замкнут относительно операций перехода к ядру сюръекции, расширений и бесконечных прямых сумм, а также, более общим образом, относительно трансфинитно-итерированных (в смысле индуктивного предела) расширений. б) Левый R-модуль FP-проективен тогда и только тогда, когда он изоморфен прямому слагаемому трансфинитно-итерированного расширения конечно-представимых левых R-модулей. Утверждение леммы 2а), понятное дело, доказывается гораздо легче утверждения леммы 2б), доказательство которого требует теоретико-множественной техники и проводится одновременно с доказательством следующей леммы 3. Лемма 3. а) Всякий левый R-модуль является фактормодулем подходящего FP-проективного левого R-модуля по некоторому его FP-инъективному R-подмодулю. б) Всякий левый R-модуль можно вложить в подходящий FP-инъективный левый R-модуль так, чтобы фактормодуль был FP-проективен. Следующая лемма демонстрирует идею использования FP-инъективных модулей в контексте дуализирующих комплексов, ковариантной двойственности и т.п.: Лемма 4. Пусть S -- ассоциативное кольцо, R -- когерентное справа кольцо, J -- инъективный левый S-модуль, и K -- S-R-бимодуль, являющийся FP-инъективным правым R-модулем. Тогда левый R-модуль Hom S(K,J) является плоским. Зачем все это нужно? Ответ на этот вопрос можно дать на двух уровнях: - Нетеровы слева кольца хороши тем, что над ними класс инъективных модулей замкнут относительно бесконечных прямых сумм (а не только относительно бесконечных произведений, как над произвольным ассоциативным кольцом). Замена инъективных модулей на FP-инъективные позволяет иметь свойство замкнутости относительно бесконечных прямых сумм не только над нетеровыми, но и над когерентными слева кольцами. При этом над нетеровым слева кольцом классы инъективных и FP-инъективных левых модулей совпадают, все левые модули FP-проективны. Когерентные слева кольца, с другой стороны, характеризуются условием, что над ними класс плоских правых модулей замкнут относительно бесконечных произведений. В этом смысле можно сказать, что (над когерентными кольцами) FP-инъективные модули находятся в том же отношении к инъективным, как плоские к проективным. - Да, но зачем нужны когерентные кольца? -- Чтобы заниматься бесконечномерной и полубесконечной алгебраической геометрией. См. первый абзац этого постинга. Кроме того, когерентными являются некоторые интересные некоммутативные кольца. Например, свободная некоммутативная алгебра с ≥2 образующими когерентна, но не нетерова. Литература: 1. http://maths.nju.edu.cn:8001/portals/blog/nqding/pdf/Notes%20on%20FP-projective%20modules%20and%20FP-injective%20modules.pdf (Notes on FP-projective modules and FP-injective modules, by Lixin Mao and Nanquing Ding) и далее по ссылкам 2. http://posic.livejournal.com/774605.html (см. также http://posic.livejournal.com/776156.html ) 3. http://posic.livejournal.com/815381.html и далее по ссылкам | | Friday, February 7th, 2014 | | 10:06 pm |
Контрамодули: немного истории Пока еще не совсем поздно (на странице Т.Б. этого найти уже не удается, но в интернете еще есть) -- дам-ка я ссылочку на слайды доклада-презентации про контрамодули времен осени 2007 года -- http://www.irb.hr/users/zskoda/BrzezinskiSplitSlides.pdfУтверждение, что "контрамодулей над [дискретными] кольцами не бывает" представляется мне неточно сформулированным (на самом деле они есть, но не отличаются от модулей), что особенно заметно, глядя из сегодняшнего дня, когда уже столько написано про контрамодули над топологическими кольцами. Но вот страница "A bit of history" (шестая в этом pdf-файле, что ли) любопытна. | | Wednesday, February 5th, 2014 | | 8:58 pm |
Теории кокручения в категориях контрамодулей - постскриптум Постскриптум этот к серии постингов http://posic.livejournal.com/2014/01/25/ несколько запоздал. Текущая версия контрагерентного текста -- http://positselski.narod.ru/contrah.pdf (датировано 1 февраля; 241 страница) -- содержит построение обещанной в последнем из тех постингов плоской теории кокручения в категории контрамодулей над про-нетеровым кольцом конечной тотальной размерности Крулля (как и остальных обсуждавшихся там теорий кокручения). Что касается очень плоской теории кокручения в категории контрамодулей над коммутативным топологическим кольцом, то уже поздним вечером того же дня стало ясно, что условия нильпотентности не нужны для ее построения. Конструкция работает для произвольной проективной системы коммутативных колец, занумерованных натуральными числами, с сюръективными отображениями между кольцами в последовательсти и конечно-порожденными идеалами-ядрами этих отображений (см. файл по ссылке). В сущности, все это значит, что проблему теорий кокручения в категориях контрамодулей можно считать в основном решенной. Дорога в направлении контрагерентных копучков контрамодулей на инд-схемах, полубесконечной алгебраической геометрии и DG-контрамодулей над комплексом де Рама-Витта открыта. Скажем, такой пример приводится теперь во введении: рассмотрим проективизацию бесконечномерного дискретного векторного пространства (это такая инд-нетерова инд-схема), и рассмотрим ее кокасательное расслоение (это такая инд-схема инд-бесконечного типа, расслоенная над инд-схемой инд-конечного типа со слоями -- квазикомпактными отделимыми схемами, в данном случае даже аффинными). В этой ситуации хотелось бы построить эквивалентность полупроизводных категорий квазикогерентных пучков кручения и контрагерентных копучков контрамодулей. Следующий вопрос, кто и когда соберется теперь и найдет ресурсы для движения в этих направлениях. Но это уже, действительно, следующий вопрос. | | 5:18 pm |
| | Tuesday, February 4th, 2014 | | 4:01 am |
Эквивалентность двух определений контрамодулей над топологическими ассоциативными алгебрами
Левые контрамодули над топологическим ассоциативным кольцом R, открытые правые идеалы J в котором образуют базу окрестностей нуля, определяются как модули над монадой X → R[[X]] = limJ R/J[X] на категории множеств. В случае топологической ассоциативной алгебры A над полем k, удовлетворяющей тому же условию на топологию и правые идеалы, имеется более простое альтернативное определение, согласно которому левые A-контрамодули суть модули над монадой V → A⊗^V = limJ A/J⊗kV на категории k-векторных пространств.
По случаю сегодняшего (в смысле, прошедшего дня) семинара, было придумано доказательство эквивалентности этих двух определений, менее индексно-вычислительное и более концептуальное, чем то, что сейчас написано в разделе 1.10 препринта Weakly curved ... (1202.2697). По существу, речь идет о следующем вопросе: одна пара сопряженных функторов (между категориями k-vect и Sets) прикомпоновывается к другой (между категориями левых A-контрамодулей в смысле второго определения, через пополненное тензорное произведение, и k-vect). Обе эти пары сопряженных функторов монадичны (т.е., верхняя категория эквивалентна модулям над возникающей монадой на нижней) по определению; будет ли монадичной композиция.
Доказательство сформулированного утверждения о контрамодулях: у любого k-векторного пространства V имеется "неаддитивная бар-резольвента" с (интересующим нас) начальным фрагментом k[k[V]] → k[V] → V → 0. Левая стрелка, как обычно, строится как разность естественных двух; попросту, любой модуль над монадой можно так выразить в виде коуравнителя пары стрелок между свободными модулями.
Применяя к этой точной последовательности векторных пространств аддитивный функтор A⊗^− и имея в виду естественный изоморфизм A⊗^k[X] = A[[X]] для любого множества X, получаем точную последовательность A[[k[V]]] → A[[V]] → A⊗^V → 0. Теперь ясно, что любому отображению A⊗^P → P для k-векторного пространства P можно сопоставить отображение A[[P]] → P; и наоборот, всякое отображение A[[P]] → P для множества P, удовлетворяющее аксиоме контраассоциативности, после введения структуры k-векторного пространства на P путем рассмотрения композиции k[P] → A[[P]] → P однозначно факторизуется через сюръекцию A[[P]] → A⊗^P.
Применительно к вышеизложенной задаче про композиции пар сопряженных функторов и монады, ответ состоит в том, что эндофунктор "верхней" монады должен переводить стандартные коуравнители, выражающие объекты средней категории через свободные относительно "нижней" монады, в коуравнители. Это достаточное условие; я не проверял, насколько оно может быть необходимым, но, вообще говоря, монадичность пар сопряженных функторов не сохраняется при их композициях, как показывает приводившийся контрпример с тройкой категорий множеств, абелевых групп, и p-полных абелевых групп (с монадами X → Z[X] и H → limn H/pnH на категориях Sets и Ab; монада, связанная с композицией соответствующих двух пар сопряженных функторов, определяет категорию Zp-контрамодулей).
***
Изложенный аргумент предполагает, помимо (контра)ассоциативности, что A является алгеброй с единицей, и на контрамодули в обоих определениях накладывается требование унитальности. Без этого вообще не видно, как определить на модуле над неунитальной монадой X → R[[X]] или A[[X]] структуру абелевой группы или векторного пространства. В этом смысле вопрос, который мне задавали на семинаре, является, видимо, правильным указанием на некорректность моего изложения в связи с леммой Накаямы для контрамодулей над топологически нильпотентными топологическими кольцами без единицы в разделе 1.3 вышепроцитированного препринта.
Всякому топологическому ассоциативному кольцу без единицы T сопоставляется его унитализация -- кольцо T0 = Z ⊕ T, снабженное умножением, в котором T ⊂ T0 является идеалом (со старым умножением на T), а 1 ∈ Z ⊂ T0 -- единичным элементом. Базу окрестностей нуля в T0 составляют открытые подмножества T, рассматриваемые как подмножества в T0. Гомоморфизм колец T → T0 универсален в классе непрерывных гомоморфизмов из T в унитальные топологические кольца.
Неунитальными контрамодулями над T следует называть обычные (т.е., унитальные) контрамодули над T0. Это позволяет иметь на T-контрамодулях P структуру абелевой группы таким образом, чтобы отображение контрадействия T[[P]] → P было гомоморфизмом абелевых групп -- что придает смысл операциям сложения и вычитания, производимым в финальной части доказательства леммы Накаямы в разделе 1.3. | | Saturday, January 25th, 2014 | | 10:42 pm |
Теории кокручения в категориях контрамодулей - окончание Плоская теория кокручения в категории контрамодулей над пронетеровым коммутативным кольцом конечной тотальной размерности Крулля, чего-то подобного которой так недоставало мне с марта, появилась у меня, похоже, в последние дни. На этот раз, аргумент основывается на явной конструкции объектов кокручения в категории модулей, но только не новейшей, теоретико-множественной, а более старой, известной еще с середины 90-х. В книжке Jinzhong Xu 1996 года, где я нашел недостававшие мне детали этого построения после того, как придумал основную идею, отмечается, что все известные на то время конструкции плоских покрытий и оболочек кокручения используют те или иные предположения конечности гомологической размерности. Конструкции теорий кокручения в совсем других абелевых категориях, основанные на предположениях конечности гомологической размерности, использовались и в моем полубесконечном трактате (откуда я, собственно, и набрел на идею использовать их в задаче о плоской теории кокручения для контрамодулей). Именно в связи с необходимостью ограничить (гомологическую) размерность кокручения возникает требование конечности тотальной размерности Крулля, упомянутое выше. Класс инд-нетеровых инд-схем конечной тотальной размерности Крулля не так уж сильно отличается от класса инд-нетеровых инд-схем нильпотентного типа, для которых раньше была построена очень плоская теория кокручения (хотя ни один из этих двух классов не содержится в другом). Главное различие в том, что очень плоская теория не требует, на самом деле, предположений нетеровости, а только конечной порожденности определяющих идеалов. Это, вроде бы, вписывается в знакомую по прежнему опыту картину -- на ненетеровых схемах контрагерентные копучки локально кокручения не очень полезны, а интересные теоремы доказываются про локально контраприспособленные контрагерентные копучки. В то же время, на нетеровых схемах контрагерентные копучки локально кокручения кажутся незаменимыми, и очень хорошо (например, для целей де Рама-Витта и т.п.), если в инд-нетеровой ситуации они у меня теперь будут. Вопрос о контрагерентных копучках на совсем не нильпотентных и тотально бесконечномерных инд-схемах, хотя бы даже инд-нетеровых (таких как, условно, прямой предел вложения точки в проективную прямую в проективную плоскость ... и т.д.), остается по-прежнему широко открытым. | | 10:35 pm |
Теории кокручения в категориях контрамодулей - продолжение В конце мая 2012 года появилась плоская теория кокручения на категории контрамодулей над нетеровым кольцом в адической топологии идеала: контрамодуль назывался плоским или кокручения, если он был плоским или кокручения как обычный модуль. В первой половине марта 2013 обнаружилась и очень плоская теория кокручения на той же категории контрамодулей: контрамодуль стал называться очень плоским, если его редукции по модулю степеней идеала очень плоски, и контраприспособленным, если он контраприспособлен как обычный модуль. Очень плоская теория кокручения на категории контрамодулей над коммутативным топологическим кольцом нильпотентного типа появилась в конце марта. Теперь контрамодуль был очень плоским, если все его редукции по модулю открытых идеалов очень плоски, а отображение его в проективный предел таких редукций является изоморфизмом -- и, по прежнему, контраприспособленным, если он контраприспособлен как обычный модуль. Во всех перечисленных случаях, конструкции контрамодулей тех или иных классов основывались на факте существования достаточного количества объектов соответствующих классов в обычных категориях модулей. Конкретные способы построения таких модулей (вообще говоря, основанные на переходе к направленному прямому пределу в трансфинитной индукции и теоретико-множественной аргументации, доказывающей сходимость процесса) для рассуждений о контрамодулях не имели значения. | | 7:38 pm |
Теории кокручения в категориях контрамодулей Значение теорий кокручения на категориях модулей над коммутативными кольцами в теории контрагерентных копучков связано с тем, что морфизмы, скажем, аффинных схем, используемые в качестве покрытий при построении произвольных схем или стеков, часто обладают тем свойством, что кольцо функций на верхней схеме является плоским модулем над кольцом функций на нижней, но гораздо реже этот модуль оказывается проективным. Поскольку кольца функций на открытых аффинных подсхемах в топологии Зарисского, не будучи отнюдь проективными модулями над кольцом функций на объемлющей аффинной схеме, являются все же представителями довольно специального подкласса плоских модулей (такие модули называются у меня очень плоскими), возникает не одна, но две основные теории кокручения: 1. плоские модули и модули кокручения, и 2. очень плоские и контраприспособленные модули. Развитие теорий контрагерентных копучков контрамодулей требует, соответственно, построения теорий кокручения в категориях контрамодулей. Исторически, доказательство полноты плоской теории кокручения в категории модулей над кольцом было в свое время непростой задачей: впервые сформулированная Э. Еноксом в начале 80-х годов, соответствующая гипотеза была в полной общности доказана только в начале 00-х. Доказательство, оказавшееся совсем несложным, продемонстрировало значение и мощь теоретико-множественных методов в гомологической алгебре, начавших входить в моду где-то с середины 90-х. Методы эти, однако, вообще говоря разрабатываемые и применяемые в довольно общей ситуации "λ-фильтрованных прямых пределов для произвольного регулярного кардинала λ", к этим задачам об абелевых и точных категориях обычно применяются только в предположении точности всех направленных прямых пределов. Не умея избавиться от этого предположения, которому, конечно, не удовлетворяют контрамодули, я на протяжении последних полутора-двух лет искал подходы к построению теорий кокручения в категориях контрамодулей, основанные на уже известном факте полноты таких теорий в обычных категориях модулей, принимаемом как исходная данность. | | Friday, January 24th, 2014 | | 4:03 am |
Плоские контрамодули кокручения над пронетеровым топологическим кольцом?
Пусть R0 ← R1 ← R2 ← … -- проективная система нетеровых коммутативных колец и сюръективных отображений между ними. Пусть R = limn Rn -- ее проективный предел, рассматриваемый как топологическое кольцо, и пусть In ⊂ R -- ядра естественных сюръективных гомоморфизмов R → Rn. Пусть F -- плоский R-контрамодуль; согласно разделу D.1 текущей версии контрагерентного текста (на positselski.narod.ru), это значит, что F = limn Fn, где Fn -- плоские Rn-модули и Fn+1 → Fn -- сюръективные отображения, отождествляющие Fn с Rn ⊗Rn+1 Fn+1.
Как известно, плоские модули кокручения над нетеровым кольцом S суть в точности произведения по точкам спектра S свободных контрамодулей над пополнениями Sp^ локализаций Sp кольца S по соответствующим простым идеалам. Предлагается следующая конструкция функториального отображения плоского S-модуля G в плоский S-модуль кокручения: для каждого простого идеала p кольца S, взять естественное отображение из G в p-адическое пополнение Gp^ плоского Sp-модуля Gp = Sp ⊗S G, потом перемножить по всем p.
Пользуясь известным фактом полноты стандартной теории кокручения в категории S-модулей, можно, наверное, показать, что отображение это (не лишенное, кажется, каких-то там свойств слабой универсальности) инъективно с плоским коядром. Далее предлагается попробовать собрать проективную систему плоских Rn-модулей кокручения из таких конструкций, примененных к Rn-модулю Fn для каждого n, и сделать из этого вложение нашего плоского R-контрамодуля F в плоский R-контрамодуль кокручения (в каком-то там смысле).
Update: в самом деле, из вышесформулированного описания плоских модулей кокручения над S ясно, что всякий гомоморфизм из плоского S-модуля G в такой S-модуль факторизуется через ∏p Gp^. Чтобы убедиться, что отображение G → ∏p Gp^ инъективно и коядро его является плоским S-модулем, рассмотрим естественное отображение G → HomZ(HomZ(G,Q/Z),Q/Z). S-модуль на правой стороне последнего отображения является плоским модулем кокручения, отображение это очевидно инъективно, и для любого конечно-порожденного S-модуля M отображение M ⊗S G → M ⊗S HomZ(HomZ(G,Q/Z),Q/Z) = HomZ(HomZ(M⊗SG, Q/Z), Q/Z) тоже инъективно.
Теперь отображение G → HomZ(HomZ(G,Q/Z),Q/Z) факторизуется через отображение G → ∏p Gp^, отсюда следует инъективность отображений M ⊗S G → M ⊗S ∏p Gp^ для всех таких M. Поскольку S-модуль ∏p Gp^ плоский, можно заключить, что плоским является и коядро морфизма G → ∏p Gp^. (См. лемму 3.1.6 и предложение 4.2.2 из книжки Jinzhong Xu, Flat covers of modules, Lect. Notes 1634, 1996.) | | 2:14 am |
Конечномерные теории кокручения
Пусть A -- точная категория, допустимые мономорфизмы и эпиморфизмы в которой мы будем называть просто "вложениями" и "сюръекциями"/"накрытиями"/... Пусть F и C -- два класса объектов в A, представителей которых мы будем называть "плоскими объектами" и "объектами кокручения". Допустим, что класс F замкнут относительно расширений в A, и всякий объект из A можно накрыть объектом из F.
Будем говорить, что объект Q из A имеет "коразмерность кокручения, большую или равную s", если существует конечная точная последовательность в A, в которой самый правый ненулевой объект равен Q, самый левый -- произвольный, а остальные, в количестве s штук, принадлежат C.
Лемма: предположим, что любой плоский объект в A можно вложить в плоский объект кокручения так, что факторобъект является плоским. Тогда всякий объект в A можно вложить в объект сколь угодно большой коразмерности кокручения так, что факторобъект будет плоским.
Доказательство: индукция по коразмерности кокручения s. Всякий объект имеет коразмерность кокручения не меньше нуля, так что база очевидна. Допустим, что мы уже научились вкладывать произвольный объект в объект коразмерности кокручения s с плоским фактором, и сделаем то же самое для коразмерности s+1.
Пусть X -- произвольный объект из A. Согласно предположению, существует сюръекция G → X, где объект G плоский. Обозначим ядро этого отображения через Y и вложим его в объект Q коразмерности кокручения не меньше s так, чтобы коядро H = Q/B было плоским. Пусть Е -- расслоенное копроизведение Q и G над Y; тогда объект E плоский как расширение объектов H и G, а ядро Q сюръективного отображения E → X имеет коразмерность кокручения не меньше s.
Вложим теперь плоский объект E в плоский объект кокручения P так, чтобы коядро D = P/E было плоским. Тогда коядро R = P/Q композиции Q → E → P является объектом коразмерности кокручения не меньше s+1. Объект X естественным образом вкладывается в R с коядром D. Лемма доказана. Заметим, что мы даже построили для нашего объекта R точную последовательность с s+1 средними членами слева от R, являющимися плоскими объектами кокручения. | | Thursday, January 23rd, 2014 | | 1:33 am |
Гомологическая коразмерность
Нижесказанное применимо к любой теории кокручения в точной категории (с достаточным количеством объектов нужных классов), но для определенности, пусть речь идет о плоских модулях и модулях кокручения над ассоциативным кольцом R. Все модули у нас будут левые. Напомним, что R-модуль K называется модулем кокручения, если ExtR>0(F,K) = 0 для всех плоских R-модулей F. (Читатель немного потеряет, если, для простоты, опустит всюду ниже слово "плоский" и одновременно заменит слово "кокручения" на "инъективный".)
Размерностью кокручения R-модуля P называется минимальная длина его правой резольвенты, составленной из R-модулей кокручения, или, что то же самое, максимальное целое d, для которого существует плоский R-модуль F, такой что ExtRd(F,P) ≠ 0. Размерность кокручения ненулевого R-модуля есть неотрицательное целое число или плюс бесконечность. Если максимально возможная проективная размерность плоских R-модулей равна конечному целому D, то размерность кокручения ненулевых R-модулей принимает значения от 0 до D. Ненулевой R-модуль P является модулем кокручения тогда и только тогда, когда его размерность кокручения равна нулю.
Будем называть коразмерностью кокручения R-модуля P минимальное целое c, для которого существует плоский R-модуль F проективной размерности c+1, такой что ExtR>0(F,P) ≠ 0, или, что все равно, существует F как выше, такой что ExtR1(F,P) ≠ 0. Коразмерность кокручения R-модуля есть неотрицательное целое число или плюс бесконечность. Если максимально возможная проективная размерность плоских R-модулей равна конечному целому D, то коразмерность кокручения R-модулей принимает значения от 0 до D−1 или плюс бесконечность. Если все плоские R-модули имеют конечную проективную размерность, то R-модуль P является модулем кокручения тогда и только тогда, когда его коразмерность кокручения равна плюс бесконечности (импликация "только тогда" выполнена в любом случае).
Если 0 → P → K → Q → 0 -- короткая точная последовательность R-модулей, в которой модуль K является модулем кокручения, то размерность кокручения модуля Q на единицу меньше, чем размерность кокручения модуля P, или равна нулю, а коразмерность кокручения модуля Q больше, чем коразмерность кокручения модуля P, или обе они равны бесконечности. Если 0 → P → K1 → K2 → … → Ks → Q → 0 -- точная последовательность R-модулей, в которой модули Ki являются модулями кокручения, то коразмерность кокручения модуля Q больше либо равна s. Если ExtRi(F,P) ≠ 0 для некоторого i > 0, модуль P имеет коразмерность кокручения c, а модуль F плоский (или, хотя бы, имеет плоскую размерность ≤ i−1), то проективная размерность модуля F не меньше c+i. Если 0 → P → E → Q → 0 -- короткая точная последовательность R-модулей, то коразмерность кокручения ccdR(E) модуля E не меньше минимума из ccdR(P) и ccdR(Q), а коразмерность кокручения ccdR(Q) модуля Q не меньше минимума из ccdR(E) и ccdR(P)+1.
Если максимально возможная проективная размерность плоских R-модулей равна конечному целому D, то сумма размерности кокручения и коразмерности кокручения R-модуля P не может быть больше D (если коразмерность кокручения равна бесконечности, ее нужно заменить здесь на D, чтобы неравенство было верно во всех случаях). Но, конечно, сумма размерности и коразмерности кокручения может быть меньше D. (Чтобы построить контрпример, достаточно рассмотреть случай кольца R, являющегося прямой суммой двух колец, для которых максимальные проективные размерности плоских модулей -- оба конечные, но разные числа.) | | Friday, January 17th, 2014 | | 10:10 pm |
Лемма Накаямы Пусть T -- ассоциативное кольцо без единицы, такое что для любых элементов t и a ∈ T найдется элемент b ∈ T, удовлетворяющий уравнению a = b − bt. Пусть M -- конечно-порожденный левый T-модуль. Тогда если TM = M, то M = 0. Доказательство: пусть {m i} -- минимальное по включению конечное множество образующих M. По определению, это означает, что M = ∑ i Zm i + ∑ i Tm i, откуда, в наших предположениях, M = TM = ∑ i Tm i. Покажем от противного, что множество индексов i пусто. Пусть m 0 -- одна из наших образующих; тогда m 0 = ∑ i t im i для некоторых t i ∈ T. Перепишем это равенство в виде m 0 − t 0m 0 = ∑ j t jm j (суммирование по j ≠ 0). Согласно условию, для любого a ∈ T найдется b ∈ T, такой что a = b − bt 0. Теперь am 0 = bm 0 − bt 0m 0 = ∑ j bt jm j, откуда Tm 0 ⊂ ∑ j Tm j и M = ∑ j Mt j, в противоречие с минимальностью множества образующих m i. Это называется, примерно, "лемма Накаямы для ассоциативных колец без единицы, совпадающих со своим радикалом Джекобсона, и конечно-порожденных модулей над ними". Ее аналог для контрамодулей над топологическими кольцами, имеющий место без предположения конечной порожденности, играет важную роль в соответствующей теории. Некоторый недостаток существующей формулировки контрамодульной леммы Накаямы (см. лемму 1.3.1 в препринте Weakly curved A-infinity algebras...) состоит, однако, в том, что она скорее похожа на обычную лемму Накаямы для нильрадикалов дискретных колец, чем для их радикалов Джекобсона. Формулировка по ссылке требует, чтобы топологическое кольцо T было топологически нильпотентным, т.е. всякая окрестность нуля в T содержала T N для достаточно большого натурального N. Нельзя ли придумать вариант контрамодульной леммы Накаямы, больше похожий на вышеприведенную формулировку с радикалом Джекобсона? Скажем, пусть T -- топологическое ассоциативное кольцо без единицы, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля (последнее условие нужно, чтобы понятие левого T-контрамодуля имело смысл). Допустим, имеется непрерывное отображение β: T × T → T, удовлетворяющее уравнению α = β(α,τ) − β(α,τ)τ для всех τ и α ∈ T. Пусть P -- левый T-контрамодуль, для которого отображение контрадействия T[[P]] → P сюръективно. Следует ли отсюда, что P зануляется? Или, хотя бы, пусть R -- топологическое ассоциативное кольцо с единицей, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, T -- замкнутый двусторонний идеал в R, σ: T → R -- непрерывное отображение, переводящее элемент t ∈ T в (1−t) −1 ∈ R. Пусть P -- левый R-контрамодуль, для которого отображение контрадействия T[[P]] → P сюръективно; можно ли утверждать, что P = 0 ? Или на топологическое кольцо R с идеалом T нужно наложить какое-то другое условие "джекобсоновской радикальности", отличающееся от существования и непрерывности σ ? Ранее на ту же тему: http://posic.livejournal.com/191812.html , http://posic.livejournal.com/107398.html03.02.14 - Update: что-то странное все же написано в этом постинге. Например, вышеописанным условиям "существования и непрерывности отображения β или σ" удовлетворяет любое дискретное ассоциативное кольцо с его радикалом Джекобсона. Контрамодули над дискретным кольцом суть просто обычные модули. Очевидно, в такой ситуации лемма Накаямы может быть выполнена только для конечно-порожденных (контра)модулей. С другой стороны, если пытаться придумать версию леммы Накаямы специально для конечно-порожденных контрамодулей, то нужно прежде всего иметь в виду, что всякий конечно-порожденный контрамодуль является в то же время и конечно-порожденным модулем (поскольку конечно-порожденный свободный контрамодуль совпадает со свободным модулем с теми же образующими). При этом не всякий конечно-порожденный модуль допускает структуру контрамодуля. Так что условие на топологическое кольцо (или замкнутый идеал в топологическом кольце) должно быть не сильнее, но слабее обычного джекобсонова условия на подлежащее абстрактное кольцо (с забытой топологией). | | Sunday, January 12th, 2014 | | 5:18 pm |
Инд-схемы нильпотентного типа Это к вопросу о контрагерентных копучках контрамодулей над инд-схемой векторов Витта (многообразия в характеристике p), полубесконечной алгебраической геометрии (в нильпотентной ситуации), и т.п. -- базовая техника для этого дела развивается теперь в новом приложении D к текущей версии http://positselski.narod.ru/contrah.pdf (228 страниц сейчас). К сожалению, это пока только локально контраприспособленные контрагерентные копучки. Как доказывать полноту необходимых "теорий кокручения" для построения контрагерентных копучков локально кокручения на инд-схемах, не являющихся нетеровыми формальными схемами, по-прежнему неизвестно. Не говоря уже об инд-схемах ненильпотентного типа, о возможностях разумного определения контрагерентных копучков контрамодулей на которых неизвестно совсем ничего. | | Sunday, December 29th, 2013 | | 3:38 pm |
Контрамодули, контрапроизводные категории и контрагерентные копучки Это предположительное название неофициального (по крайней мере, вне формального расписания факультета математики ВШЭ -- возможно, будет иметь смысл попробовать включить его в расписание НМУ) семинарчика по "моей науке", который я хочу устроить в наступающем весеннем семестре. Анонс: определения искривленных DG-алгебр, а потом и производных категорий второго рода приоткрыли дверь в новый мир в (гомологической) алгебре, похожий и непохожий на привычный мир DG-алгебр и их обычных производных категорий. Сейчас математики понемногу проникают в эту дверь и обнаруживают за ней разные конструкции и их приложения (наиболее заметное на сегодняшний день -- к триангулированным категориям матричных факторизаций), но масштабы этого проникновения и этого уже обнаруженного несопоставимы с тем, что за этой дверью потенциально может быть найдено. Цель этого семинара -- подобраться к таким ожидаемым применениям перечисленных новых техник, как полубесконечная алгебраическая геометрия, а также (оптимистически) DG-модули над комплексом де Рама-Витта и их связь с кристаллами и p-адической теорией Ходжа. Предполагается обсудить такие темы, как 1. Контрамодули над топологическими кольцами, лемма Накаямы, контрамодули над нетеровыми кольцами с адической топологией. 2. Производные категории (первого и) второго рода: конструкции полуортогональных разложений, техника доказательств теорем эквивалентности производных категорий второго рода и полной строгости функторов между ними. 3. Комодульно-контрамодульное соответствие (разные примеры); возможно -- также полупроизводные категории и полумодульно-полуконтрамодульное соответствие (примеры). 4. Модули кокручения, существование достаточного количества плоских модулей и модулей кокручения, контраприспособленные и очень плоские модули, теории кокручения в точных категориях. 5. Контрагерентные копучки на квазикомпактных полуотделимых схемах и на нетеровых схемах. 6. Теоретико-категорный бэкграунд: точные категории, модельные категории и т.д. 7. Теоретико-множественные методы (представимость Брауна, small object argument, и т.д.) Предполагается попробовать выполнить стандартное обещание и организовать дело так, чтобы почти все доклады делали не руководитель семинара, а студенты (которым я буду помогать в подборе литературы и отборе материала). Предварительные сведения: материал стандартных вводных курсов гомологической алгебры (включая производные и триангулированные категории, полуортогональные разложения), теории пучков, коммутативной алгебры и алгебраической геометрии (нетеровость, пополнения, квазикогерентные пучки и схемы) предполагается известным. P.S. См. также краткое изложение несостоявшейся заявки -- http://positselski.narod.ru/summary.pdf | | Saturday, December 7th, 2013 | | 3:32 pm |
Новое определение производных категорий второго рода? Будем говорить, что абелева категория A с бесконечными произведениями (т.е., удовлетворяющая Ab3*) удовлетворяет Ab4.5*, если для любой проективной системы комплексов C α над A, занумерованной элементами α вполне упорядоченного множества I, такой что для любого α ∈ I отображение C α → lim β<α C β сюръективно, а ядро его является ацикличным комплексом, проективный предел lim α∈I C α тоже является ацикличным комплексом. Нетрудно убедиться, пользуясь индукцией по I, что достаточно проверять это условие для трехчленных комплексов (коротких точных последовательностей). Легко видеть, что аксиома Ab4.5* сильнее Ab4* (точности бесконечных произведений), но слабее Ab5* (точности направленных проективных пределов). Категории абелевых групп/модулей над кольцом/диаграмм/функторов/аддитивных функторов в абелевы группы/в категории, удовлетворяющие Ab4.5*/... удовлетворяют Ab4.5*. Любая абелева категория с достаточным количеством проективных объектов удовлетворяет Ab4.5*. Соответственно, любая абелева категория с достаточным количеством инъективных объектов удовлетворяет двойственной аксиоме Ab4.5 (про индуктивные пределы). Контрпример абелевой категории, удовлетворяющей Ab4*, но не Ab4.5*, предъявлялся в известной истории с "опровержением теоремы 61-го года в гомологической алгебре" ( http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs002220100197 ); потом выяснилось, что вопрос упирается в наличие множества образующих ( http://jlms.oxfordjournals.org/content/73/1/65.short ), но при этом речь шла только о проективных пределах последовательностей (индексированных натуральными числами). Следует ли Ab4.5* из Ab4* при наличии множества образующих, я не знаю. Более общим образом, пусть E -- точная категория. Будем называть проективную систему X α в категории E, индексированную элементами вполне упорядоченного множества I, миттаг-леффлеровой, если для любого α ∈ I проективный предел lim β<α X β существует в категории E, а отображение X α → lim β<α X β является допустимым эпиморфизмом. Точная категория E называется точной категорией с точными миттаг-леффлеровыми проективными пределами, если любая миттаг-леффлерова проективная система в E имеет проективный предел, и функтор проективного предела переводит почленно точные короткие последовательности (или почленно точные/ацикличные комплексы) миттаг-леффлеровых проективных систем в, соответственно, короткие точные последовательности (или точные/ацикличные комплексы) объектов E. В такой точной категории, проективный предел lim α∈I X α (в обозначениях выше) называется трансфинитно-итерированным расширением объектов ker(X α→lim β<αX β) в смысле проективного предела. Пусть теперь DG -- точная DG-категория, такая что точная категория DG # имеет точные миттаг-леффлеровы проективные пределы (или, что, видимо, эквивалентно, по крайней мере, в предположении идемпотентной замкнутости, точная категория Z 0(DG) имеет точные миттаг-леффлеровы проективные пределы). Определим по-новому контрапроизводную категорию D ctr(DG) как факторкатегорию гомотопической категории H 0(DG) по толстой (на самом деле, даже колокализующей) подкатегории объектов, гомотопически эквивалентных трансфинитно-итерированным расширениям в смысле проективного предела в точной категории Z 0(DG) конусов тождественных отображений в DG-категории DG. Например, тотализация точной тройки в Z 0(DG) является расширением двух конусов тождественных отображений (крайних объектов в точной тройке, с точностью до сдвига); так что контраацикличные объекты в смысле моего старого определения являются также контраацикличными в смысле вышеприведенного нового. Вот еще один вариант определения, потенциально расширяющий класс контраацикличных объектов еще сильнее: контрапроизводная категория есть факторкатегория гомотопической категории по толстой/колокализующей подкатегории всех объектов, которые можно получить из нулевого объекта с помощью операций перехода к трансфинитно-итерированному расширению в смысле проективного предела в Z 0(DG) и перехода к изоморфному объекту в H 0(DG) (т.е., к гомотопически эквивалентному объекту в DG). Как было, по существу, объяснено в предыдущем постинге http://posic.livejournal.com/1023730.html , контраацикличные объекты (даже в смысле самого расширительного, последнего определения) ортогональны справа в H 0(DG) всем объектам DG, проективным в DG # (здесь важно, что трансфинитно-итерированные расширения в Z 0(DG) остаются таковыми в DG #). Образуют ли эти две триангулированные подкатегории, H 0(DG proj) и Acycl ctr(DG), полуортогональное разложение гомотопической категории H 0(DG) ? |
[ << Previous 20 ]
|