renuar911's Journal
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends]

Below are the 20 most recent journal entries recorded in renuar911's LiveJournal:

    [ << Previous 20 ]
    Tuesday, April 8th, 2014
    7:37 pm
    Глава 42. Нас заинтересовали расстояния от точки до сторон треугольника
    .
    .
    - Так что же, Андрюшенька, сегодня опять геометрией займемся?
    - Да, дедуля. Хочу еще с треугольником повозиться. Интересная эта фигура, понимаешь!
    - Хорошо. Тогда рассмотрим замечательную теорему Вивиани. Она хорошо описана в Википедии. Посмотри рисунок и суть теоремы:



    "Сумма длин отрезков ℓ + m + n равна высоте равностороннего треугольника".

    Как видишь, тут идет речь только о равностороннем треугольнике.
    - А как будет звучать эта теорема для произвольного треугольника?
    - Нет проблем! Посмотрим в интернете. Ищем информацию по предложению "расстояния от точки до сторон треугольника".
    - Сейчас, дедуля, я наберу буковки и мы посмотрим. О! Тут много всего. И теорема Вивани есть, и равнобедренный треугольник есть. Но общего же случая нет! И если все рисунки посмотреть - ну нет такого общего случая! Это почему?
    - Во-первых, не Вивани, а Вивиани. Во-вторых, могут иметь место два варианта: либо никто не догадался решить общую задачу, либо это все есть в литературе, но интернет ее игнорирует. Секретная информация, наверное.
    - Да чего тут секретного? Равносторонний треугольник куда более секретный.
    - Что ж, мой дорогой, - лучше гадать не будем, а сами выведем все формулы. Наша статья ведь скоро окажется в инете и это станет нашим с тобой вкладом в науку.
    - Давай, дедуля! Я думаю, что рисунок должен быть таким:



    - Все верно, Андрюшик. Мне очень даже понравилось. Понравилось очень то, что решать будем не классической древнегреческой геометрией, а аналитической геометрией в декартовых координатах. Причем три координаты нулевые. Ясно же всякому школьнику: чем больше нулей в математической модели, тем результат проще. Я думаю так: нужно вывести уравнения линий, которые принадлежат боковым сторонам треугольника.
    - А дальше как, дедуся?
    - Дальше лезем в справочник Выгодского и находим формулу для расстояния от точки до прямой. Смутно эту формулу помню, там модуль есть. Но лучше посмотреть.
    - Я сейчас хочу посмотреть!
    - Бога ради, Андрюшенька! Лезь в предметный именной указатель, что в самом конце книги, и находи фразу "расстояние от точки до прямой".
    - Одну минуточку. Вот, нашел! Указаны страницы, где это встречается. Страницы 49 и 223.
    - Ну, страница 223 нам и не нужна, смотри сорок девятую. Там должно быть подробно, ну, как формула выводится...
    - Есть! Действительно дается такая формула. И действительно модуль есть. Оказывается, вот в каком виде нужно прямую линию представить:



    и тогда в нашем случае расстояние от точки N до любой прямой выразится такой формулой:



    -Деда, а чему равны коэффициенты K, L , M ?
    - Это зависит от уравнения конкретной прямой. Получим уравнение прямой и надо привести ее к виду, что мы записали. К этому мы еще придем, когда найдем уравнения боковых сторон твоего синего треугольника.
    -Деда, давай выведем линии боковых сторон. Как я понял, линию для стороны AB и линию для стороны .
    - Проще первую линию, так как она есть луч, исходящий из начала координат. Вторая линия более общая. Пишу последовательно и внимательно. Следи за мной:



    - Деда! А почему ты для второй прямой много минусов дал? Можно же знаки смело поменять.
    - Это я специально сделал. Чтобы модуль не писать. Дело в том, что выгодно физически верно отобразить то, что на нашем рисунке. Но идем дальше. Теперь легко составить формулы для расстояний от точки N до сторон произвольного треугольника:



    Теперь вот что, Андрюшенька, желательно проверить наш последний результат. Ведь я недаром вспомнил теорему Вивиани. Если треугольник будет равносторонний, то для любой точки внутри него сумма расстояний от этой точки до сторон должна получиться равной высоте треугольника. Нужно будет подставить в наши формулы элементы равностороннего треугольника и получить результат Вивиани.
    - А если не получится?
    - Тогда очевидно, что мы с тобой ошиблись.
    - Хорошо, как подставить данные равностороннего треугольника?
    - Очень просто. Все входящие в уравнения координаты вершин выразить через сторону равностороннего треугольника a . Сможешь самостоятельно сделать?
    - Попробую! Вот так пишем:



    Вычислим корни в знаменателях:



    Пока все логично: все стороны равны a . Теперь подставим в сумму всех трех расстояний:



    Ура, дедуля! Мы получили действительно высоту равностороннего треугольника! То есть с самых общий позиций доказали теорему Вива... , то есть Вивиани.
    - Замечательно, мой дорогой. Интересно еще рассмотреть на простом примере одну интересную штуку. Как меняется сумма трех расстояний внутри произвольного треугольника? Для этого зададимся координатами вершины A , допустим (7,11) и координаторами вершины C , допустим (10,0) . Поступим так: в Вольфраме набьем эти данные в функции от x и y :

    plot((11x-7y)/sqrt(7^2+11^2)+((10-x)*11-(10-7)*y)/sqrt((10-7)^2+11^2)+y,x=0..10,y=0..11)

    Получим номограмму, на которую нужно нанести наш треугольник. Эта номограмма выглядит так:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28%2811x-7y%29%2Fsqrt%287%5E2%2B11%5E2%29%2B%28%2810-x%29*11-%2810-7%29*y%29%2Fsqrt%28%2810-7%29%5E2%2B11%5E2%29%2By%2Cx%3D0..10%2Cy%3D0..11%29

    Если наш треугольник нанести и удалить области за его пределами, то так все замечательно выглядит:



    Изолинии и есть суммы трех расстояний. Такую интересную задачу мы решили с тобой. Ты рад?
    - Еще бы! Я же говорил, что треугольник это самая замечательная фигура на свете.

    9 апреля 2014 г
    Москва
    Monday, January 27th, 2014
    11:34 am
    Глава 41. Мы с Андрюшей улучшаем линейную регрессию
    .
    .
    - Деда, что такое классический метод?
    - Если простыми словами, то кем-то гениальным придуманный, многими специалистами проверенный, доказавший свою непогрешимость в миллионах случаях.
    - Как здорово, дедуль! А пример можно? Ну, какой ты знаешь классический математический метод?
    - Да много их в математике, Андрюшенька. Возьми теорему Пифагора. Чем не классика? Или метод итерации Ньютона, метод решения системы линейных уравнений Гаусса. Видишь, за каждым классическим методом стоит титан математики.
    - А еще?
    - Ну, раз мы коснулись системы линейных уравнений, то было и развитие этой темы.
    - Какое развитие, дедуль?
    - А такое. Система линейных уравнений чаще всего решается однозначно, если число уравнений в точности равно числу неизвестных. Это ты знаешь. Но что делать, если число неизвестных больше, чем уравнений? Как тогда быть?
    - Не знаю, честно говоря.
    - А великий Гаусс догадался! Сейчас я войду в Википедию и прочитаю тебе абзац. Это на страничке "Метод наименьших квадратов". Вот, любуйся:

    "До начала XIX в. учёные не имели определённых правил для решения системы уравнений, в которой число неизвестных меньше, чем число уравнений; до этого времени употреблялись частные приёмы, зависевшие от вида уравнений и от остроумия вычислителей, и потому разные вычислители, исходя из тех же данных наблюдений, приходили к различным выводам. Гауссу (1795) принадлежит первое применение метода, а Лежандр (1805) независимо открыл и опубликовал его под современным названием (фр. Méthode des moindres quarrés). Лаплас связал метод с теорией вероятностей, а американский математик Эдрейн (1808) рассмотрел его теоретико-вероятностные приложения. Метод распространён и усовершенствован дальнейшими изысканиями Энке, Бесселя, Ганзена и других."

    - Деда, ты мог бы на примере показать красоту этого классического метода наименьших квадратов? Хочется руками его пощупать, а не абстрактно слушать ушами.
    - Хорошо, Андрюша. Поступим классически: зайдем на форум и поможем решить кому-нибудь задачу на линейную регрессию.
    - А если никто не попросит?
    - Да быть этого не может! Такие задачи очень часто приходится решать студентам. Обязательно наткнемся. Зайдем в раздел форума " Математическая статистика и Эконометрика" - там обязательно будет, что ищем. А вот и угадал! Смотри, тема: "Метод наименьших квадратов", автор torya999. Читаем вместе:



    - Дедуль, но тут же не линейная зависимость, а экспоненциальная.
    - Прологарифмируй обе части, будет линейная.
    - Верно, дедуля. И как быть дальше?
    - Дальше мы с тобой напишем программку и рассчитаем. Итак, за дело:

    dim x(100),y(100)
    n=4
    x(1)=0:x(2)=1:x(3)=2:x(4)=3
    y(1)=13.8:y(2)=7.9:y(3)=6.1:y(4)=2.9
    for k=1 to n
    sx=sx+x(k)
    sy=sy+y(k)
    sx2=sx2+x(k)^2
    slny=slny+log(y(k))
    sxlny=sxlny+x(k)*log(y(k))
    next k
    b=(n*sxlny-sx*slny)/(n*sx2-(sx)^2)
    a=slny/n-b/n*sx
    R=exp(a):i=1/b
    print R using "###.########",i using "###.########"
    for k=1 to n
    s2=s2+(y(k)-R*exp(x(k)/i))^2
    next k
    print s2

    Метод наименьших квадратов реализуется по таким формулам:



    - Деда, и что же в результате получаем?
    - Вот, запускай программу и смотри результаты.
    - Всего три числа: 13.90015301 -2.02492785 1.26917
    - Все верно. Первые два числа - это R0 ; i . Третье число - это сумма квадратов отклонений. Можешь строить график, наложи экспериментальные точки и запиши формулу.
    - Хорошо! Сейчас сделаем в фотошопе...



    - Итак, Андрюшенька, мы задание выполнили и сделали это классическим методом наименьших квадратов.
    - Теперь можно кричать: "Ура!", да?
    - Еще рано. Теперь испытаем наш метод. Вероятностный метод аппроксимации. Пишем программу:

    dim t(100),R(100)
    z=.0001
    t(1)=0:t(2)=1:t(3)=2:t(4)=3
    R(1)=13.8:R(2)=7.9:R(3)=6.1:R(4)=2.9
    R00=13.8:i0=2
    s1=10^150
    for j=1 to 1000000
    i=i0*(1+z*(ran()-.5))
    R0=R00*(1+z*(ran()-.5))
    s=0
    for k=1 to 4
    t=t(k):R=R(k)
    f=R0*exp(-t/i)
    s=s+(R-f)^2
    next k
    if s<=s1 then
    print i,R0,s
    s1=s
    i0=i:R00=R0:fi
    next j

    Запускай, мой золотой.
    - Есть запускать! Смотри, процесс стабилизировался и цыфырьки совсем иные.
    - Как иные? Должно получиться одинаково с классикой.
    - Нет, деда. И сумма квадратов другая - она меньше, чем была.
    - Вот-те раз! Оказывается, наша аппроксимация лучше. Результаты такие: 2.10138 13.6623 1.18956 . Срочно строй график, точки и формулу. Вот ведь как интересно у нас с тобой!
    - Одну пятиминутку, дедуль. Тут внимательно нужно... Готово!



    Под графиком я привел на черном фоне самый кончик расчетов. Видно, что результаты стабилизировались.
    - Так-так. Теперь смотрим и сопоставляем.
    - Деда! У нас кривая лучше идет между точек. Это видно невооруженным глазом. Смотри, как у нас рационально прошмыгивает между точек. В классике похуже, как мне кажется.
    - И мне так кажется. Как сильно мы улучшили сумму квадратов отклонений?
    - Сейчас выясню. Так... На шесть и семь десятых процентов, дедуль!
    - Удивительно! Для математики это очень много. Кто бы нам помог в этом разобраться?
    - А ошибки быть не может?
    - Все может. Но все равно мы с тобой молодцы! Давай вручную рассчитаем сумму квадратичных отклонений. Справишься?
    - Справлюсь, конечно... Готово!



    - Да, Андрюшенька, пожалуй нам удалось улучшить классический метод наименьших квадратов. Сумма наших квадратов меньше!

    28 января 2014 г.
    г. Сидней

    Current Mood: energetic
    Sunday, December 22nd, 2013
    9:51 am
    Глава 40. Треугольник, квадрат, окружность и Корона Александрова
    .
    .
    - Андрюша! Скоро Новый Год. Какое ты загадаешь желание?
    - Желание? А кого будет Новый Год?
    - В смысле: какого животного? Ясно дело - год Лошади. Точнее - Деревянной Синей Лошади.
    - Деда, а какие еще Лошади бывают?
    - Самая буйная - Огненная шальная Лошадь. Вот в 2014 году Лошадь будет дружелюбнее других, она фонтанирует идеи, мечтает и фантазирует, убеждает всех в своих взглядах.
    - Ну и сказки ты рассказываешь! А желание у меня одно - хоть разок покататься верхом на лошади!
    - Хорошая мечта, внучек! Главное - легко осуществимая. Достаточно нам с тобой съездить на ипподром, там обязательно будет манеж, где можно за скромную плату покататься на удобном седле.
    - Давай съездим! В зимние каникулы.
    - Ой, холодно же ехать. Лучше весной или летом.
    - Договорились. А на чем мы остановились в прошлый раз?
    - Мы в треугольнике нашли шесть точек, которые удалены от сторон на расстояния, пропорциональные заданным числам.
    - А, помню! Давай еще о треугольниках и квадратах.
    - О треугольниках и квадратах? Может, еще и окружность добавим?
    - Можно и окружность.
    - Есть одна задача на форуме, где фигурируют треугольник, квадрат и окружность. Только в каком форуме я это видел? А, вот в этом. Читай вслух:



    - Вау! Надо ее еще и понять. Сейчас сделаю график... Смотри, дедуля:



    - Да, чертеж верный. Теперь нужно подумать, как из миллиона возможных треугольников найти самый-самый. Чтобы окружность, вписанная в него, оказалась самой большой.
    - Как же такой треугольник отыскать? Я даже не представляю.
    - Я, Андрюшенька, думаю так. Нужно произвести научное исследование произвольного треугольника, но с двумя фиксированными параметрами: основанием b и высотой h . Найти формулу для радиуса вписанной окружности, найти ее экстремум и затем уже - максимальный радиус вписанной окружности. Уловил?
    - Не совсем, дедуля. Чему равен радиус вписанной окружности произвольного треугольника?
    - Если память мне не изменяет, то он равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
    - Ба! Какая странная связь! Площадь, полупериметр, радиус... Ты не ошибся?
    - Вроде все верно. Проверь в Википедии. Найди страничку "Вписанная окружность".
    - Сейчас найду. Так-c... Ты, дедуля, прав! Тут все подробно сказано. Ладно, я сам справлюсь. Как что-то получу, тебя позову.
    - Как скажешь, дорогушечка. Я по телеку посмотрю пресс-конференцию Михаила Ходорковского в Берлине...
    - Деда! Иди сюда. Посмотри мое окончательное:



    - Ну, ты молоток! Начну проверять, ошибки выискивать... Тут ясно, с длинами сторон тоже, формула для радиуса понятна... А производная верно получена?
    - Делал в Вольфраме. Я ему доверяю.
    - И решал уравнение тоже в Вольфраме?
    - Тоже, дедуля. Ты посмотри на ответ.
    - О, боже! Как это здорово! Максимальная вписанная окружность будет только у равнобедренного треугольника!
    - А ты разве не знал?
    - Если честно, впервые за 63 года об этом слышу. Ну, просто никогда таким вопросом не задавался. Но это прекрасный результат! Это - надежда на удачное решение поставленной в самом начале задачи.
    - Деда! Мне сейчас в голову мысль стукнула. Я хочу сформулировать одну теорему и нарисовать нечто оригинальное. Ты иди досматривать свою пресс-конференцию.
    - Да, конечно! Вон, как раз Михаил Борисович продирается к столику...
    - Все! Беги сюда, деда! Взгляни острым глазом на вдохновение твоего внука!



    - Забавно! И название какое удачное! А формулу откуда взял?
    - Так подставил найденное бэ-пополам и упростил.
    - Гениально! Я знал лишь другую формулу. Но, конечно, сейчас и не вспомню. Нужно тоже выводить.
    - А, знаю! В инете походил по равнобедренным треугольникам и нашел. Даже красочно оформил ее и мою:



    - Класс! Где ты так научился интересно оформлять рисунки?
    - Папа научил в фотошопе. Понравилось?
    - Еще бы! Придется теперь тебе меня учить.
    - Без проблем.
    - Теперь вот что. Почему только две формулы? Давай рассмотрим, сколько основных параметров у равностороннего треугольника:



    - Считаю: основание, сторона, высота, угол. Всего четыре параметра!
    - Верно, Андрюшенька. А теперь посмотри на твои две формулы: видишь, в каждой из них радиус вписанной окружности зависит всего от двух параметров. Итак, перед нами комбинаторная задача: сколько еще формул можно написать, чтобы найти r ?
    - Что-то ты меня сегодня завалил задачами. Ладно, опять напрягу серое вещество. Дай только пять минут... Все! Сосчитал! Еще можно составить четыре формулы.
    - Верно! Сумеешь?
    - За пятнадцать минут сумею. Если никто мешать не будет.
    - Хорошо, хорошо! Я на кухню пойду, с твоей мамой поговорю о том, как тебя воспитывать лучше...
    - Деда! Готово! Беги скорей!
    - Ну-ка, покажи.
    - Любуйся и хвали что есть сил.
    - Хвалить рано. Я проверю на числах конкретных, ладно? Пусти меня на стул и тоже не мешай. Сходи к маме, папе, хомякам и котам...
    - Андрей! Все нормально! Иди сюда. Можно оформлять и - в печать!
    - Да я уже оформил. Вон, в фотошопе посмотри:



    - Прекрасно, Андрюша! Теперь школьники могут существенно пополнить свои шпаргалки. Но наступила пора решать нашу основную задачу, где треугольник вписан в единичный квадрат. Какие будут мысли?
    - Первая мысль такая. Вот черчу одну из возможных моделей, учитывая, что дело лучше иметь с равнобедренными треугольниками:



    - Ну, что-же. Логика тут есть. Вычисляй площадь треугольника, полупериметр, радиус вписанной окружности. И все это - в функции от икс.
    - Будет сделано! В принципе очень просто. Только возни много. Но я быстро... Вот и рисунок готов:



    Экстремум тут есть. Это уже хорошо! Сейчас беру производную, приравняю нулю и найду все, что нужно:



    Сейчас поточнее сделаю по команде "to 18 digits":



    К сожалению, в радикалах ответ не дал Вольфрам. Видимо, сложное уравнение оказалось. Но ничего! Точность ого-го какая!
    - Андрюшенька, все пока нормально идет. Запомни значение радиуса и попытаемся найти еще большее его значение. Что еще можно?
    - Еще такую штуку можно рассмотреть:



    - Да, но зачем тут-то другие треугольники помимо равнобедренного?
    - Ну... Чтобы лишний раз убедиться. Повторение же - сестра учения.
    - Не сестра, а мать. Сестра - она к таланту относится.
    - Пусть и к таланту. Бог с ней. Короче, я просто хочу еще раз потренироваться в составлении уравнений и поиске экстремума. Сейчас не дыши - я думаю... Вот такое получил:



    Ура! Экстремум точно лежит на половине стороны квадрата. Значит, наш желтый треугольник и равнобедренный, и в него вписывается наибольшая окружность. Я бы даже сказал - тут рекорд. Как ты смотришь, дедуль?
    - Мне тоже показалось, что больше. Проанализируй подробней этот момент.
    - Один секунд... Нашел простую радикальную формулу:



    И смотри! Радиус рекордный!
    - Да, действительно. Радиус больше на несколько сотых долей единицы. Но самый ли это большой радиус? Давай не будем гадать, а составим математическую модель численного расчета всевозможных вариантов. Я предлагаю такую схему:



    - Деда! Это ж сколько считать придется? Ведь все три точки нужно через миллиметр изменять.
    - Точно заметил. Мы переложим эту заботу на программу в Yabasic. Сейчас ее быстренько напишу:



    Вот мы и получили самый-самый оптимальный вариант: x=0.5 ; y=1 ; x1=1 ; rmax=0.309017. То есть как раз наш желтый равнобедренный треугольник! Задача решена!
    - Так просто, дедуля?
    - Ничего себе просто! Мы уже часа четыре головы не поднимаем. Сейчас нам твоя мама всыплет за такой трудоголизм.
    - Не всыплет! Она сама трудоголик. Слушай, знаешь что я обнаружил? В наш желтый треугольник вписывается окружность, диаметр которой



    а это ведь золотое сечение!
    - Действительно, золотое. Вот тебе и треугольник, квадрат и окружность! Сегодня ты сработал на золотую медаль.

    23 декабря 2013 г.
    г. Сидней.
    Tuesday, December 17th, 2013
    10:50 am
    Глава 39. О, сколько нам открытий чудных готовит треугольник
    .
    .
    - Деда! Ты помнишь, мы возились с треугольником?
    - Андрюша дорогой! Мы так много с тобой возились с ним, что напомни конкретно.
    - Да штрих-код сочиняли, помнишь?
    - Прекрасно помню. Наша беседа оформлена в виде Главы 3 этой книги. А что такое?
    - Хочется еще с треугольником повозиться. Нет никакой интересной задачи?
    - Найдем сейчас на форуме... А, вот! Один студент под именем conjack просит такое решить:



    - Давай ее решим!
    - А может не будем? Понимаешь, Андрюшенька, тут нужно аналитическую геометрию вспоминать, пересечения прямых искать, систему сложную решать...
    - Так мы же не руками будем решать. Вон, у нас Вольфрам какой сильный! Как Микки-Маус.
    - Сравнил с какой-то мышью! Ладно, уговорил. Так, дай я сам вникну в содержательную часть. Так, нужно сначала все три уравнения записать в явном виде. То есть игрек равен тому-то и тому-то. С этим ты, я думаю, с легкостью крокодила Гены.
    - Гыыыы! Крокодила Гены! Сию моменту! Так вот правильно?



    - Отлично, Андрюшенька. Теперь построй эти линии и все-все оформи. Чтобы понятно было.
    - Можно я в Вольфраме сделаю? А то Maple уже наскучило.
    - Да бога ради! Нужно все уметь осваивать.
    - Тогда я тут поколдую немного, хорошо? Я позову тебя, когда завершу... Деда! Иди смотреть! Вот что получилось:



    - Ты славно поработал! Даже ограничения-неравенства вывел. А точки пересечения прямых? Ведь они есть вершины заданного треугольника.
    - Точки я нашел. Их координаты целочисленные и легко выявляются по рисунку.
    - Тогда ладно. Начнем двигаться дальше. Знаешь, внучек, что я только заметил?
    - Что такое, дедуля?
    - Посмотри, шкалы у икса и у игрека разные.
    - Ой, я и не заметил. Что же делать? Переделывать?
    - Нет, пока не стоит. Просто будем знать, что треугольник у нас немного искаженный. А в дальнейшем все сделаем, как надо.
    - Тогда в путь, деда!
    - Погоди. Еще одно. Почему ты переменные икс и игрек дал с индексом?
    - Понимаешь, дедуль, этими переменными я как бы оформил границы треугольника. Зато все наши действия внутри треугольника, то есть координаты точки, которую надо найти, расстояния до сторон и прочее будем описывать через икс и игрек без индекса. Думаю, будет проще. Ведь впереди много всяких формул будет. Так?
    - Вообще-то логика есть. Пусть будет по-твоему, ибо это такие мелочи по сравнению с мировой революцией.
    - Какой еще революцией?
    - Да это я так, просто шучу. Раньше модно было говорить, когда планету пугали призраком коммунизма. Ладно, давай ближе к делу, а то уйдем в политику, экономику и конвергенцию.
    - А что такое... Ой, молчу, молчу. Что дальше будем бурить?
    - Дальше будем вспоминать, как найти расстояние от точки до прямой. Ты помнишь?
    - Помилуй! Я этого никогда и не знал! Знаю только, что нужно из точки опустить на прямую перпендикуляр.
    - Верно! Кажется я начинаю вспоминать лекции Сканави. Надо же! Сорок с лишним лет прошло, а мозг сохраняет многие вещи! Давай так, я напишу формулу и затем ее проверим в интернете.
    - А долго ее писать?
    - Секунд тридцать или двадцать. Она коротенькая. Вот, кажется все правильно:



    - Деда, как же ее применить к нашей задаче?
    - Смотри внимательно:



    - А! Я понял! Ты значит расстояния от нужной точки внутри треугольника задал пропорционально указанным в условии числам. И получил систему трех уравнений с неизвестными x, y, k . Осталось только решить ее. А как?
    - Андрюша! Тебе ли у меня спрашивать? Реши систему в Вольфраме, например.
    - Точно! Вот гляди - набираю в окошке
    |2x+y-22|/sqrt(5)=20k&&|2x-y+18|/sqrt(5)=12k&&|x-2y-6|/sqrt(5)=15k
    и получаю в итоге:



    - Очень интересно! Теперь из этих четырех решений нужно выбрать такое, в котором координата точки (x, y) находится внутри треугольника.
    - Я уже нашел, дедуля! Видишь, первое решение обвел тонкой рамкой. Вот единственная точка (-1, 4) , которая попала внутрь. Остальные - кто в лес, кто по дрова.
    - Сейчас проверю... Ух, ты! Правда за тобой, однако! Ну, молоток.
    - На этом все?
    - Нет, нет! Нужно, Андрюшенька, комбинаторно перелопатить все перестановки чисел пропорциональности.
    - И сколько придется лопатить?
    - Естественно, еще пять вариантов.
    - Ясно! Дай я. То есть у нас сейчас порядок 20k , 12k , 15k , а нужно еще:

    20k , 15k , 12k
    12k , 15k , 20k
    12k , 20k , 15k
    15k , 12k , 20k
    15k , 20k , 12k

    - Все правильно, внучек. Не зря же мы столько часов посвятили сочетаниям и перестановкам. Беседы не прошло даром. Раз ты все понял, то тебе задание: найти, если удастся, еще решения задачи. Я, честно говоря, не знаю - будет ли еще реальная точка, подобная нашей первой?
    - Хорошо, дедуль. Оставь меня одного, я сделаю все, что в моих силах.
    - А я пойду посуду помою и приготовлю яичницу с колбаской. Будешь?
    - Еще как буду! Ну, все. Не отвлекай...
    - Так, дорогой мой математик, обед готов. Как дела?
    - Деда! Нашел еще пять точек! Вот это задачка! Смотри мою табличку:



    - Если это так, то осталось последнее: построить неискаженный треугольник и нанести все шесть точек. От каждой точки провести по три перпендикуляра на стороны. Тогда увидим: верны ли наши потуги.
    - Это, дедуля, за 15 минут сделаю... Вот, готово:



    - Красота! Сейчас любую точку проверю по соотношениям длин перпендикуляров... Так, ошибка не больше трех процентов! Поздравляю тебя с блестяще выполненной работой. Ты у меня молодец! Пошли быстрей кушать холодную яичницу!
    - Пошли! Я голодный, как волк.

    17 декабря 2013 г.
    г. Сидней
    Tuesday, December 3rd, 2013
    11:02 am
    Глава 38. Мы с Андрюшей учимся искать простой метод
    .
    .
    Внуку скоро восемь лет. Совсем уже скоро - через десять дней. Нужно срочно купить подарок. Я посоветовался с женой, решили мы обновить нашему любимчику детское автомобильное кресло. Старое хоть и в отличном состоянии, но узким стало. Быстро же растут кости у маленьких человечков! Пока искали в интернете подходящие варианты, позвонил сам Андрюша. Вид его был явно невеселый и жалобно тянул:
    - Мне скууучнооо! Приезжааай.
    - Ладно, Андрюшенька, жди. Мне как раз нужно по пути кое-что купить. Минут через сорок у тебя буду...
    - Ура, дедуля!
    - Здравствуй, мой дорогой мямлик. Что сотряслось в твоем организме?
    - Хочу с тобой поиграть, порисовать, графики строить.
    - А сам что не можешь?
    - Да, я по тебе соскучился. Хочется поговорить, проблемы решить мировые. Мне один старшеклассник задачку одну подкинул. Сказал, что не решу и за сто лет.
    - Сам-то он эту задачу решил?
    - Нет, не сумел. Говорит, что озверел от натуральных логарифмов.
    - Никогда не слышал, чтобы от логарифмов зверели. Покажи, что это за задача.
    - Смотри, вот я ее на ладони написал. Даже руки пришлось не мыть, чтобы не стерлась:



    - Ясно, внучек. Какие у тебя мысли по поводу поиска неизвестного икса?
    - Первое, что на ум приходит - логарифмировать обе части равенства.
    - Хорошо, действуй. У меня пока что никаких мыслей.
    - Вот шаги действий: первый - исходное выражение, второй - его логарифмирование, третий - еще одно логарифмирование:



    - Ну, что же, Андрюшенька, алгебра верна. Как же отсюда выудить икс?
    - Деда! Я попробую сначала решить в Maple и Вольфраме ... Ой, что такое? Мапл дает лишь комплексный корень:



    а Вольфрам совсем отказался что-либо показывать.
    - Хорошо. Проверь в Мапл верность мнимого корня.
    - Очень просто! Вот, любуйся:



    - Интересно. Это действительно корень. Видишь, мнимая часть небольшая, а действительная - чуточку меньше 2013. Но по логике должен быть реальный корень и должен быть он равен чуть больше единицы. Надо попробовать найти его графически. Сможешь?
    - Сейчас, дедуля, поколдую... Нашел нужную точку! Вертикальная красная линия - исходное выражение, наклонная зеленая - она же после двойного логарифмирования. Ну, третье мое уравнение:



    - Корень приближенно равен x = 1.003786 . Вполне логично. Только вот что. Раз график строится, то и корень должен с любой точностью вычисляться. Сделай-ка численные решения уравнения, которое дважды прологарифмировал, и посмотрим корни.
    - Секундочку, дедуля... Готово:



    Получили! Корень найден.
    - Очень хорошо. Как же выудить абсолютно точное значение? Надо думать. Ты поиграй цифрой 2013, возможно что-то прояснится. Я пока схожу в торговый центр "Магнит" за батарейками...
    -Деда! Я знаешь что обнаружил?
    - Что обнаружил?
    - Удивительное дело! Вот погляди, точно такой же корень:



    - Фантастика! Как же так? О, боже! Только сейчас до меня дошло!
    - Что дошло, дедуля?
    - Да, понимаешь, - надо было сразу мне догадаться. Вот я тебе наглядно покажу на рисунке:



    Видишь, если у нас икс в степени a равно a, как показано в верхней части рисунка, то мы можем спускаться вниз по этажам и опять придем с чего начали.
    - Точно, дедуля! Значит, наше точное решение - это:



    - Вот, Андрюша, наш с тобой основной недостаток: мы не научились шире смотреть на задачи, а мчимся быстрей логарифмировать и запутываться.
    - Да, дедуль. Зато мы теперь стали умней старшеклассника!


    3 декабря 2013 г.
    г. Железнодорожный
    Sunday, December 1st, 2013
    3:43 am
    Глава 37. Суммы одинаковых степеней натуральных чисел
    .
    .
    - О чем думаешь, Андрюша?
    - Думаю о натуральном ряде чисел. Пусть в нем m членов. Чему будет равна сумма?
    - Эта задача простая для старшеклассников. Они проходят, чему равна сумма арифметической прогрессии. Насколько я помню, чтобы найти m членов арифметической прогрессии взять полусумму первого и последнего члена и умножить ее на m .
    - Итак, дедуля, в натуральном ряде первый член всегда единица, последний член равен m , их складываем, делим пополам и умножаем опять на m . Получим формулу:



    - Да, дорогой. Это верно. Не надо мучиться и складывать, скажем сто членов натурального ряда, а просто взять и вычислить сумму по твоей формуле.
    - Как интересно! Да я могу и в уме. Один плюс сто - это сто один и у множим лучше на сто пополам. Итого будет сто один умножить на пятьдесят. Верно?
    - Абсолютно верно. Но мне пришла в голову мысль решить более общую задачу. Как ты на это смотришь?
    - Это, дедуля, смотря какую задачу.
    - Вот смотри, я тебе ее напишу на твоей доске. Где синий фломастер?
    - Он в ящике, сейчас найду. На, бери на здоровьице.
    - Спасибо, внучек. Итак пишу:



    Здесь степень k будем принимать целым и положительным числом.
    - А как тут формулу написать?
    - Тут, как я помню, общую формулу и не напишешь. Вот для каждого частного случая вывести формулу можно. Какое значение степени ты хочешь рассмотреть?
    - Давай так: я беру справочник раскрываю его случайным образом, читаю самое первое слово на левой странице и какая по счету окажется буква a , таким и примем k . Интересно я придумал?
    - Забавно! Ну, поехали!
    - Ээээ, страница 642, первое слово "Значит". Ура! Примем k=3 .
    - Воля Ваша. Итак, рассмотрим сумму кубов. Как же нам подступить? Это не геометрическая прогрессия. И ежу ясно. Придется самим попотеть. Вот я думаю, как. Посмотри на нашу формулу. Сумма членов натурального ряда дает нам полином второго порядка. Так?
    - Да, дедуля. Если раскрыть скобки то будем иметь эм в квадрате.
    - Ну, вот. А ведь показатель степени единица. Верно?
    - Конечно! Любой член натурального ряда в степени единица ничего не меняет.
    - Итак, порядок полинома на единицу больше степени k . То есть, по идее мы должны получить полином четвертой степени, поскольку k=3 . Ну, что ж, попробуем аппроксимировать полиномом четвертой степени. Сейчас я в Maple это и сделаю. Сначала найду сами частные суммы. Вот так:



    - Деда, а почему ты пять сумм вывел?
    - Как почему? В полиноме четвертой степени всегда в общем случае пять коэффициентов. Ведь говорят: квадратный трехчлен.
    - Ах, да! Я и не догадался, почему так говорят.
    - Это мы выяснили. Теперь составляем прогу по составлению расчету системы пяти линейных уравнений с пятью неизвестными:



    - Ой, дедуля, надо понять. Тут ясно: ты подставил различные m и получил пять линейных выражений без правой части. Потом решаешь систему, привлекая найденные частные суммы один, девять, тридцать шесть, сто и двести двадцать пять. Получили три ненулевых коэффициента. Значит, полином четвертой степени, но неполный. Вот такой тогда имеем результат:



    - Верно, Андрюшенька! Такой симпатичный результат. Значит, наш подход реален. Нужно только проверить. Загоняй формулу и проверь при всех пяти значениях k .
    - Один моменто, дедуля! Так-так. Все верно! Все пять совпали! Только уж больно много приходится вычислять. Нужно и систему составить, и решить ее. Хотя можно все автоматизировать при помощи программы. Да, есть итересное наблюдение.
    - Какое наблюдение?
    - Понимаешь, дедуль. Некоторые коэффициенты нулевые. Если понять закономерность этих нулевых коэффициентов в зависимости от степени k , то слагаемых в строках системы будет меньше. Не так?
    - Так, Андрюша. Но все равно будет много слагаемых и много строк. Решать систему тоже придется. А вручную это очень утомительно. Вот что я вспомнил. Сейчас... В голове вертится. А! У меня есть ссылка на журнал "Квант", там изложен рекуррентный способ получения Pk . Сейчас поищу в папке "Документы". Ага! Вот она.
    - Что там говорится, дедуль?
    - Там удивительно гениальная вещь. Примем P0=m . Далее делаем такие ходы:



    где вместо P* пишем P в каждом члене которого применяем такие замены:



    - Ничего не понял! Деда! Давай конкретно к нашей задаче примени эту гениальную вещь.
    - Хорошо. Я буду все время писать, а ты смотри и пытайся сам уловить алгоритм. Итак, поехали:



    - О! Я только под самый конец уловил идею замен! Как интересно! И с нашим примером все совпало полностью.
    - Раз понял, то тебе задание. Продолжи докуда терпения хватит и, главное: рассортируй результаты по нечетным и четным k . Так надо.
    - Тебе видней. А ты печку хочешь затопить?
    - Да, надо бы. Но сначала придется дров напилить.
    - А почему не наколоть?
    - Да у меня скопились поддоны, на которых блоки привозили. Твой дядя Ваня разрешил их использовать для обогрева помещений и тебя, мой дорогой внучек.
    - Хорошо! Беги, но только не порежь пальцы.
    - Нашел кого учить! Ну, ты и шустрик!...

    - Итак, Андрюша, чувствуешь тепло от печи "Булерьян"?
    - Чувствую, чувствую. Вот, последнюю строку как раз выполнил. Гляди на две золотые странички:





    - Ай да молодец! И даже вывел за скобки общие множители! Ты, конечно, понял, почему я просил тебя четные и нечетные?
    - Дедуля! Ну, что за вопрос?
    - Ладно, ладно! Ты молодец, умница и заработал холодец! Пошли мыть руки и ужинать.
    Tuesday, November 19th, 2013
    7:27 pm
    Глава 36. Мы продолжаем искать самые идеальные магические квадраты
    - Деда, деда, вставай! Уже девять часов, посмотри, какой туман! Дом напротив почти не виден.
    - Туман, говоришь? А ты знаешь, что такое туман?
    - Знаю, знаю. Это облако, которое спустилось на землю. Ты сам говорил.
    - Верно! А я и не помню, чтобы такое тебе говорил... Ладно, встаем, пьем чай и делаем зарядку. То есть, наоборот,- делаем зарядку, закаляемся, чистим зубки и завтракаем.
    - Давай, дедуля! Хватит дрыхнуть!
    - Все, все, встаю, Андрюшенька. Вот ведь какой ты настырный. Как сибиряк...

    - Андрюша! Итак, мы позавтракали, гулять пойдем после обеда. Надеюсь, что туманное облако поднимется и дождя не будет. Сейчас давай попишем прописи и порисуем.
    - А потом?
    - А потом продолжим искать идеальные магические квадраты.
    - Годится! Какие буквы писать? Ах, да, - в прописях образцы даны. Я сегодня должен заполнить три страницы.
    - Лучше четыре. Четверка же лучше тройки...

    - Все, дедуль! Теперь нарисую картину. Ты акварельные краски достал?
    - Так вот коробка, перед самым твоим носом.
    - Гы-гы. Перед носом. Сегодня я буду рисовать дом напротив. Едва-едва различимый. А как нарисовать туман?...

    - Все! Готово! Пойду покажу маме. А ты приготовь что надо по магическим квадратам...
    - Ну, как? Мама оценила твое художество?
    - Оценила! Сказала только, что антенны на крыше слишком жирные.
    - Замечание верное. Но видишь, какая у тебя кисточка? Ей только заборы красить. Разве тонкие линии сделаешь?
    - Все, дедуль. Теперь займемся делом. Итак, у нас на очереди четные квадраты?
    - Начнем. Прежде тебе напомню вот что. Идеальные магические квадраты, или ИМК, нечетного порядка, как ты помнишь, разбивались на две группы: кратные тройке и остальные, то есть у которых n не делится на три. Для каждого случая мы нашли несколько методов построения. Теперь ИМК четного порядка. Тут тоже два вида: первый - одинарной четности и второй - двойной четности.
    - А, помню! Одинарная четность - это нечетное число, умноженное на два. Это числа 6, 10, 14, 18 и так далее. Двойная же четность - это числа 4, 8, 12, 16 и так далее.
    - Верно, Андрюшенька! Тогда начинаем с первого. Идеальные магические квадраты порядка одинарной четности (то есть 6 х 6, 10 х 10 , 14 х 14 и так далее) могут быть только нетрадиционными. То есть они наполняются не последовательным натуральным рядом чисел, а некими выборочными числами.
    - И как выбирать такие числа?
    - Я нашел простой способ отсеивания лишних чисел. Допустим, мы хотим создать идеальный магический квадрат 6 x 6. Однажды я подумал: а что если последовательный натуральный ряд чисел записать в матрице 7 x 7 и затем выделить центральные строку и колонку.
    - А, понял! И затем числа в них просто удалить, да?
    - Верно, Андрюшенька. И у нас получится укороченная матрица 6 x 6. Вот смотри на этом слайде:



    - То есть мы как бы ужали на одну строку и один столбец? А что это за синие числа справа?
    - Это просто суммы крайних пар чисел: 1+7=8 ; 8+14=22 и так далее.
    - Зачем же они нам нужны?
    - Вот тут, дорогой мой, - самое интересное. Но прежде чем продолжить, нам следует найти магическую сумму. Ее получим, если рассмотрим числа главной диагонали:

    S = 1 + 9 + 17 + 33 + 41 + 49 = 150

    - Забавно! Насколько я помню, магическая сумма обычного магического квадрата равна 111 .
    - Верно. Но это у обыкновенного магического квадрата. А у нас он будет нетрадиционным. Итак, мое маленькое открытие такое: нужно попытаться найти такие три разные синие числа, чтобы сумма их была точно 150 . Причем число 8 должно присутствовать обязательно.
    - Это почему, дедуль?
    - Вот почему: мы будем искать идеальный магический квадрат, у которого единичка будет находиться в левом верхнем углу. То есть в первой строке.
    - Тогда получается, что нужно найти только два синих числа?
    - Да, ты прав. Задача немного упрощается.
    - Погоди, погоди! Я не понял, почему вообще именно три числа участвуют в сумме?
    - Это просто. Каждое синее число - это сумма двух чисел в матрице. То есть мы имеем дело уже с шестью числами. Что логично: ведь ищем же идеальный квадрат шестого порядка!
    - Ясно теперь. Но давай я попробую найти два синих числа. Допустим одно из них будет 78 и тогда

    150-8-78=64

    и такое число у нас есть! Смотри, дедуля!
    - Да не кричи ты так. Соседей разбудишь. Но ты ловко решил задачу! Поздравляю! Но самое трудное впереди. И попытайся понять. Пусть наши найденные три числа будут обозначены как черные квадратики. А остальные - как маленькие звездочки. Пишем числа сначала слева направо, а точно под этим - справа налево. Вот так:



    Мы с тобой видим, что ни в одном месте нет такого, чтобы под черным квадратом был тоже черный квадрат. У нас, значит все нормально и идеальный магический квадрат построить можно.
    - А бывают случаи, что нельзя?
    - Конечно! Если ты то же самое сделаешь с исходной матрицей 10 х 10 , то подобного благополучия не увидишь. Можешь на досуге проверить.
    - А что тогда придется делать?
    - Тогда придется не одну строку и один столбец убирать, а по нескольку. Но об этом потом скажу. Так вот, следующий шаг уже графический и тоже интересный. Нужно построить все возможные графы такого вида:



    - Деда, а что так мало? Я бы мог десятки вариантов найти.
    - Попробуй! Но имей в виду, что граф должен быть симметричным относительно срединной вертикали и линии всегда идут то направо, то налево.
    - Да, дедуль, я поиграл то направо, то налево, - все остальные варианты несимметричные относительно вертикали. А какую среди двух выбирать?
    - Сделаем подробно первый граф, а потом видно будет. Этот первый граф даст нам первую колонку будущего идеального магического квадрата. Вот так:



    Ты хорошо понял, как все получается?
    -Да, дедуль. По стрелочкам идем и пишем нужные цифры. Все пока ясно.
    - Вот и ладушки. Теперь заполняем строки. Та же самая система, но уже по горизонтали. Смотри внимательно - первая строка:



    - Так, дедуль, погоди. Все ясно! Та же система графа, отлично!
    - Теперь вторая строка:



    Третья строка:



    Четвертая строка:



    Пятая строка:



    Ну, и последняя шестая строка:



    В итоге получен идеальный магический квадрат. Я уверен в этом на сто процентов, хотя еще не проверял. Проверь уж ты, будь добр.
    - Проверю, дедуль. Только не уходи, я быстро... Так, действительно все идеально! Ну и метод! Буквально можно на пальцах получить результат. Главное, что все логично, а вычислений минимум.
    - Ах, да! Я забыл про второй граф. Вот что, я дам только рисунок для построения первой колонки и рядом окончательный идеальный магический квадрат. Хорошо?
    - Хорошо, дедуль!
    - Тогда поехали:



    Вот такой он второй, наш идеальный. Сравни, если хочешь.
    - Угловые числа сохранились, дедуль. Остальные так перепутались. Это и понятно - ведь графы разные. Слушай, дедуль, ты говорил, что шестого порядка, десятого, четырнадцатого могут быть только нетрадиционными. И, с другой стороны, ты разработал простой способ построения. Способ, как я понял, универсальный. А раз так, то можно показать твоим способом, что традиционные квадраты не получаются. Ведь должно же быть очевидно. Ну, например, граф нужный не строится, или синие цифры никак правильно не ложатся... Я наверное не очень понятно...
    - Все понятно! Ты умник у меня! Давай вот и посмотрим, можно ли традиционным способом идеальный квадрат шестого порядка создать? Для этого матрицу делаем просто шесть на шесть:



    Итак, магическая сумма, как ты говорил, равна 111 . Делаем простые вычисления:

    111 - 7 - 19 = 85
    111 - 7 - 31 = 73
    111 - 7 - 43 = 61
    111 - 7 - 55 = 49
    111 - 7 - 67 = 37


    Так, так... Как видим, перебрали все варианты, а подобрать нужную сумму невозможно. Видимо, тут ответ на твой вопрос.
    Конечно, я на досуге проверю другие размеры квадратов. Вот ведь как интересно оказалось!
    - Да, дедуля! Таких доказательств история еще не знала.
    - Не знаю, не знаю... Возможно, мы с тобой не нашли еще книги какого-нибудь восемнадцатого века. Но в интернете такого точно нет и это успокаивает. Но скоро обед, надо двигаться дальше. А дальше вот что. Мы с тобой нашли идеальный магический квадрат, когда убрали одну строку и одну колонку. Однако, я доказал в одной из своих статей, что это не есть универсальное действие. Универсальное действие - это убрать 0.5 n строк и 0.5 n столбцов. Здесь n порядок идеального магического квадрата. Причем, в определенных местах матрицы размером 1.5 n х 1.5 n . То есть для нашего с тобой предыдущего варианта нужно построить матрицу 9 х 9 и убрать три строки и три столбца. Эту задачу я успешно решил и покажу решение на слайдах:



    На первом чертеже a) дан прием сортировки чисел для будущего магического квадрата (МК). Строится квадрат последовательных натуральных чисел размером 9 х 9. Число 9 - это полуторная величина от 6. Далее в желтые рамки заключаем те числа, которые нужно изъять из рассмотрения. Оставшиеся числа и присутствуют в чертежах b) - h).
    На чертеже b) дан принцип выявления последовательности чисел в самой левой колонке МК сверху вниз. В остальных чертежах - чередование чисел по строкам.
    - Дедуля! Да все теперь ясно. Если внимательно присмотреться к чертежам, то можно легко понять единый принцип построения векторов.
    Ведь ты так подробно разобрал первый пример.
    - Но повторить, внучек, не мешает. С твоего разрешения продолжаю лекцию. В результате получим готовый идеальный МК порядка 6 :



    Здесь магическая сумма 246. Даже по всем ломаным диагоналям. Кроме того, МК ассоциативный, то есть сумма любых пар центрально противоположных чисел равна 82.
    - Очень интересно! Теперь мне хочется узнать, какие строки и столбцы следует выбрасывать при построении ИМК десятого порядка.
    - Не вопрос! То же самое можно проделать с МК 10 х 10 . Только тут схема отсеивания лишних чисел более интересная и форма графа удивительно красивая:



    Магическая сумма 1130 , а центрально противоположные пары чисел дают в сумме число 226 .

    Столь строгий и ясный алгоритм позволяет автоматизировать расчеты строить идеальные магические квадраты любого порядка n=4k+2 . Текст программы на языке Yabasic следующий:

    rem ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО МК ПОРЯДКА 4k+2
    open #2,"14_MK.txt","w":n=14:nn=2*n:nn2=2*nn
    dim z1(nn,nn),z2(nn,nn2),z(nn,nn),a(nn/2),c(900000)
    k=n/2:k1=(n-2)/4:x=(n+k+1)/2:n1=n+k:s=n1+1:m=n/2*(n1^2+1)
    for i=1 to k1:a(i)=2*i-1:next i:for i=1 to k1+1:a(n/2-i+1)=n1-1-2*(i-1):next i
    for i=1 to n/2:z1(i,1)=a(i):next i
    for i=n/2+1 to n:z1(i,1)=z1(n-i+1,1):next i
    for i=1 to n:z1(i,2)=s-z1(i,1):next i:for k0=1 to n/2-1
    for i=1 to n:z1(i,2*k0+1)=z1(i,1):z1(i,2*k0+2)=z1(i,2):next i
    next k0:u=0:for i=1 to n:for j=1 to n:z(i,j)=n1*(z1(i,j)-1)+z1(j,i):next j:next i:s0=0
    for i=1 to n:s0=0:for j=1 to n:s0=s0+z(i,j):next j:if s0=m then u=u+1:fi:next i:s0=0
    for j=1 to n:s0=0:for i=1 to n:s0=s0+z(i,j):next i:if s0=m then u=u+1:fi:next j
    for i=1 to n:for j=n+1 to n+n:z(i,j)=z(i,j-n):next j:next i:s0=0:for j=1 to n:s0=0
    for i=1 to n:s0=s0+z(i,i+j-1):next i:if s0=m then u=u+1:fi:next j:s0=0:for j=1 to n:s0=0
    for i=n to 1 step -1:s0=s0+z(i,i+j-1):next i:if s0=m then u=u+1:fi:next j
    if u=4*n then:for i=1 to n*n:c(i)=0:next i:for i= 1 to n:for j=1 to n:z=z(i,j):c(z)=c(z)+1
    next j
    next i
    for i=1 to n:for j=1 to n
    print #2,z(i,j) using "###";:next j:print #2:print #2:next i:print #2:fi

    Изменяем по надобности лишь два числа, выделенные жирным шрифтом в самом начале программы.
    Для наших заданных в тексте параметров получаем идеальный магический квадрат 14 x 14 :



    Граф, при помощи которого производится расстановка чисел в первом столбце, очевидно такой:



    Метод работает безукоризненно.
    - Ну, дедуля! Это ж не лекция, а целая диссертация! Больше всего мне понравились наглядные графики. А то..., ну, когда только цифрами, да цифрами, основная суть непонятна. Все как бы внутри себя, как в черном ящике.
    - Хоть ты путано выражаешь свои мысли, но все же понятно. Я придерживаюсь того же мнения. Но часто и в цифрах проявляется нечто красивое, завораживающее. Я уж молчу об алгебре. Эта область математики и вовсе на грани фантастики. Но мы уклонились...
    Графический подход позволяет не только выявить общее количество идеальных МК, но и выбрать самый оптимальный. Для сравнения привожу МК 14 х 14 , построенный Н.Макаровой в ее книге "Волшебный мир магических квадратов" и мой, найденный графически:



    Четно-нечетный узор в моем варианте более укрупненный. В варианте Макаровой граф получается бессистемный: он как заяц скачет по кочкам



    В моем случае граф более последовательный: стрелки сначала спускаются вниз, затем вверх



    - Дедуля! Хорошо ты сказал - как заяц скачет по кочкам.
    - Да уж! Разве не так? Системность - она же всегда лучше. Из данных двух примеров хорошо видно, что можно сосчитать возможное количество графов комбинаторным способом. То есть можно выявить число идеальных магических квадратов. Все, Андрюшенька! Мы с тобой рванули и устали. Пора обедать и идти погулять. Смотри, тумана уже нет, погода отличная и на детских площадках много-много ребятишек.
    - Хорошо, дедуль. А дальше что в твоей лекции?
    - Дальше будем говорить о построении ИМК порядка двойной четности. Там будет полегче.
    - Все! Бежим - мама суп приготовила, требует помыть руки ...

    - Уфф! Ну и нагулялись мы!
    - Я тоже устал, даже не стал по лестнице на тринадцатый этаж подниматься, а с тобой, на лифте... Так на чем мы остановились?
    - Будем, Андрюшенька, заниматься построением идеальных магических квадратов порядка двойной четности ( n=8, 12, 16, 20, ... ). Сначала покажем подробно, как построить ИМК 12 х 12. Создаем матрицу последовательных натуральных чисел:



    Теперь рассмотрим левую и правую колонки. Вычисляем суммы пар чисел (жирные черные цифры)



    Выделяем в желтых рамках те числа, которые дают магическую сумму S= 13+61+157+181+205+253=870 . Причем числа так должны быть расположены, чтобы красные числа (те же черные, но в обратном порядке) оказались в строках, где черные числа не обведены желтыми рамками. Теперь можно строить граф:



    Получили в итоге первую колонку будущего магического квадрата. Построив подобным образом еще 12 графов (как это было сделано в самом первом примере данной лекции) в итоге рисуем окончательное решение:



    Точно так же построен такой квадрат:



    Приведу еще квадрат шестнадцатого порядка:



    Обрати внимание на слоистую структуру четно-нечетного рисунка последних трех квадратов. Это говорит о строго едином методе их построения.
    - Удивил ты меня, дедуля! Прямо профессором стал государственного университета.
    - Вся математика - вещь удивительная. Куда ни копнешь - только вздыхай и изумляйся. Все наши главы книги - тому яркие подтверждения.


    Москва
    22 ноября 2013 г.
    Sunday, November 17th, 2013
    1:11 am
    Узоры Александрова
    Кладки из блоков-параллелепипедов (например, кирпичная кладка) производятся горизонтальными курсами. Чтобы степень монолитности конструкции была максимальной, следует кладки производить с перевязкой швов. Обычно изображают совмещенные планы двух курсов, глядя на которые лучше всего судить о качестве проекта. Глядя на такие совмещенные планы, у меня возникла идея создавать оригинальные замкнутые узоры. Подобных аналогов я не встречал и поэтому хочу поделиться хоть небольшим, но все же открытием. Наиболее простой узор в качестве примера привожу на рисунке:



    Этот узор получается из математической кладки. В данном случае совмещенные планы двух курсов имеют вид:



    Кладка сложена всего из двух видов блоков: 4 x 3 и 4 x 2 . По определенным правилам перехода от черной линии к красной и наоборот получим узор Александрова. В моей коллекции ровно 906 математических кладок и для большинства случаев можно построить интересные замкнутые линии.

    Еще один узор на базе уже магической кладки:



    Последнее можно чисто художественно еще улучшить:





    (Продолжение следует)
    Thursday, November 14th, 2013
    4:27 pm
    Глава 35. Мы с Андрюшей находим самые идеальные магические квадраты
    .
    .
    Внук пришел из школы не особо радостный. Оказалось, плохо вел себя на уроке рисования.
    Прежде всего надо было его успокоить.
    - Ну что, Андрюшенька, вспомним детство золотое?
    - Это ты про "Помню - было время, время золотое..."?
    - А откуда ты знаешь этот недетский стишок?
    - Заходил как-то на форум, где ты тусуешься. Ты же этот стих и цитировал!
    - Ух, сорванец! Растешь, как на грибах.
    - Не на грибах, дедуля, а на дрожжах. Стареешь, дружище!
    - Это еще посмотрим. А я тебе принес интересный материал. Я имею в виду доклад, который сделал в университете. По скайпу тебе рассказывал. Помнишь?
    - Это в сентябре, что ли? Когда уезжал надолго?
    - Да, в самом начале сентября. Ты еще умолял меня забежать и подробно рассказать...
    - Об идеальных квадратах? О них, дедуль?
    - Ну, конечно. Об идеальных магических квадратах.
    - Ты говорил, что мне и трех лет не было, а я свой способ построения нарисовал.
    - Было такое дело, внучек. Но там был простой магический квадрат, а сейчас речь об идеальных магических квадратах.
    - И чем же идеальные отличаются от обычных?
    - Сейчас покажу. Для начала самый простой случай - магические квадраты нечетного порядка. Допустим, пятого порядка.
    - Пятого, так пятого. Я пятерки люблю.
    - Вот, Андрюшенька, я заранее распечатал на принтере цифровой ковер.
    - Цифровой ковер! Забавно ты сказал.
    - А ты не смейся. Посмотри на это поле: на нем я отметил желтыми квадратиками твое решение почти в раннем детстве:



    - Да, это действительно мой квадрат. Мы его разбирали в одной из глав этой книги. Данный МК ассоциативный, то есть все пары центрально симметричных чисел дают одну и ту же сумму 26. Например, 14+12=26, 1+25=26, 18+8=26 и так далее.
    - Но он не пандиагональный и, следовательно, не идеальный. Верно?
    - А, вспомнил! У него ломаные диагонали не дают магическую сумму. Мы же долго об этом рассуждали...
    - Все правильно! А теперь догадайся, как можно на этом же ковре построить идеальный магический квадрат?
    - Ой, дедуль, откуда же мне знать? Ты, небось, годами думал, а меня просишь за три секунды. Так дело не пойдет.
    - Ладно, не кипятись. Вот даю сразу решение:



    Видишь, здесь чуть-чуть по-другому выбираются узлы решетки. Но в этом случае получается именно идеальный магический квадрат или сокращенно ИМК.
    - Ой, дедуля, дай проверю тебя. Что-то не верится мне...
    - Конечно проверь...
    - Вот это да! Действительно идеальный! И красивый какой! Неужели все нечетные ИМК так получаются?
    - Увы, Андрюшенька, не все. А только такие, порядок которых не кратен числу 3.
    - То есть только две трети нечетных ИМК так можно строить, да? А остальную треть как тогда?
    - Вопрос сложный, внучек. Я пять лет ломал голову над этим вопросом. Мне удалось найти решение только при помощи так называемых цепей Александрова.
    -А! Ты мне говорил про них. Только я все забыл. Давай еще раз...
    - Это долго объяснять. Лучше я тебя отошлю к моим статьям, где теория этих цепей изложена. Заходи, если есть такое желание: http://lj.rossia.org/users/renuar911/ или http://renuar911.narod.ru/IMSb.html или http://renuar911.narod.ru/IMS_Alexandrov.html
    - Нет, дедуля. Мой мозг не выдержит испытания твоими статьями. Давай лучше без теорий, а проще и конкретней. Я буду на слово верить каждой цифре.
    - Что ж, если конкретней, то так. Рассматриваем следующие нечетные порядки ИМК: n = 9, 15, 21, 27 и так далее. Для них мне удалось найти следующие цепи Александрова:

    1 9 3 6 2 5 8 4 7

    1 15 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 14 10 13

    1 21 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 20 16 19

    1 27 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 26 22 25

    1 33 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 25 22 26 30 27 29 32 28 31

    1 39 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 25 22 26 30 27 29 31 28 32 36 33 35 38 34 37

    1 45 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 25 22 26 30 27 29 31 28 32 36 33 35 37 34 38 42 39 41 44 40 43


    и так далее.
    Что же это такое, таинственные цепи Александрова? Это строгая последовательность чисел от 1 до от n , гарантирующая пандиагональность магических квадратов. Теперь покажу, как пользоваться этими цифрами. Рассмотрим не самый простой случай: n = 15 . Цепь для него:
    1 15 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 14 10 13

    Я воспользуюсь слайдами, с которыми выступал на конференции с докладом. Это освободит нас от изнурительных расчетов. Итак, строим вспомогательный рисунок:



    Вверху и слева пишем красным цветом цепь Александрова а значения Z внутри квадрата вычисляем по формуле, что над рисунком.
    Например, в желтой ячейке число 111 вычисляется так: 15(8 - 1) + 6 . Посмотри внимательно: тут все понятно?
    - Сейчас, дедуля. Так, там, где 111 значение j=8, а значение i=6. Все понял! Только считать ужас как надоест.
    - Считать всегда приятно, когда знаешь, что получишь результат, а не пустышку. Продолжаю. Далее начинаем заполнять идеальный МК. Первое число 1 помещаем прямо над центром всего квадрата (ярко красная ячейка). Затем ходом шахматного коня проставляем числа первой строки предыдущего вспомогательного квадрата. После последней цифры 13 следует опуститься через ячейку и с зеленой ячейки начать ходом коня проставлять числа второй строки предыдущего вспомогательного квадрата.



    Если строго следовать данной инструкции, то в результате получим идеальный магический квадрат:



    - Как здорово, дедуля! А он точно идеальный?
    - Не волнуйся! Я проверял не раз и не два. Сначала вручную, а затем составил программу, которая работает доли секунды. Только не знаю, где эта маленькая программка. Вечно у меня все теряется. Но теперь тебе задание: раз ты все понял, то самостоятельно построй самый простой ИМК 9 x 9 . Я пока приготовлю тебе омлет.
    - Хорошо, дедуль! Мне жуть как интересно!...
    -Так... Омлет готов, пора мыть руки. Ну, что там у тебя?
    -Все нашел! Вот посмотри:



    - Очень хорошо! Сейчас мы проверим. Я давно составил программу на языке Yabasic... Сейчас ее найду... Так, посмотри ее текст:

    rem Программа построения идеальных магических квадратов методом Г.М.Александрова
    open #1,"IMS_9x9.txt","w"
    dim p(1000000),t(50000),r(50000),z(4200,4200)
    print "INPUT ORDER OF IMS n ";:input n
    if int(n/2)=n/2 then print "Order n is EVEN! YOU MUST INPUT ONLY UNEVEN n ! "
    end:fi
    n1=(n-3)/2
    p(1)=1:p(2)=n:p((1+n)/2+1)=(1+n)/2:no=(n-3)/2
    t(5)=3:t(7)=6:t(9)=2
    if n<5 then print "Order n < 5 and NO IMS":fi
    if n=5 then p(3)=2:p(n)=4
    Print #1,"Цепь Александрова":print #1
    for i=1 to n:print p(i);:print #1,p(i);:next i:print:print #1
    print #1, "____________________________________________________"
    print #1:fi
    if n=7 then p(3)=3:p(4)=6:p(6)=2:p(n)=5
    print #1,"Цепь Александрова":print #1
    for i=1 to n:print p(i);:print #1,p(i);:next i:print:print #1
    print #1, "____________________________________________________"
    print #1:fi
    if n=9 then p(3)=3:p(4)=6:p(5)=2:p(7)=8:p(8)=4:p(n)=7
    print #1,"Цепь Александрова":print #1
    for i=1 to n:print p(i);:print #1,p(i);:next i:print:print #1
    print #1, "____________________________________________________"
    print #1:fi
    if n>9 then
    t(11)=5:t(13)=7:t(15)=4:t(17)=8:t(19)=12:t(21)=9
    s=21
    for k=1 to (n+1)/2:for i=1 to 6:s=s+2:t(s)=6*k+t(9+2*i):next i:next k
    rem Блок корректировки значений t(i)
    o=mod(n,12)
    if o=11 then t(n-4)=t(n-4)-2:fi
    if o=1 or o=7 then t(n)=t(n)-3:fi
    s1=2:s0=0
    Print #1,"Цепь Александрова":print #1
    for i=5 to n step 2:s1=s1+1:p(s1)=t(i):s0=s0+1:r(s0)=1+n-t(i):next i
    s1=s1+1
    for i=n to 5 step -2:s1=s1+1:p(s1)=r(s0):s0=s0-1:next i
    for i=1 to n:print p(i);:print #1,p(i);:next i: print:print #1
    print #1, "_____________________________________________________"
    print #1
    print #1:print #1,"ИДЕАЛЬНЫЙ МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ПОРЯДКА ";:print #1,n
    print #1:fi
    s=0:s1=0:s0=0
    rem Построение идеального магического квадрата
    for k=1 to n:for t=1 to n
    if k=1 and t=1 then j=(n+1)/2:i=(n+1)/2-1:fi
    if t=1 and k>1 then i=i+2:if j<0 then j=j+n:fi:if i<0 then i=i+n:fi:fi
    if t>1 then i=i+1:j=j+2:fi
    rem приведение i и j к рамкам магического квадрата
    v=i
    a()
    i=v2:v=j
    a()
    j=v2:z=(p(k)-1)*n+p(t):z1=int(z)
    if abs(z-z1)>.9 then z=z1+1 else z=z1:fi
    z(i,j)=z:next t:next k
    rem Печать идеального магического квадрата
    print #1
    for i=1 to n:for j=1 to n
    print #1,z(i,j) using "####";:next j
    print #1:print #1:next i

    sub a()
    v0=v/n:v1=int(v0):if v0<1 then v1=0:fi
    v2=(v0-v1)*n:v3=int(v2)
    if abs(v2-v3)>.9 then v2=v3+1 else z=v3:fi
    if abs(v2)<.0000000001 then v2=n:fi
    end sub

    Запускаем ее, пишем 9 кликаем Enter и получим файл "IMS_9x9.txt". Сравниваем... Все верно! Ну, ты молодец, Андрюшенька! Давай быстрей кушай омлет, а то скоро мама придет. После я тебе расскажу нечто удивительное...

    - Что ты мне, дедуля, хотел показать удивительное?
    - Я хотел показать тебе применение цепей Александрова при построении и ИМК нечетного порядка, у которых порядок n не кратен трем. То есть самых первых наших квадратов, которые получили на ковре чисел. Вспомогательный квадрат легко получается при помощи такого принципа:



    Красными линиями на рисунке a) показано, как заполнять ячейки натуральным рядом чисел. При определенной сноровке такое заполнение осуществляется очень быстро. На рисунке b) работа выполнена. Далее последнюю строку нужно сделать первой. И получим окончательный вспомогательный квадрат с). Затем поступаем точно так же как ты делал с ИМК 9х9, и в итоге сформируем прекрасный идеальный магический квадрат пятого порядка:



    - Здорово! Получается, что эти квадраты можно делать двумя способами. Так?
    - Способов много. Вот, например, программа, что я привел, даст еще один способ. Потому что по ней принимается совсем другая цепь Александрова. Хочешь убедиться? Запускай ее и набери на мониторе цифру 5.
    - Сейчас, сейчас. Кликаю... Все готово! Смотрим файл... Во, какой квадрат!



    - Отлично, Андрюшенька. Это тоже идеальный магический квадрат. Обрати внимание на цепь Александрова. Она отличается от предыдущей. У нас было 1 5 4 3 2 , а здесь 1 5 2 3 4 .
    - Какая же цепь лучше?
    - Вторая цепь - она более общая. Она как бы едина для абсолютно всех нечетных n. Но это можно понять, если прочитать теорию. Ссылки я тебе дал. Но для ручного счета проще применить цепь 1 5 4 3 2 . Ты запросто удивишь своих одноклассников построением идеального магического квадрата порядка, скажем 13. Все просто обалдеют! Ладно, пора закругляться. В следующей главе поговорим о построении идеальных магических квадратов четного порядка. Там будет еще интересней.

    Москва
    15 октября 2013 г.
    Wednesday, November 13th, 2013
    4:19 pm
    Коровьев. Полное решение задачи о четырех кубах
    Предлагаю свое решение:



    Вывод в книге Г.Харди (Hardy, Godfrey Harold; Wright, E. M. (1938), "An introduction to the theory of numbers". (First ed.), Oxford: Clarendon Press.) по сути очень похож на мой, только в нем вначале делается замена переменных. Путь Харди самый напрашивающийся. Привожу его в оригинале:







    Но кольцо



    с неоднозначным разложением на простые множители является не совсем правильным. Число 2, мягко говоря, всё портит. Как и вечно вылезающее и нарушающее всю симметрию преобразований число 3. В кольце же



    разложение однозначно и в нем всё правильно. Харди "теряет" параметры сразу, когда переходит к отношению алгебраических чисел. Но там этого и не надо, поскольку он сразу ориентировался на рациональные алгебраические числа. Я сразу имел ввиду только целые алгебраические числа, посему и параметров получается больше.
    Monday, November 11th, 2013
    3:49 pm
    Жемчужина алгебры. Задача о четырех кубах (2 часть)
    .
    .
    Российский математик Коровьев в 2012 г. предложил одну из наиболее эффективных схем дающей 85 решений из 340, то есть 25%:



    При этом параметры достаточно изменять всего от -24 до 24.

    Итак, мы видим, как долго и мучительно простые математики и математики с мировыми именами пытались добиться того, чего добилась школа Пифагора, решившая задачу о трех квадратов. Неминуемо должен был наступить момент, когда количество перерастает в качество.

    Борьба за полноту решений

    Первым на победный штурм задачи рванул Харди в начале 20 века. Он взял за основу частное решение Эйлера и добавил один параметр. Я счел возможным привести оригинал статьи Харди (Hardy&Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, стр. 200), где очень подробно описывается вывод:







    В наших обозначениях то, что в тексте обведено красной рамкой, выглядит так:



    Мои расчеты показали, что находятся абсолютно все примитивные четверки Эйлера, но пришлось для охвата 340 решений три параметра изменять в очень большом диапазоне: от -506 до 506

    Я, к сожалению, узнал об этом совсем недавно, в сентябре 2013 г. Просто сам взял и проверил на компьютере эффективность формул Харди. И при помощи коллег с форума dxdy.ru установил победоносную сущность формул.

    Начиная с 2000 г. пытался мучительно найти свои полноценные зависимости. Каким-то непонятным даже для меня способом с привлечением множества проб, расчетов, с применением интуиции вышел на рекуррентную систему следующего вида:



    О том, как данная система полностью покрывает все решения, популярно написано в http://renuar911.narod.ru/part7.htm

    Коровьев
    http://dxdy.ru/topic75587.html



    Тут идеальная красота четырехпараметрических формул. Причем, чтобы обхватить 340 решений, мне понадобилось менять параметры в диапазоне всего от -28 до 28


    Москва
    2013 г.
    Friday, November 8th, 2013
    4:05 pm
    Идеальные магические квадраты


    Георгий Александров


    ВВЕДЕНИЕ


    Идеальный магический квадрат (или ИМК) – это такой магический квадрат, у которого магическая константа, равная 0.5n(n2+1), наблюдается во всех ломаных диагоналях, а сумма любых двух чисел в центрально противолежащих ячейках равна 1+n2. В иностранной литературе МК с указанными свойствами носят название ultramagic.

    Несмотря на столь жесткие ограничения, количество ИМК все же очень велико. Различными авторами было выявлено много способов их построения и поэтому выбрать наилучший довольно сложно. Основные результаты моих исследований изложены в работах http://renuar911.narod.ru/IMS_Alexandrov.html и http://renuar911.narod.ru/IMS_latin.html

    Цель данной статьи – показать элементарный принцип компоновки идеальных магических квадратов, у которых начальное число 1 расположено в верхней левой ячейке матрицы n x n .

    Я не буду углубляться в исторический анализ данной проблемы, хотя это было бы очень интересно и поучительно. Желающим расширить свой кругозор рекомендую посмотреть раздел Всемирной Энциклопедии http://ru.wikipedia.org/wiki/Магический_квадрат

    Начну с того, что отсеку те порядки n , для которых пока еще никому не удалось найти ИМК:

    n = 2, 3, 4, 4k + 2, где k = 1, 2, 3, …

    Если n=1, то имеем тривиальный случай. Строго говоря, это самый малый идеальный магический квадрат.

    Остальные числа n разбиваются на четыре группы, для каждой из которых мне удалось разработать красивые схемы, основанные на идеях математика Ф. де ла Ира (1640-1718) (см. http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm ). Чтобы не смешивать все методы в одну кучу, разобью данную статью на четыре отдельных блока и в каждом из них опишу принцип построения ИМК.

    Я отказался от идеи применения двух латинских квадратов, у которых вместо 1 стоит число 0. Вместо них лучше использовать матрицу i и матрицу j, в которых записываются числа от 1 до n. Это упрощает методику построения ИМК.

    1. Порядок n – нечетное число, не кратное трем.

    (n = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, … )

    Шаг 1. В матрице n x n выделяем левую верхнюю ячейку, ставим число 1

    Шаг 2. Ходами шахматного коня (два шага направо, шаг вниз) дублируем число 1 (желтые ячейки). Общее число таких ячеек должно быть n.

    Шаг 3. Рассматриваем исключительно строки. В каждой строке в левую сторону от единицы записываем натуральный ряд чисел вплоть до n.



    Шаг 4. Зеркально отражаем эту матрицу относительно главной диагонали с единицей наверху:



    Подготовительная работа завершена.

    Чтобы получить идеальный магический квадрат, число в каждой ячейке преобразуем по формуле:

    (i – 1)· n + j (1)



    Например, числа i=5 и j=2, расположенные в ячейках, выделенных лиловым цветом, будет преобразовано в число (5-1)·5+2 = 22. После проведения этой несложной операции со всеми ячейками получим ИМК порядка n=5 :



    Рассмотрим еще один вариант: n = 7. После шагов 1-4 будем иметь:





    Пользуясь формулой преобразования (1) рассчитаем ИМК 7:



    Проверим, как образуется, например, число 30. Здесь i=5, j=2. Тогда (5-1)·7+2 = 30.

    2. Порядок n – нечетное число, кратное трем

    (n = 9, 15, 21, 27, 33, 39 , 45, 51, 57, 63, … )


    Данный случай довольно сложный, и на разработку метода построения ИМК у меня ушло больше года. Чтобы решить задачу в общем виде, пришлось изобрести так называемую первую цепь Александрова (сокращенно ЦА-1). Под ней подразумевается определенная последовательность целых положительных чисел, благодаря которой обеспечивается идеальность магических квадратов. Перед тем, как рассмотреть пошаговые действия, нам потребуется вспомогательный ряд чисел P:



    Две последние строки относятся только к матрице i.

    Первые три числа (3, 6 и 2) – это одно из четырех возможных решений для ИМК 9 , но которое оказалось единственным, чтобы продолжить построения ИМК больших порядков. Следующие шесть чисел (в желтых ячейках) получены комбинаторным анализом всех возможных 6!=720 вариантов. Последующие шестерки чисел – суть предыдущая серия плюс 6. И так далее до бесконечности. В энциклопедии числовых последовательностей (см. http://www.research.att.com/~njas/sequences/) выявленного выше ряда не оказалось, что говорит о принципиально новом открытии в теории чисел. Теперь приступим к формированию цепи Александрова.

    Общая схема выглядит так:



    Шаг 1: Строим цепь Александрова для случая, например, 21х21:

    1 21 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 20 16 19

    Логическая формула:

    Синие числа = 1 + 21 – черные числа . Симметрично относительно красного числа 11.

    Шаг 2. Единицу помещаем в верхней левой ячейке и дублируем ее ходами шахматного коня. В каждой строке от единицы записываем вправо цепь Александрова.



    Шаг 3. Цепь Александрова в матрице j ведем по диагонали вверх и налево. Единицы дублируются ходами: три ячейки вправо и две вниз.



    Опять рассмотрим лиловые ячейки. В ИМК в этом месте будет число

    (17-1)· 21 + 15 = 351

    Шаг 4. Если полностью произвести вычисления, то получим ИМК порядка 21:



    Цепи Александрова – явление не случайное. В их основе лежат глубокие теоретические корни. Покажем пример, подтверждающий данное утверждение. Пусть мы хотим скомпоновать идеальный магический квадрат 9 x 9, опираясь только на магический квадрат Ло-Шу 3х3. Построим два спаренных таких квадрата и проведем диагонали, которые образуют цепочку из 9 чисел: 1 3 2 8 7 9 6 5 4 (см. Рис. 12).



    Эту цепочку примем за основу при формировании матрицы j (коричневые ячейки).
    По столбцам сверху вниз трижды дублируются тройки чисел, которые относятся к строкам магического квадрата Ло-Шу.



    Матрицу i компонуем несколько по-иному, но с использованием тех же последовательностей. Зеленая цепочка чисел из Рис. 13 пишется не подряд, а через столбец, а строки из Ло-Шу дублируются по диагоналям вниз и влево.



    Уже видно, что верхняя строка матрицы i – это цепь Александрова. Построенный по двум вспомогательным матрицам идеальный магический квадрат порядка 9 также имеет цепь Александрова, но идущую по ходу шахматного коня.



    Когда я рассматривал цепи Александрова для ИМК, у которых начальное число 1 располагалось над центральной ячейкой, проблем с порядками ИМК n=15+30k не было. Но при переносе единицы в левый верхний угол с такими ИМК неожиданно возникли сложности. Их удалось преодолеть, путем построения несколько иных матриц i и j :



    Здесь единицы дублируются при ходе на три ячейки вниз и одну – влево. Цепь Александрова заполняется по диагонали налево и вверх.
    На Рис.7 показаны отличия в расстановках ЦА для матрицы i (лиловые ячейки).
    Матрицу j получим, если зеркально отобразим Рис. 17 относительно левой главной диагонали:



    Шаг 5. По программе построения ИМК из Матриц i и j :

    rem Программа объединения матриц i и j
    dim zi(100,100),zj(100,100)
    open #1,"i-j.txt","r"
    open #2,"IMS15.txt","w"
    n=15
    for i=1 to n
    for j=1 to n
    input #1 zi(i,j)
    next j:next i
    input #1 a$
    for i=1 to n
    for j=1 to n
    input #1 zj(i,j)
    next j:next i
    for i=1 to n
    for j=1 to n
    z=(zi(i,j)-1)*(n)+zj(i,j)
    print #2,z;:if j<>n then print #2,",";:fi
    next j:print #2
    next i

    находим долгожданный ИМК порядка n = 15k при k=1:



    Имеем: ход ЦА-1 x=x+8; y=y+6. Здесь x – координата ячейки по горизонтали; y – координата по вертикали. При этом ячейка с координатами x=1 , y=1 находится в левом верхнем углу.
    Скачек же между каждыми лентами чисел не изменился: x=x-1 ; y=y-1.

    Если число 1 находится в левом верхнем углу, то при n=15+30k , где k = 0, 1, 2, … составление ИМК ходом шахматного коня не получается, (такое возможно лишь при корректировки цепи Александрова). Проще оказалось выявить шаги хода ЦА-1. Общим решением будет: ход ЦА-1 по горизонтали вправо на (1+15+30k)/2-2 ячеек ; ход по вертикали вниз – на (1+15+30k)/2 ячеек. Здесь k = 0, 1, 2, …
    Таким простым оказался выход из, казалось бы тупиковой ситуации.
    Цепи Александрова и в случае n=15+30k ( где k = 0, 1, 2,…) удалось сохранить.
    С идеальными магическими квадратами нечетного порядка, кроме n=3, мы разобрались. Во всех решениях единица расположена в левой верхней ячейке.
    Теперь приступим к построению ИМК порядка двойной четности, за исключением n = 4.

    3. Порядок n = 8k , где k = 1, 2, 3, …

    (n = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, … )


    Шаг 1. Строим вторую цепь Александрова ЦА-2

    Здесь первые два числа и правая ветвь компонуются из чисел p(i) по следующей схеме:



    Квадратики заполняются числами n + 1 - p(i) зеркально относительно оси симметрии.

    В табличной форме правая ветвь выглядит так:



    Шаг 2. Компонуем матрицу i.
    Матрица i имеет дублирующие единицы по ходу шахматного коня, верхняя строка – целиком ЦА-2, другие строки заполняются аналогично:



    Шаг 3. Компонуем матрицу j. Число 1 дублируется ходами шахматного коня: одна ячейка влево, две – вниз. ЦА-2 идет по диагонали налево и вверх:



    Шаг 4. Строим идеальный магический квадрат 8 х 8:



    4. Порядок n = 8k + 4 , где k = 1, 2, 3, …

    (n = 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84, … )


    Шаг 1. Строим ЦА-3.
    Цепь Александрова немного сложнее:



    В табличной форме правая ветвь выглядит так:



    Шаг 2. Строим матрицу i. Единицы дублируем ходом шахматного коня. ЦА-3 идут по строкам направо.



    Шаг 3. Строим матрицу j. Единицы дублируем ходами: три ячейки вправо, две ячейки вниз. Ходы ЦА-3 идут по диагонали влево и вверх.



    Шаг 4. Строим ИМК 12 х 12:



    ЗАКЛЮЧЕНИЕ



    Таким образом, цепи Александрова ЦА-1, ЦА-2 и ЦА-3 являются универсальным инструментом, с помощью которого можно построить идеальный магический квадрат любого допустимого порядка n . Все решения удалось свести к случаю, когда ячейка с числом 1 находится в левом верхнем углу ИМК. На этом моя миссия по решению данной непростой математической головоломки завершена. Я рад, что многомесячные усилия вылились в простые истины, понять которые теперь в состоянии каждый, кто умеет считать.

    ПРИЛОЖЕНИЕ



    Все цепи Александрова для порядков n < 30.
    В скобках дан номер блока построения ИМК.

    1 5 4 3 2 (1)

    1 7 6 5 4 3 2 (1)

    1 8 6 5 7 2 4 3 (3)

    1 9 3 6 2 5 8 4 7 (2)

    1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (1)

    1 12 7 10 9 5 11 2 8 4 3 6 (4)

    1 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (1)

    1 15 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 14 10 13 (2)

    1 16 10 12 14 13 11 9 15 2 8 6 4 3 5 7 (3)

    1 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (1)

    1 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (1)

    1 20 11 16 15 18 17 13 14 9 19 2 12 7 8 4 3 6 5 10 (4)

    1 21 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 20 16 19 (2)

    1 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (1)

    1 24 14 16 18 20 22 21 19 17 15 13 23 2 12 10 8 6 4 3 5 7 9 11 (3)

    1 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (1)

    1 27 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 26 22 25 (2)

    1 28 15 19 20 24 23 26 25 21 22 18 17 13 27 2 16 12 11 7 8 4 3 6 5 9 10 14 (4)

    1 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (1)



    Сидней , 18 июля 2008 г
    Wednesday, November 6th, 2013
    10:20 pm
    Король магических кладок и квадратов (статья обо мне)
    Николай Ильченко в декабре 2012 году посвятил моим главным исследованиям в интернет-статью. После почему-то ссылка перестала работать. К счастью, я нашел эту статью в архиве http://archive.is/byYS и решил в своем дневнике продублировать. Вдруг и архив сотрут?


    Николай Ильченко

    Король магических кладок и квадратов



    Bпервые Георгий Александров заявил о себе во время защиты диссертации в 1982 году. Происходило это в здании Ленинградского Политехнического института. Я сидел во втором ряду длинного зала и мне хорошо были видны великолепно подготовленные плакаты. Самым интересным моментом доклада оказался раздел, посвященный формированию магических кладок. Профессора и доктора наук, многое повидавшие на своем веку, были крайне удивлены тому факту, что из двух типов блоков-параллелепипедов (равновеликих по объему), можно возвести правильную кладку. При этом соблюдены жесткие конструктивные требования, характерные для сооружений, подверженных воздействию морских волн. Вот часть выступления диссертанта по этому вопросу:

    «Элементарная алгебра, и даже арифметика, способны не только быть инструментом при вычислениях вспомогательных характеристик, но и напрямую выдавать готовый инженерный проект.

    Возьмём любые три попарно простых числа, например, 3, 4, 7. Из них выберем крайние и создадим прямоугольник 3 * 7 . Если взять семь таких прямоугольников, то можно скомпоновать большой прямоугольник размером 7*21 , как показано в верхней части рис.1. Это будет первым курсом кладки. Для наглядности построения делаем на клетчатом фоне.




    Рис. 1 Два курса кладки

    Второй курс кладки создадим из двух рядов. Первый ряд выложим из тех же прямоугольников 3*7, но повернутых на 90 градусов и в количестве трех штук. Второй ряд компонуем из четырех прямоугольников 4*5,25 (см. нижнюю часть рис. 1). Размеры курсов в обоих случаях одинаковы. Более того, при наложении кладок друг на друга, нигде не совпадут швы между отдельными элементами. Если под прямоугольниками понимать блоки-параллелепипеды, то нам удастся создать сооружение типа опоры или фундамента. Что тут замечательно? Оказывается, площади всех прямоугольников одинаковы. В самом деле, 3*7 =4*5,25 =21 . Физически же это означает, что все блоки в кладке будут одинакового веса. Если, конечно, высота блоков принимается постоянной.

    Во всем сказанном есть один недостаток – один из габаритов не является целым числом. Чтобы этого избежать, достаточно все размеры, присутствующие на рис. 1, умножить на 4. Если же совместить два курса один над другим (см. рис. 2), то образуется структура, которую автор предлагает называть магической кладкой.




    Рис. 2 Магическая кладка

    Под «магичностью» понимается именно равенство площадей всех входящих в нее элементов. Последние всегда только двух видов.

    Магическую кладку легко алгоритмизировать в виде формулы кладки, похожей на уравнение химической реакции. В нашем случае она выглядит так:

    28(12)7 = 12(28) 3 + 16(21)4

    Левая часть равенства описывает нижний курс кладки. Число 28 перед скобкой – это ширина ряда. В скобках дается второй габарит прямоугольника - число 12 . Индекс 7 указывает на количество таких прямоугольников в ряду.

    Правая часть уравнения – вышележащий курс. Два слагаемых - это два ряда. Сначала устанавливается ряд шириной 12, состоящий из трех прямоугольников длиной 28 каждый. К нему примыкает ряд шириной 16, состоящий из четырех прямоугольников длиной 21 каждый.

    Благодаря четкости и компактности формулы кладки, имеется возможность производить построения структур с помощью компьютера.

    Мы рассмотрели случай, когда в магической кладке применяются не более двух рядов в курсе. Есть примеры и более широких кладок. Построим структуру, в каждом курсе которой имеются по три ряда. Так, при выборе попарно простых чисел: 3, 4, 5 - можно получить кладку, изображенную на рис. 3:




    Рис. 3 Трехрядная кладка

    Ширина структуры 12, её длина 15. Здесь также 5*3=4*3,75. Избавимся от дробного габарита 3,75 путем умножения всех чисел на четыре. Окончательная компоновка показана на рис. 4:




    Рис. 4. Целочисленное представление

    Формула этой магической кладки будет такой:

    20(12)5 + 12(20)3 + 16(15)4 =12 + 16 + 20

    Заметим, что в правой части уравнения для краткости пишутся только ширины рядов.

    Подобных компоновок можно найти бесконечное количество, но лишь десятки из них приемлемы для создания реальных сооружений. Таких как опоры мостов, колонны, постаменты, волнорезы и т.д.»


    Открытые Александровым 44 магические кладки являются подлинным шедевром как математики, так и строительных конструкций. Приведу их полный перечень:

    20(36)5 + 16(45)4 = 36(20)9
    20(45)4 + 25(36)5 = 45(20)9
    12(28)3 + 16(21)4 = 28(12)7
    6(15)2 + 9(10)3 = 15( 6 )5
    15(40)3 + 25(24)5 = 40(15)8
    2(6)1 + 4 ( 3)2 = 6( 2 )3
    35(45)7 + 25(63)5 + 35 = 25 + 45(35)9 + 25
    12(15)4 + 9(20)3 + 12 = 9 + 15(12)5 + 9
    40(45)8 + 25(72)5 + 45(40)9 = 45 + 40 + 25
    30(35)6 + 25(42)5 + 30 = 25 + 35(30)7 + 25
    35(45)7 + 25(63)5 + 45(35)9 = 45 + 35 + 25
    35(40)7 + 25(56)5 + 40(35)8 = 40 + 35 + 25
    12(15)4 + 9(20)3 + 15(12)5 = 15 + 12 + 9
    20(28)5 + 16(35)4 + 28(20)7 = 28 + 20 + 16
    56(63)8 + 49(72)7 + 56 = 49 + 63(56)9 + 49
    30(35)6 + 25(42)5 + 35(30)7 = 35 + 30 + 25
    56(63)8 + 49(72)7 + 63(56)9 = 63 + 56 + 49
    35(63)5 + 63(35)9 + 35 = 49(45)7 + 35 + 49
    15(35)3 + 35(15)7 + 15 = 25(21)5 + 15 + 25
    12(20)3 + 20(12)5 + 12 = 16(15)4 + 12 + 16
    30(42)5 + 42(30)7 + 30 = 36(35)6 + 30 + 36
    56(72)7 + 72(56)9 + 56 = 64(63)8 + 56 + 64
    56(72)7 + 64(63)8 + 72(56)9 = 72 + 56 + 64
    20(35)4 + 25(28)5 + 35(20)7 = 35 + 20 + 25
    30(42)5 + 36(35)6 + 42(30)7 = 42 + 30 + 36
    63(72)7 + 81(56)9 + 63 = 72(63)8 + 63 + 72
    12(20)3 + 16(15)4 + 20(12)5 = 20 + 12 + 16
    35(42)5 + 49(30)7 + 35 = 42(35)6 + 35 + 42
    35(63)5 + 49(45)7 + 63(35)9 = 63 + 35 + 49
    35(56)5 + 49(40)7 + 56(35)8 = 56 + 35 + 49
    15(20)3 + 25(12)5 + 15 = 20(15)4 + 15 + 20
    63(72)7 + 72(63)8 + 81(56)9 = 81 + 63 + 72
    45(63)5 + 81(35)9 + 45 = 63(45)7 + 45 + 63
    15(35)3 + 25(21)5 +35(15)7 = 35 + 15 + 25
    40(72)5 + 64(45)8 + 72(40)9 = 72 + 40 + 64
    35(42)5 + 42(35)6 + 49(30)7 = 49 + 35 + 42
    28(63)4 + 49(36)7 + 63(28)9 = 63 + 28 + 49
    40(56)5 + 56(40)7 + 64(35)8 = 64 + 40 + 56
    15(20)3 + 20(15)4 + 25(12)5 = 25 + 15 + 20
    45(72)5 + 72(45)8 + 81(40)9 = 81 + 45 + 72
    45(63)5 + 63(45)7 + 81(35)9 = 81 + 45 + 63
    28(35)4 + 35(28)5 + 49(20)7 = 49 + 28 + 35
    21(56)3 + 49(24)7 + 56(21)8 = 56 + 21 + 49
    36(63)4 + 63(36)7 + 81(28)9 = 81 + 36 + 63

    Все структуры простых и магических кладок (их свыше 900), а также программу поиска рациональных компоновок по заданным техническим условиям, можно найти в: http://renuar911.narod.ru/Kladka.mht

    Eще со школьной скамьи Георгий Александров увлекся магическими квадратами, то есть матрицами n x n, заполненными целыми числами таким образом, что в каждом столбце, в каждой строке и в каждой главной диагонали сумма чисел равнялась 0,5n(n2+1). В дальнейшем он разработал несколько общих методов построения как просто магических квадратов, так и идеальных магических квадратов. У последних магическая сумма наблюдается, помимо прочего, и по всем ломаным диагоналям. Плюс к этому во всех парах центрально симметричных ячеек сумма чисел равна n2+1.
    Приведу выдержки из его статей, подтверждающие мои слова.

    ”Находить новые магические квадраты (или МК) – это истинное наслаждение для любителя головоломок. Еще интересней выявлять простые методы составления волшебных матриц. Но самое прекрасное – обнаружить элементарный единый подход к созданию абсолютно всех магических квадратов.
    Кажется, мне это удалось путем использования латинских квадратов. Универсальный способ построения МК можно условно назвать “методом цифровых волн”. Рассмотрим его применительно к трем группам магических квадратов:
    - нечетного порядка ;
    - порядка двойной четности ;
    - порядка одинарной четности.

    1. Магические квадраты порядка n=2k+1


    Латинский квадрат можно построить по следующему принципу. Пусть “цифровой ветер“ дует в направлении желтой стрелки, то есть справа налево и вниз (это направление совпадает с главной диагональю квадрата). Тогда будет образовываться линейный фронт цифровой волны, причем единичная волна находится на пересечении со средней ячейкой самой верхней строки матрицы (желтый ряд на Рис. 5):



    Рис. 5. Одиночная цифровая волна

    Вот и вся подготовительная работа.
    Пусть числа в ячейках данной матрицы – это Z(i,j), а Zmax – наибольшее число в поле латинского квадрата. Тогда магический квадрат M(i,j) строится согласно правилу:

    M(i,j)=Zmax[Z(i,j)–1]+Z(i,n+1-j)

    Допустим, начало координат находится в левом верхнем углу. Параметр i – номер строки , j – номер столбца. В нашем примере Zmax =9. При i=2 и j=3 Z(2,3)=4; Z(2,9+1-3)=Z(2,7)=9. Следовательно, M(2,3)=9(4–1)+9=36. Вычислив таким образом все M(i,j), получим решение (Рис. 6):




    Рис. 6. Магический квадрат 9 х 9

    В данном решении имеет место компактное ядро нечетных чисел (цветная область)

    2. Магические квадраты порядка n=4k

    Для построения латинского квадрата потребуется уже два горизонтальных цифровых ветра: один “дует” слева направо (для желтой области ячеек), другой – справа налево (для белых ячеек). На Рис. 7 показан принцип образования цифровых волн:




    Рис. 7. Система двух цифровых волн

    Пусть числа в ячейках латинского квадрата – это Z(i,j), а Zmax – наибольшее. Тогда магический квадрат M(i,j) строится согласно правилу:

    M(i,j)=Zmax[Z(i,j)–1]+Z(j,i)

    Допустим, начало координат находится в левом верхнем углу. Параметр i – номер строки , j – номер столбца. В нашем примере Zmax =12. При i=2 и j=3 Z(2,3)=3 ; Z(3,2)=2. Следовательно, M(2,3) = 12(3–1)+2=26. Вычислив таким образом все M(i,j), получим решение (Рис. 8):




    Рис. 8. Магический квадрат 12 х 12

    Нечетные числа расположены симметрично относительно средней вертикали.

    3. Магические квадраты порядка n=4k+2

    Теперь рассмотрим матрицы 6 х 6, 10 х 10, 14 х 14 и так далее. Каждый, кто составлял магические квадраты данного вида, непременно сталкивался с более значительными трудностями, нежели при построении МК нечетного порядка или порядка двойной четности. Тем не менее, мне удалось разработать общий и достаточно простой способ компоновки этой группы строптивых головоломок. Он базируется на методе обратимых квадратов, но доведен до зеркального блеска простоты. Рассмотрим конкретный пример. Пусть n=4k+2=14. Отсюда k=3 . На Рис. 9 показан принцип создания обобщенного латинского квадрата:




    Рис. 9. Построение обобщенного латинского квадрата 14 х 14

    Числа здесь идут двумя регулярными фронтами с обеих сторон. Вся хитрость заключается в построении желтой области, параметры которой четко привязаны к величине k>0. Получаем сразу обобщенный латинский квадрат (или ОЛК).
    Теперь уже можно приступать к созданию магического квадрата.
    Пусть числа в ячейках ОЛК – это Z(i,j), а Zmax – наибольшее число в поле латинского квадрата. Тогда магический квадрат M(i,j) строится согласно правилу:

    M(i,j)=Zmax[Z(i,j)–1]+Z(j,i)

    Допустим, начало координат находится в левом верхнем углу. Параметр i – номер строки , j – номер столбца. В нашем примере Zmax =14. При i=2 и j=3 Z(2,3)=12; Z(3,2)=2. Следовательно, M(2,3)=14(12–1)+2=156. Вычислив таким образом все M(i,j), получим решение (Рис. 10):




    Рис. 10. Магический квадрат 14 х 14


    В этом примере выделены все нечетные числа. Рисунок получился чуть-чуть негармоничным. Отсутствие полной симметрии подтверждает тезис о сложности рассматриваемой группы магических квадратов”.


    Методы построения идеальных квадратов рассмотрены в его статьях http://renuar911.narod.ru/ideal_sov.html и http://renuar911.narod.ru/IDEAL_MSa.mht . Для самой “капризной” группы n=4k+2 ему удалось по единой методике компоновать нетрадиционные магические квадраты, являющиеся не только идеальными, но и совершенными. Последовательности целых чисел, при помощи которых удалось добиться столь блестящих результатов, по праву носят название цепей Александрова.

    Характерной особенностью творчества Георгия Александрова является красота и изящество составления им алгоритмов поиска сложных многоэлементных структур. Будь то физически реальные блоки или абстрактные числа в матрицах.
    Thursday, October 17th, 2013
    2:05 pm
    Красивый способ построения идеального магического квадрата 6 х 6
    Москва

    Георгий Александров

    Идеальные магические квадраты порядка одинарной четности (то есть 6 х 6, 10 х 10 , 14 х 14 и так далее) могут быть только нетрадиционными. То есть они наполняются не последовательным натуральным рядом чисел, а некими выборочными числами. Идеальные квадраты 6-го порядка из произвольных натуральных чисел элементарно получается из квадрата Журбы, который был опубликован в журнале "Наука и жизнь" ещё в прошлом веке. Однако, прямого способа построения я в литературе еще не встречал. Лишь совсем недавно, в сентябре 2013 г. мне удалось найти элегантный графический метод построения. Алгоритм наглядно показан на рисунке



    На первом чертеже a) дан прием сортировки чисел для будущего магического квадрата (МК). Строится квадрат последовательных натуральных чисел размером 9 х 9. Число 9 - это полуторная величина от 6. Далее в желтые рамки заключаем те числа, которые нужно изъять из рассмотрения. Оставшиеся числа и присутствуют в чертежах b) - h).
    На чертеже b) дан принцип выявления последовательности чисел в самой левой колонке МК сверху вниз. В остальных чертежах - чередование чисел по строкам. Если внимательно присмотреться к чертежам, то можно легко понять единый принцип построения векторов. В результате получим готовый идеальный МК порядка 6 :



    Здесь магическая сумма 246. Даже по всем ломаным диагоналям. Кроме того, МК ассоциативный, то есть сумма любых пар центрально противоположных чисел равна 82.

    То же самое можно проделать с МК 10 х 10 . Только тут схема отсеивания лишних чисел более интересная и форма графа удивительно красивая:



    Магическая сумма 1130 , а центрально противоположные пары чисел дают в сумме число 226 .

    Столь строгий и ясный алгоритм позволяет автоматизировать расчеты строить идеальные магические квадраты любого порядка n=4k+2 . Текст программы на языке Yabasic следующий:

    rem ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО МК ПОРЯДКА 4k+2
    open #2,"14_MK.txt","w":n=14:nn=2*n:nn2=2*nn
    dim z1(nn,nn),z2(nn,nn2),z(nn,nn),a(nn/2),c(900000)
    k=n/2:k1=(n-2)/4:x=(n+k+1)/2:n1=n+k:s=n1+1:m=n/2*(n1^2+1)
    for i=1 to k1:a(i)=2*i-1:next i:for i=1 to k1+1:a(n/2-i+1)=n1-1-2*(i-1):next i
    for i=1 to n/2:z1(i,1)=a(i):next i
    for i=n/2+1 to n:z1(i,1)=z1(n-i+1,1):next i
    for i=1 to n:z1(i,2)=s-z1(i,1):next i:for k0=1 to n/2-1
    for i=1 to n:z1(i,2*k0+1)=z1(i,1):z1(i,2*k0+2)=z1(i,2):next i
    next k0:u=0:for i=1 to n:for j=1 to n:z(i,j)=n1*(z1(i,j)-1)+z1(j,i):next j:next i:s0=0
    for i=1 to n:s0=0:for j=1 to n:s0=s0+z(i,j):next j:if s0=m then u=u+1:fi:next i:s0=0
    for j=1 to n:s0=0:for i=1 to n:s0=s0+z(i,j):next i:if s0=m then u=u+1:fi:next j
    for i=1 to n:for j=n+1 to n+n:z(i,j)=z(i,j-n):next j:next i:s0=0:for j=1 to n:s0=0
    for i=1 to n:s0=s0+z(i,i+j-1):next i:if s0=m then u=u+1:fi:next j:s0=0:for j=1 to n:s0=0
    for i=n to 1 step -1:s0=s0+z(i,i+j-1):next i:if s0=m then u=u+1:fi:next j
    if u=4*n then:for i=1 to n*n:c(i)=0:next i:for i= 1 to n:for j=1 to n:z=z(i,j):c(z)=c(z)+1
    next j
    next i
    for i=1 to n:for j=1 to n
    print #2,z(i,j) using "###";:next j:print #2:print #2:next i:print #2:fi

    Изменяем по надобности лишь два числа, выделенные жирным шрифтом в самом начале программы.
    Для наших заданных в тексте параметров получаем идеальный магический квадрат 14 x 14 :



    Граф, при помощи которого производится расстановка чисел в первом столбце, очевидно такой:



    Метод работает безукоризненно.

    Графический подход позволяет не только выявить общее количество идеальных МК, но и выбрать самый оптимальный. Для сравнения привожу МК 14 х 14 , построенный Н.Макаровой и найденный графически:



    Четно-нечетный узор в моем варианте более укрупненный, что говорит о лучшей стройности расстановки чисел. Данный аспект легко доказывается на примере построения самой левой колонки. У Макаровой граф получается бессистемный: он как заяц скачет по кочкам



    В моем случае граф более последовательный: стрелки сначала спускаются вниз, затем вверх



    Из данных двух примеров хорошо видно, что можно сосчитать возможное количество графов комбинаторным способом. То есть можно выявить число идеальных магических квадратов.

    Такой же метод можно применить и для построения идеальных магических квадратов порядка двойной четности ( n=8, 12, 16, 20, ... ). Покажем подробно, как построить ИМК 12 х 12. Строим матрицу последовательных натуральных чисел:



    Теперь рассмотрим левую и правую колонки. Вычисляем суммы пар чисел (жирные черные цифры)



    Выделяем в желтых рамках те числа, которые дают магическую сумму S= 13+61+157+181+205+253=870 . Причем числа так должны быть расположены, чтобы красные числа (те же черные, но в обратном порядке) оказались в строках, где черные числа не обведены желтыми рамками. Теперь можно строить граф:



    Получили в итоге первую колонку будущего магического квадрата. Построив подобным образом еще 12 графов (как это было сделано в самом первом примере данной лекции) в итоге рисуем окончательное решение:



    Точно так же построен такой квадрат:



    Приведу еще квадрат шестнадцатого порядка:



    Обратите внимание на слоистую структуру четно-нечетного рисунка последних трех квадратов. Это говорит о строго едином методе их построения.

    В заключение хочу озвучить следующую важную мысль: графический метод лучше остальных вскрывает суть задачи построения идеальных магических квадратов. Например, если рассматривать МК нечетного порядка, то вместо многостраничных рассуждениях о латинских квадратах, всяких "качелях" и ходах конем, достаточно просто в поле повторяющихся натуральных рядов чисел выделить кружками сначала главную диагональ, а затем и остальные элементы. Образуется четкая решетка, в узлах которых - идеальный магический квадрат. Так, для МК порядка n=5 будем иметь:



    Более компактный способ получения того же идеального квадрата следующий:



    Правда, есть одно "но". Этот метод действует, если порядок магического квадрата не кратен трем. Для n = 9 , 15, 21 и так далее разработан более сложный метод.
    Метод этот базируется на цепях Александрова.
    Приведу несколько цепей Александрова для МК 9 х 9, 15 х 15, 21 х 21 и т. д. :

    1 9 3 6 2 5 8 4 7

    1 15 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 14 10 13

    1 21 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 20 16 19

    1 27 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 26 22 25

    1 33 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 25 22 26 30 27 29 32 28 31

    1 39 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 25 22 26 30 27 29 31 28 32 36 33 35 38 34 37

    1 45 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 13 10 14 18 15 17 19 16 20 24 21 23 25 22 26 30 27 29 31 28 32 36 33 35 37 34 38 42 39 41 44 40 43

    Подробнее:
    http://renuar911.narod.ru/IMS_Alexandrov.html

    Теорию получения цепей Александрова смотрите в
    http://renuar911.narod.ru/IMSb.html



    Методом цепей Александрова можно построить идеальные магические квадраты нечетного порядка ( причем все, за исключением 3 х 3 ) при помощи программы на Yabasic

    rem Программа построения идеальных магических квадратов методом Г.М.Александрова
    open #1,"IMS_Alex.txt","w"
    dim p(1000000),t(50000),r(50000),z(4200,4200)
    print "INPUT ORDER OF IMS n ";:input n
    if int(n/2)=n/2 then print "Order n is EVEN! YOU MUST INPUT ONLY UNEVEN n ! "
    end:fi
    n1=(n-3)/2
    p(1)=1:p(2)=n:p((1+n)/2+1)=(1+n)/2:no=(n-3)/2
    t(5)=3:t(7)=6:t(9)=2
    if n<5 then print "Order n < 5 and NO IMS":fi
    if n=5 then p(3)=2:p(n)=4
    Print #1,"Цепь Александрова":print #1
    for i=1 to n:print p(i);:print #1,p(i);:next i:print:print #1
    print #1, "____________________________________________________"
    print #1:fi
    if n=7 then p(3)=3:p(4)=6:p(6)=2:p(n)=5
    print #1,"Цепь Александрова":print #1
    for i=1 to n:print p(i);:print #1,p(i);:next i:print:print #1
    print #1, "____________________________________________________"
    print #1:fi
    if n=9 then p(3)=3:p(4)=6:p(5)=2:p(7)=8:p(8)=4:p(n)=7
    print #1,"Цепь Александрова":print #1
    for i=1 to n:print p(i);:print #1,p(i);:next i:print:print #1
    print #1, "____________________________________________________"
    print #1:fi
    if n>9 then
    t(11)=5:t(13)=7:t(15)=4:t(17)=8:t(19)=12:t(21)=9
    s=21
    for k=1 to (n+1)/2:for i=1 to 6:s=s+2:t(s)=6*k+t(9+2*i):next i:next k
    rem Блок корректировки значений t(i)
    o=mod(n,12)
    if o=11 then t(n-4)=t(n-4)-2:fi
    if o=1 or o=7 then t(n)=t(n)-3:fi
    s1=2:s0=0
    Print #1,"Цепь Александрова":print #1
    for i=5 to n step 2:s1=s1+1:p(s1)=t(i):s0=s0+1:r(s0)=1+n-t(i):next i
    s1=s1+1
    for i=n to 5 step -2:s1=s1+1:p(s1)=r(s0):s0=s0-1:next i
    for i=1 to n:print p(i);:print #1,p(i);:next i: print:print #1
    print #1, "_____________________________________________________"
    print #1
    print #1:print #1,"ИДЕАЛЬНЫЙ МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ПОРЯДКА ";:print #1,n
    print #1:fi
    s=0:s1=0:s0=0
    rem Построение идеального магического квадрата
    for k=1 to n:for t=1 to n
    if k=1 and t=1 then j=(n+1)/2:i=(n+1)/2-1:fi
    if t=1 and k>1 then i=i+2:if j<0 then j=j+n:fi:if i<0 then i=i+n:fi:fi
    if t>1 then i=i+1:j=j+2:fi
    rem приведение i и j к рамкам магического квадрата
    v=i
    a()
    i=v2:v=j
    a()
    j=v2:z=(p(k)-1)*n+p(t):z1=int(z)
    if abs(z-z1)>.9 then z=z1+1 else z=z1:fi
    z(i,j)=z:next t:next k
    rem Печать идеального магического квадрата
    print #1
    for i=1 to n:for j=1 to n
    print #1,z(i,j) using "####";:next j
    print #1:print #1:next i

    sub a()
    v0=v/n:v1=int(v0):if v0<1 then v1=0:fi
    v2=(v0-v1)*n:v3=int(v2)
    if abs(v2-v3)>.9 then v2=v3+1 else z=v3:fi
    if abs(v2)<.0000000001 then v2=n:fi
    end sub

    Чтобы понять принцип построения, рассмотрим пример. Пусть требуется построить идеальный магический квадрат 15 x 15. Цепь Александрова для него:
    1 15 3 6 2 5 7 4 8 12 9 11 14 10 13

    Строим вспомогательный рисунок:



    Вверху и слева пишем цепь Александрова а значения Z внутри квадрата вычисляем по формуле, что над рисунком.
    Например, в желтой ячейке число 111 вычисляется так: 15(8 - 1) + 6
    Далее начинаем заполнять идеальный МК. Первое число 1 помещаем прямо над центром всего квадрата. Затем ходом шахматного коня проставляем числа первой строки предыдущего квадрата. После последней цифры 13 следует опуститься через ячейку и с зеленой ячейки начать ходом коня проставлять числа второй строки предыдущего квадрата.



    В результате получим идеальный магический квадрат:



    Программа позволяет выдавать этим же способом любые ИМК нечетного порядка. Например, идеальный магический квадрат 5 x 5 будет построен так:



    Итак, эта лекция фактически есть венец моих многолетних исследований, закончившихся поиском не просто магических, а самых магических квадратов. То есть идеальных магических квадратов. Причем, среди множества ИМК найдены наиболее красивые.

    Доклад прочитан на конференции Национального университета Ла-Платы
    (Universidad Nacional de La Plata, UNLP)
    2013 г.
    Tuesday, October 1st, 2013
    12:02 pm
    340 вариантов четверок Эйлера
    1 1 6 8 9
    2 1 71 138 144
    3 1 135 138 172
    4 2 17 40 41
    5 3 4 5 6
    6 3 10 18 19
    7 3 34 114 115
    8 3 36 37 46
    9 3 121 131 159
    10 3 214 309 340
    11 3 245 340 378
    12 4 17 22 25
    13 4 57 248 249
    14 5 76 123 132
    15 5 86 460 461
    16 5 163 164 206
    17 5 216 436 453
    18 5 232 307 346
    19 6 32 33 41
    20 6 127 180 199
    21 6 179 216 251
    22 7 14 17 20
    23 7 54 57 70
    24 7 119 303 309
    25 8 229 236 293
    26 9 55 116 120
    27 9 58 255 256
    28 9 183 220 256
    29 10 261 323 372
    30 11 15 27 29
    31 12 19 53 54
    32 12 31 102 103
    33 12 81 136 145
    34 12 86 159 167
    35 12 238 315 355
    36 13 51 104 108
    37 13 65 121 127
    38 14 23 70 71
    39 14 189 264 293
    40 15 42 49 58
    41 15 64 297 298
    42 15 82 89 108
    43 15 114 230 239
    44 15 213 281 317
    45 16 23 41 44
    46 16 47 108 111
    47 16 51 213 214
    48 17 40 86 89
    49 17 57 177 179
    50 17 175 380 392
    51 17 191 274 302
    52 18 19 21 28
    53 18 121 167 186
    54 18 137 412 417
    55 18 167 193 228
    56 18 193 423 436
    57 18 349 426 493
    58 19 53 90 96
    59 19 60 69 82
    60 19 92 101 122
    61 19 93 258 262
    62 19 362 365 458
    63 20 54 79 87
    64 20 89 487 488
    65 20 109 379 382
    66 20 151 353 362
    67 21 43 84 88
    68 21 46 188 189
    69 22 51 54 67
    70 22 57 255 256
    71 22 75 140 147
    72 22 320 353 425
    73 23 81 300 302
    74 23 86 97 116
    75 23 94 105 126
    76 23 102 265 270
    77 23 178 200 239
    78 24 159 382 391
    79 24 197 379 396
    80 25 31 86 88
    81 25 38 87 90
    82 25 48 74 81
    83 25 68 190 193
    84 25 92 167 176
    85 26 55 78 87
    86 26 312 397 453
    87 27 30 37 46
    88 27 46 197 198
    89 27 64 306 307
    90 27 232 317 354
    91 28 53 75 84
    92 29 34 44 53
    93 29 75 96 110
    94 30 266 427 459
    95 31 33 72 76
    96 31 64 137 142
    97 31 95 219 225
    98 31 248 270 327
    99 32 54 85 93
    100 32 310 335 407
    101 33 70 92 105
    102 34 39 65 72
    103 34 123 173 192
    104 35 77 202 206
    105 36 38 61 69
    106 36 147 341 350
    107 38 43 66 75
    108 38 48 79 87
    109 38 57 124 129
    110 38 295 337 400
    111 39 146 156 191
    112 40 141 366 373
    113 40 203 309 336
    114 40 273 303 364
    115 41 114 319 324
    116 42 83 205 210
    117 42 181 315 334
    118 42 329 447 500
    119 44 51 118 123
    120 44 73 128 137
    121 44 199 300 327
    122 45 53 199 201
    123 45 69 79 97
    124 46 47 148 151
    125 46 126 201 217
    126 47 75 295 297
    127 47 97 162 174
    128 47 350 406 479
    129 47 392 406 503
    130 48 85 491 492
    131 48 133 147 178
    132 48 137 142 177
    133 48 268 285 349
    134 49 80 263 266
    135 49 84 102 121
    136 49 122 462 465
    137 50 61 64 85
    138 50 67 216 219
    139 50 74 97 113
    140 50 172 257 281
    141 50 184 285 309
    142 51 82 477 478
    143 51 152 190 219
    144 51 232 461 480
    145 53 58 194 197
    146 53 153 291 305
    147 54 80 163 171
    148 54 152 387 395
    149 54 163 204 235
    150 54 183 478 487
    151 55 113 296 302
    152 55 128 500 503
    153 56 61 210 213
    154 56 102 223 231
    155 56 133 163 190
    156 57 68 180 185
    157 57 82 495 496
    158 57 126 280 289
    159 57 146 180 209
    160 58 59 69 90
    161 58 75 453 454
    162 58 131 160 187
    163 58 157 179 214
    164 58 201 255 292
    165 59 93 148 162
    166 60 342 395 467
    167 64 75 477 478
    168 64 107 405 408
    169 65 87 142 156
    170 65 127 248 260
    171 66 117 260 269
    172 67 167 177 219
    173 68 113 166 185
    174 69 99 146 164
    175 69 123 124 160
    176 69 328 387 454
    177 71 73 138 150
    178 71 81 384 386
    179 71 150 262 279
    180 71 177 262 288
    181 72 85 122 141
    182 72 157 446 453
    183 72 257 327 374
    184 73 120 314 321
    185 73 123 431 435
    186 73 135 170 198
    187 73 174 207 244
    188 75 366 410 491
    189 76 141 171 202
    190 76 165 192 229
    191 78 172 195 235
    192 79 245 357 393
    193 80 219 388 411
    194 81 147 167 203
    195 81 202 239 282
    196 82 119 497 500
    197 85 107 220 232
    198 85 138 171 202
    199 85 353 397 475
    200 86 95 97 134
    201 87 150 382 391
    202 87 297 316 388
    203 88 95 412 415
    204 88 222 291 331
    205 89 231 456 476
    206 93 155 180 218
    207 93 242 244 309
    208 94 96 99 139
    209 94 149 387 396
    210 95 196 248 287
    211 95 229 327 363
    212 96 107 141 170
    213 96 163 198 235
    214 97 320 415 472
    215 97 333 389 459
    216 98 136 207 231
    217 99 200 349 372
    218 99 236 349 384
    219 100 213 323 354
    220 100 242 447 471
    221 101 178 219 258
    222 102 157 192 229
    223 102 194 279 311
    224 102 227 277 324
    225 103 140 204 231
    226 104 150 429 437
    227 105 196 290 321
    228 106 185 335 356
    229 106 227 229 292
    230 107 108 136 171
    231 107 209 337 365
    232 107 230 277 326
    233 107 292 362 419
    234 107 306 381 440
    235 108 109 150 181
    236 108 142 165 205
    237 108 163 170 219
    238 108 267 365 410
    239 109 170 475 484
    240 109 293 437 479
    241 111 148 465 472
    242 113 116 271 284
    243 113 124 220 241
    244 113 146 166 209
    245 113 166 207 246
    246 113 264 463 492
    247 114 261 355 400
    248 115 122 149 188
    249 115 366 384 475
    250 116 271 305 368
    251 118 160 485 493
    252 118 225 324 361
    253 119 268 321 378
    254 121 122 360 369
    255 123 125 208 234
    256 123 136 453 460
    257 123 168 490 499
    258 123 197 388 408
    259 123 276 316 379
    260 127 188 432 447
    261 127 204 321 352
    262 131 212 445 464
    263 131 261 400 438
    264 134 151 353 368
    265 135 164 304 327
    266 135 177 376 394
    267 135 188 414 431
    268 138 145 375 388
    269 138 178 407 423
    270 138 200 223 279
    271 138 239 418 447
    272 139 309 428 480
    273 140 151 161 218
    274 141 272 330 389
    275 142 362 369 465
    276 144 179 405 422
    277 144 227 277 330
    278 145 179 267 303
    279 147 157 186 238
    280 147 232 357 394
    281 149 166 411 426
    282 149 256 363 408
    283 149 336 427 492
    284 151 162 272 303
    285 152 158 229 269
    286 152 219 270 323
    287 154 251 357 402
    288 158 171 228 275
    289 158 241 295 352
    290 159 214 228 295
    291 160 191 356 383
    292 160 243 389 426
    293 160 326 387 459
    294 162 173 282 317
    295 163 164 197 254
    296 168 268 321 385
    297 169 234 380 417
    298 171 282 349 412
    299 173 214 267 324
    300 173 232 339 384
    301 174 239 297 356
    302 174 247 284 351
    303 177 276 343 406
    304 178 188 401 425
    305 178 295 329 406
    306 179 188 229 290
    307 179 267 447 485
    308 180 197 379 408
    309 183 192 290 335
    310 183 201 220 292
    311 185 207 346 384
    312 185 218 271 332
    313 186 236 313 369
    314 190 279 449 492
    315 191 290 361 428
    316 191 332 409 482
    317 191 354 376 471
    318 192 249 263 344
    319 193 276 446 489
    320 200 239 388 431
    321 202 261 396 445
    322 213 323 334 432
    323 215 218 409 446
    324 219 223 443 477
    325 219 269 370 432
    326 227 230 277 356
    327 233 279 424 480
    328 234 260 397 453
    329 235 236 362 419
    330 240 271 305 396
    331 242 262 285 381
    332 243 358 389 492
    333 254 327 412 495
    334 256 311 398 479
    335 260 369 375 494
    336 268 362 369 489
    337 276 303 313 430
    338 281 322 399 492
    339 283 294 357 454
    340 315 322 389 498
    Tuesday, September 24th, 2013
    5:36 pm
    Жемчужина алгебры. Задача о четырех кубах
    (1. цитата харди)


    Введение. С чего все началось. Мои встречи с математиком А.Н.Колмогоровым

    В школьной библиотеке я брал чаще не фантастику, а популярные книги по математике и уяснил для себя следующее. Исторически сложилось так, что алгебре предшествовала арифметика. Если вначале люди учились считать количество вещей, деньги, километры и так далее, то потом появилась потребность однотипные вычисления сводить к общим формулам с буквенными параметрами. Обобщенные выражения заключали в себе уже серию арифметических вариантов, иногда даже бесконечную. Например, формула Пифагора для прямоугольного треугольника включает в себя три буквенных параметра. Задаваясь размерами двух катетов, всегда стало возможным вычислить гипотенузу. Или наоборот: зная гипотенузу, можно выявить великое множество различных катетов.
    Будучи старшеклассником, я в 1967 году решил закрепить знания математики не при помощи репетитора, а путем посещения подготовительных курсов, проводимых в Политехническом музее, что на Новой площади в Москве. Готовился к поступлению в институт. Лекции читали очень хорошие учителя школ, ВУЗов и даже выдающиеся математики. Однажды очередную лекцию провел Андрей Николаевич Колмогоров.

    (2. фото колмогорова)


    Мне он не был знаком, и, честно говоря, впечатления не произвел. Излагал материал сумбурно, сбивчиво, дикция четко не отработана. Речь шла о методе аналогий, о системе понятий и системе решений, из которых я мало что понял. В конце занятия со мной произошел такой казус: я уронил карандаш и никак не мог найти его на полу. Как сквозь землю провалился. В результате все слушатели вышли из комнаты, а я все ищу, недоумевая, куда он мог закатиться. Андрей Николаевич (так он представился нам перед лекцией) поинтересовался, что я тут потерял. Я покраснел и ответил, что карандаш. После он спросил, понравился ли мне урок. Я совсем засмущался, еще больше покраснел, так как пришлось соврать. Он, конечно, все понял, и попросил разрешения полистать мой конспект. Тут нужно отметить мою привычку: писал лекции только на нечетных страницах, а оборотные стороны оставлял пустыми. Так мне советовала мама. Потому что иногда возникали вопросы, новые мысли, рассуждения по теме, а порой и вовсе из другой области. Для этого четные страницы оказывали важную услугу. Как раз эти страницы и привлекли внимание Андрея Николаевича. Там были записи моего наивного "доказательства" теоремы Ферма, попытки разработать способы построения магических квадратов, различные преобразования уравнения Эйлера с четырьмя кубами и многое другое. Последняя из названных проблем в то время меня больше всех интересовала. С какой-то книги я выписал решение.
    Лектор, вдруг заулыбался, просветлел и неожиданно предложил пойти к нему домой со словами: где-то у меня есть нечто похожее: кажется, в письмах Линника. Я, естественно, ничего не понял, но любопытство взяло свое и согласился. Совершенно не помню, как и на чем добирались, но вот мы у него дома(подъезд корпуса "Л" здания Московского университета кв.10). В кабинете огромная библиотека, на столе кипа журналов и печатная машинка, на диване листы, листы и листы. Андрей Николаевич вытащил из ящика стола внушительную кипу писем. У меня глаза разгорелись, когда увидел на конвертах красочные марки с иностранными буквами. Про себя подумал: хорошо бы иметь их и собрать для коллекции эти перфорированные прямоугольнички! Наконец, он нашел нужный конверт протянул мне. Прочитал на нем: от Линника Юрия Владимировича. Вытащил длинное письмо на трех листах. И где-то в середине увидел действительно похожие выражения.
    - Видишь, заметил лектор, - почти одно и то же, но степени побольше в два раза.
    Я попросил разрешения переписать формулы в свою тетрадь, что с волнением и сделал. Благо, писал авторучкой с открытым пером (естественно, китайской), которую Андрей Николаевич мне любезно одолжил. Правда, позже (уже у себя дома) обнаружил, что допустил две опечатки в двух последних формулах и это мне стоило больших потуг, чтобы восстановить структуру выражений, при которых уравнение Эйлера строго соблюдалось.
    На другой странице оказались еще две серии решений задачи о четырех кубах, но значительно более закрученные и непонятно как выведенные.
    Их я списал более внимательно опечаток, к счастью, не сделал.
    -Вот что, молодой человек, - уважительно сказал Андрей Николаевич, - проверьте правильность решений, попробуйте выяснить, являются ли формулы достаточными, чтобы выявить все четверки Эйлера, или же они покрывают только часть множества числовых вариантов. И еще: чем бы вам хотелось заниматься в сфере математики?
    Я ответил, что пока не определился и пробую рассматривать несложные для понимания, но еще нерешенные проблемы. Например, проблему Гольдбаха. Еще пытаюсь выяснить: существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение.
    Лектор лишь усмехнулся и пожелал успехов.
    Только спустя некоторое время я узнал, что судьба свела меня с двумя великими математиками: Андреем Николаевичем Колмогоровым и Юрием Владимировичем Линником. Более того - они определили мое хобби на всю жизнь, так как серьезно увлекся задачей о четырех кубах. Вот уж сорок шесть лет она не дает мне покоя.
    Вторая встреча с Колмогоровым произошла уже в студенческие годы. Волей судьбы я оказался на лекции в МГУ. Было это примерно в 1971 году. Колмогоров популярно рассказывал о результатах нововведения в школьных учебниках и о журнале "Квант". После лекции я осмелился к нему подойти. Надо сказать, что у Колмогорова была прекрасная память и он сразу меня узнал, даже вспомнил дату нашей первой беседы у него дома. Я ему признался, что сильно увлекся уравнением Эйлера и нашел несколько вариантов, похожих на квадратичные представления Рамануджана. К сожалению, черновики с собой у меня не было, и беседа наша ограничилась лишь общими фразами. Он предложил опять встретиться на днях у него дома, но обстоятельства не сложились и больше мы не виделись. Зато он часто мелькал на экране телевизора и публиковал статьи в средствах массовой информации. А совсем недавно увидел в интернете его замечательные слова:

    (3. цитата колмогорова)


    Это крылатое выражение и стало ориентиром моей дальнейшей научной деятельности. Формулы, о которых я говорил выше, будут главными героями данной книги.
    Глава 1. Немного о математике А.Н.Колмогорове.
    Если совсем коротко, то об этом гиганте можно написать так.
    Величайший русский математик двадцатого века, создатель современной теории вероятностей, автор классических результатов в теории функций, в математической логике, топологии, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, в теории турбулентности, теории гамильтоновых систем. Созданные им школы в теории вероятностей, теории функций, функциональном анализе и теории гамильтоновых систем определили развитие этих направлений математики в ХХ столетии. В истории российской науки его имя стоит рядом с такими именами, как М.В. Ломоносов и Д.И. Менделеев - учёных, всей своей жизнью прославивших Россию.
    Сам Андрей Николаевич вспоминал, что с теорией чисел столкнулся еще в дошкольном возрасте, когда неожиданно для себя самостоятельно открыл удивительное свойство нечетных чисел:

    (4. сумма нечетных чисел)


    В 1978 году он в содружестве с А.П.Юшкевичем написал фундаментальный популярный исторический труд "Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей". У меня всегда под рукой Большой энциклопедический словарь "Математика", изданный в 1988 году, введение к которому написал Андрей Николаевич Колмогоров.

    Глава 2. Уравнение Эйлера. Решение Эйлера и Бине

    В данной работе речь пойдет об уравнении в целых числах, которое предложил более двух веков назад Леонард Эйлер:

    (5. уравнение эйлера)

    (6.фото эйлера)


    Леонард Эйлер (1707—1783 гг.) - математик, механик, физик и астроном, ученый необычайной широты интересов, автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки. По происхождению швейцарец.
    В 1726 г. был приглашен работать в Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию, в 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской академии наук. В 1741—1766 гг. работал в Берлине, оставаясь почетным членом Петербургской Академии наук.
    Он считал, что математика была и будет самой удивительной наукой, рожденной в головах многих выдающихся личностей. Она возникла и совершенствовалась в соответствии с нуждами практики, но оказалась настолько цельной и гармоничной, что сама явилась объектом тщательных исследований. Величайшие умы человечества, иногда по крупицам, а иногда и гейзером идей, открывали все новые и новые грани теории чисел, статистического анализа, изучения функций, дифференциального и интегрального исчислений, рядов, геометрии, тригонометрии, графов, топологии и т.д. и т.п. Основной целью математики чаще всего было нахождение области допустимых решений нужной задачи. Когда та или иная сложная проблема вдруг стопорилась, приходилось искать иные подходы, методы и даже создавать новые направления, которые позволяли преодолевать пробелы в математических знаниях. Так происходил прогресс науки о порядке...
    Эти мысли гения математики актуальны и сегодня. Наиболее ярким примером сказанному служит, конечно же, Великая Теорема Ферма. Потребовалось целых 358 лет, чтобы ее безошибочно доказать!
    Задача о четырех кубах тоже оказалась непростой. Но если в ВТФ требовалось доказать полное отсутствие решений, то в нашем случае, наоборот, нужно было найти систему выражений для x, y, z ,w которая давала бы все примитивные четверки Эйлера. Четверка Эйлера (x,y,z,w) называется примитивной, если она не может быть получена из какой-то другой четверки Эйлера, то есть x, y, z, w являются взаимно простыми числами.
    Леонард Эйлер сам приложил немало усилий, чтобы найти формулы, генерирующие все примитивные четверки целых чисел
    Проблема эта чисто алгебраическая и совсем непростая. Вспоминаю такой эпизод в моей жизни. Еще в школе прочитал решение Пифагора, при помощи которого можно находить все примитивные тройки чисел в задаче о трех квадратах:



    Года через три мне понадобились эти формулы, но я их совершенно забыл, а учебников под рукой не оказалось. Оставалось только самому вывести знаменитые соотношения. И что же? Промучился два часа, но так и не удалось повторить подвиг Пифагора. И это с квадратами! С кубами же такая задача на порядок сложней. Даже Эйлеру оказалось по силам вывести лишь зависимости, дающие хотя бесконечную, но далеко не полную серию x, y, z ,w . Он предположил, что параметры имеют вид следующих полиномов:

    (7. полиномы в общем виде)


    где a и b - любые целые числа, а коэффициенты с индексами должны быть такими, чтобы удовлетворялось исходное уравнение с четырьмя кубами. Каким-то образом Эйлеру удалось установить, что:

    (8. полиномы с коэффициентами)


    Далее Эйлер упростил эти алгебраические связи таким образом, чтобы единственными целочисленными коэффициентами оказались тройка и единица. Окончательный вид выражений:

    (9. решение эйлера)


    Проверим эффективность работы данных формул. Простая программа на языке Yabasic :
    open #1,"340.txt","r"
    open #2,"EULER2.txt","w"
    dim x(10)
    n=8:n0=4:s1=0.00001
    rem Считываем примитивные четверки Эйлера
    for v=1 to 340
    input #1 r,x0,y0,z0,w0
    k=0
    for a=-n to n
    for b=-n to n
    x(1)=abs(1-(a-3*b)*(a^2+3*b^2))
    x(2)=abs(-1+(a+3*b)*(a^2+3*b^2))
    x(3)=abs(-a-3*b+(a^2+3*b^2)^2)
    x(4)=abs(-a+3*b+(a^2+3*b^2)^2)
    rem Распределяем массив чисел по возрастанию
    for j=1 to n0-1
    for i=1 to n0-j
    if x(i)>x(i+1) then
    t=x(i):x(i)=x(i+1):x(i+1)=t
    fi
    next i
    next j
    x=x(1):y=x(2):z=x(3):w=x(4)
    rem Исключаем тривиальные и нелинейные варианты
    if abs(x)<>abs(y) then
    if abs(x)<>abs(z) then
    if abs(x)<>abs(w) then
    if abs(y)<>abs(z) then
    if abs(y)<>abs(w) then
    if abs(z)<>abs(w) then
    if abs(x/x0-y/y0) < s1 then
    if abs(x/x0-z/z0) < s1 then
    if abs(x/x0-w/w0) < s1 then
    if k=0 then s=s+1: print s,x0,y0,z0,w0;
    print " -> ";
    print #2, s,x0,y0,z0,w0;:print #2, " -> ";
    print a,b:print #2, a,b:k=1:fi
    fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi
    next b
    next a
    next v

    позволила установить, что из 340 известных числовых решений задачи о четырех кубах система Эйлера выявляет всего 25 решений, то есть меньше 10%.
    Результаты счета следующие:

    (10. 25 решений из 340 эйлера)


    Почти через сто лет такой же результат получил Бине.

    (25. фото бине)


    Жак Филлип Мари Бине — французский математик и астроном, родился в Ренне 2 февраля 1786 г., умер в Париже 12 мая 1856 г. Окончив Политехническую школу, он был назначен в ней профессором механики и впоследствии главным инспектором. В 1823 г. Бине занял кафедру астрономии в College de France после Деламбра. В 1843 г. он был избран членом Академии наук на место Лакруа. Бине принял участие в новом издании «Mecanique analytique» Лагранжа. Напечатал массу статей по механике, чистой и прикладной математике и астрономии. Бине одним из первых пришёл к идеям матричной алгебры и первым опубликовал в 1812 году правило умножения матриц. С его именем связана формула Бине для чисел Фибоначчи, хотя эту формулу столетием ранее получил Абрахам де Муавр. Независимо от Эйлера нашел частное решение задачи о четырех кубах (формулы Эйлера и Бине). Бине принадлежит также ряд важных теорем в механике вращающихся тел.

    Глава 3. Решения Рамануджана
    (17. фото рамануджана)


    Фигура Рамануджана как математика тем более удивительна, что его формальное образование было весьма ограниченным. Он родился 22 декабря 1887 г. в небогатой семье касты браминов в местечке Эрод на юге Индии и вырос в городке Кумбаконаме, где его отец служил бухгалтером в небольшой текстильной лавке. Его математический талант был замечен очень рано, и в возрасте 7 лет он получил право на стипендию для учёбы в средней школе Кумбаконама. Он поражал одноклассников тем, что помнил наизусть сложные математические формулы и много знаков числа π. В 12 лет Рамануджан изучил обширный труд С. Л. Лоуни «Плоская тригонометрия», включая рассмотренные там суммы и произведения бесконечных последовательностей, которым суждено было занять важное место в его последующих работах. Через три года Рамануджан достал книгу «Сборник элементарных результатов чистой математики» (Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics), содержащий свыше 6000 теорем (большей частью без доказательств) и составленный преподавателем Кембриджского университета Дж. Ш. Карром. Две эти книги и стали основой математической подготовки Рамануджана. В 1903 г. Рамануджан был принят в местный колледж (входивший в состав Мадрасского университета. – Перев.). Однако поглощённый своими математическими изысканиями в ущерб всему остальному, он провалился на экзаменах; то же самое повторилось четыре года спустя в другом колледже в Мадрасе. После женитьбы в 1909 г. Рамануджан на время оставил своё увлечение и попробовал найти работу. К счастью, в 1910 г. по pекомендации многих сочувствующих Рамануджану индийских математиков на него обратил внимание богатый любитель и покровитель математики Р. Рамачандра Рао. Под впечатлением открытий, законспектированных Рамануджаном в его «Тетрадях», Рамачандра Рао предоставил ему ежемесячное пособие. В 1912 г., желая всё-таки иметь работу, Рамануджан устроился бухгалтером в Трест мадрасского порта, который возглавлял английский инженер Френсис Спринг. Вместе с основателем Индийского математического общества В. Рамасвами Айяром они уговорили Рамануджана сообщить свои результаты трём известным английским математикам. Двое из них, по-видимому, не отозвались. Третьим был Г. Г. Харди из Кембриджского университета, признанный теперь самым выдающимся английским математиком того времени. Харди, привыкший к письмам от всякого рода «умников», получив послание Рамануджана 16 января 1913 г., сначала был склонен его проигнорировать. Однако вечером того же дня он решил вместе с коллегой и близким другом Джоном И. Литлвудом поломать голову над списком из 120 формул и теорем, которые Рамануджан приложил к своему письму. Через несколько часов они «вынесли приговор» – перед ними работа не маньяка, а гения. (По составленной Харди позднее «шкале чистого таланта» для математиков Рамануджан получил 100 баллов, Литлвуд – 30, а себе Харди поставил 25. Немецкий математик Давид Гильберт, самая влиятельная фигура в математике того времени, заслужил только 80.) Этот эпизод и то, что за ним последовало, по словам Харди, было единственным романтическим событием его жизни. Он писал, что некоторые формулы Рамануджана его совершенно ошеломили, но тем не менее «они, несомненно, верны, ибо если бы они были неверны, ни у кого не хватило бы воображения их выдумать». Харди немедленно пригласил Рамануджана приехать в Кембридж. Но серьезные возражения со стороны матери и собственные колебания задержали его отъезд до марта 1914 г. В течение следующих пяти лет Харди и Рамануджан работали совместно в Тринити-Колледже Кембриджского университета. Сочетание блестящего мастерства Харди-аналитика и фантастической интуиции Рамануджана привело к необычайно плодотворному сотрудничеству. Они опубликовали серию основополагающих работ о свойствах различных теоретико-числовых функций, открывавших путь для ответа на вопросы типа: каково наиболее вероятное число простых делителей у данного целого числа? Сколькими способами можно выразить натуральное число в виде суммы меньших натуральных чисел? В 1917 г. Рамануджан стал действительным членом Лондонского королевского общества и профессором Кембриджского университета. Впервые индиец был удостоен того и другого звания. Слава его росла, однако здоровье резко ухудшилось. В военное время, когда в Великобритании остро ощущалась нехватка продовольствия, трудно было придерживаться вегетарианской диеты, которую он строго соблюдал. Рамануджан не раз попадал в больницу, но поток его новых результатов не иссякал. В 1919 г., когда война закончилась и путешествия за границу снова стали безопасными, он вернулся в Индию. Ставший кумиром молодых индийских интеллектуалов 32-летний Рамануджан умер 26 апреля 1920 г. http://ega-math.narod.ru/Rama/Rama3.htm
    Коснулся он и задачи о четырех кубах. Его решения, как всегда, изящны, хотя, как сам с сожалением констатировал, являются далеко не полными:

    (18. формулы рамануджана)


    В первой модели значения параметров a и b по абсолютной величине пришлось принимать больше 16 , число вариантов 39 из 340 .
    Во второй модели соответственно 19 и 28
    В третьей модели соответственно 12 и 39

    Глава 4. Решение Харди и Райт

    (26. фото харди)


    Годфри Харолд Харди — английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе.
    Родился 7 февраля 1877 в небольшом городке на юге Англии в семье учителей, оба родителя имели склонность к математике, хотя и преподавали другие предметы. Математические способности самого Харди начали проявляться еще в возрасте двух лет.
    В 1896 году он поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета. Всего после двух лет учебы он занял четвертое место на конкурсе выпускников.
    В 1900 году Харди становится сотрудником факультета, а с 1906 года становится лектором с нагрузкой в 6 часов в неделю, что давало много свободного времени для собственных исследований. В 1919 году он занял пост профессора математики в Оксфордском университете. В 1931 году Харди вернулся в Кембридж, где пробыл на посту профессора до 1942 года.
    Одним из самых своих больших открытий сам Харди называл открытие индийского математика Рамануджана, с которым впоследствии написал много работ.
    Начиная с 1911 года Харди очень плодотворно сотрудничает с Джоном Литлвудом. Большинство работ Харди написано именно в сооавторстве с Литлвудом. Ходила даже шутка, что в Англии живёт три великих математика — Харди, Литлвуд и Харди-Литлвуд, причем третий из них самый великий.
    Умер 1 декабря 1947 в Кембридже.

    (28. фото райт)


    Сьюэл Райт (1889-1988), американский генетик, родился в штате Иллинойс (США).Его ранние экспериментальные работы посвящены проблемам в области физиологической генетики и генетики развития. Райт одним из первых обратил внимание на связь между генами и ферментами (белками) (Wright, 1917). Он не печатал свои работы в виде монографий до конца 60-х годов. Внес фундаментальный вклад в популяционную генетику. Генетический дрейф иногда называют эффектом Сьюэла Райта. Ввел ряд простых математических методов для описания факторов, влияющих на эволюционно-генетические процессы в популяции. Увлекался задачами из теории чисел. В современной психогенетике широко применяется метод анализа путей Райта.

    Харди и Райт принадлежит такое интересное решение задачи о четырех кубах:
    (27. формулы харди и райт)



    Эти формулы равноценны и дают одинаковые частные решения. Значения параметров a и b по абсолютной величине пришлось принимать больше 4 , число вариантов 12 из 340 . То есть всего 3.5%.

    (11. фото линника)


    Юрий Владимирович Линник (26 декабря 1914 (8 января 1915) — 30 июня 1972) — советский математик в области теории вероятностей, математической статистики и теории чисел.
    В области теории чисел дал элементарное решение проблемы Варинга, доказал, что каждое большое натуральное число есть сумма семи кубов натуральных чисел, установил, что почти для всех модулей верна гипотеза И. М. Виноградова о наименьшем квадратичном невычете; созданный Линником при этом метод большого решета нашел важные применения в аддитивной теории чисел.
    В теории вероятностей и математической статистике Ю. В. Линнику принадлежат предельные теоремы для независимых случайных величин и неоднородных цепей Маркова, теория проверки сложных гипотез и теории оценивания, работы по теории метода наименьших квадратов (продолжил исследования А. А. Маркова и А. Н. Колмогорова, давших строгое обоснование и установление границ содержательной применимости метода наименьших квадратов).

    (12. формулы линника)


    (13. фото брауна)

    David Rodney "Roger" Heath-Brown F.R.S. (born 12 October 1952), is a British mathematician working in the field of analytic number theory.
    He was an undergraduate and graduate student of Trinity College, Cambridge; his research supervisor was Alan Baker. In 1979 he moved to the University of Oxford, where since 1999 he has held a professorship in pure mathematics.
    Heath-Brown is known for many striking results. These include an approximate solution to Artin's conjecture on primitive roots, to the effect that out of 3, 5, 7 (or any three similar multiplicatively-independent square-free integers), one at least is a primitive root modulo p, for infinitely many prime numbers p. He also proved that there are infinitely many prime numbers of the form x3 + 2y3. In collaboration with S. J. Patterson in 1978 he proved the Kummer conjecture on cubic Gauss sums in its equidistribution form. He has applied Burgess's method on character sums to the ranks of elliptic curves in families. He proved that every non-singular cubic form over the rational numbers in at least ten variables represents 0. Heath-Brown also showed that Linnik's constant is less than or equal to 5.5.
    http://en.wikipedia.org/wiki/Roger_Heath-Brown
    (14. формулы брауна)


    (15. фото морделла)

    Луис Джоэл Морделл (англ. Louis Joel Mordell; 28 января 1888, Филадельфия, США — 12 марта 1972, Кембридж, Великобритания) — английский математик.
    Автор трудов по алгебре, теории диофантовых уравнений, тригонометрическим рядам. Обосновал проблему для функциональных полей, названную его именем. Доказал формулы Эйнштейна в области теории квадратичных форм (1918).
    Его имя связано с анализом диофантова уравнения
    y2=x3+k ,
    где k — целое число. Соответствующая ему эллиптическая кривая ныне называется кривой Морделла.
    В 1922 году Л. Морделл связал множество решений диофантова алгебраического уравнения с геометрическим родом кривой, задаваемой этим уравнением. Он пришел к выводу, что если степень уравнения достаточно велика (больше двух), то размерность пространства решений выражается через род кривой, и потому эта размерность конечна. Для меньших степеней это может не так — уравнение Пифагора степени 2 имеет бесконечное семейство решений. Эта гипотеза была доказана лишь в 1983 году немецким математиком Фальтингсом.
    Выдающихся успехов Л. Морделл добился и в геометрии. Например, в 1937 году он доказал неравенство Эрдёша — Морделла, утверждающее, что для всякой точки M внутри заданного треугольника сумма расстояний от нее до вершин не менее удвоенной суммы расстояний от точки до сторон треугольника, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний и точка M — его центр.
    В 1956 году Л. Морделл нашел красивое частное решение задачи о четырех кубах.
    Морделл — автор 270 публикаций. Основная его монография — «Диофантовы уравнения» (1969).
    В 1971 году Морделл участвовал в теоретической конференции в Москве и затем был приглашен в Ленинград для чтения лекций.

    (16. решения морделла)


    (19. фото лемера)

    Derrick Henry "Dick" Lehmer (February 23, 1905 – May 22, 1991) was an American mathematician who refined Édouard Lucas' work in the 1930s and devised the Lucas–Lehmer test for Mersenne primes. Lehmer's peripatetic career as a number theorist, with he and his wife taking numerous types of work in the United States and abroad to support themselves during the Great Depression, fortuitously brought him into the center of research into early electronic computing.
    Lehmer was born in Berkeley, California, to Derrick Norman Lehmer, a professor of mathematics at the University of California, Berkeley, and Clara Eunice Mitchell.
    He studied physics and earned a Bachelor degree from UC Berkeley, and continued with graduate studies at the University of Chicago.
    He and his father worked together on Lehmer sieves.
    During his studies at Berkeley, Lehmer met Emma Markovna Trotskaia, a Russian student of his father's, who had begun with work toward an engineering degree but had subsequently switched focus to mathematics, earning her B.A. in 1928. Later that same year, Lehmer married Emma and, following a tour of Northern California and a trip to Japan to meet Emma's family, they moved by car to Providence, Rhode Island, after Brown University offered him an instructorship.
    Lehmer received a Master's degree and a Ph.D., both from Brown University, in 1929 and 1930, respectively; his wife obtained a Master's degree in 1930 as well, coaching mathematics to supplement the family income, while also helping her husband type his Ph.D. thesis, An Extended Theory of Lucas' Functions, which he wrote under Jacob Tamarkin.
    Lehmer became a National Research Fellow, allowing him to take positions at the California Institute of Technology from 1930 to 1931 and at Stanford University from 1931 to 1932. In the latter year, the couple's first child Laura was born.
    After being awarded a second National Research Fellowship, the Lehmers moved on to Princeton, New Jersey between 1932 and 1934, where Dick spent a short time at the Institute for Advanced Study.
    He worked at Lehigh University in Pennsylvania from 1934 until 1938. Their son Donald was born in 1934 while Dick and Emma were at Lehigh.
    The year 1938-1939 was spent in England on a Guggenheim Fellowship visiting both the University of Cambridge and the University of Manchester, meeting G. H. Hardy, John Edensor Littlewood, Harold Davenport, Kurt Mahler, Louis Mordell, and Paul Erdős. The Lehmers returned to America by ship with second child Donald just before the beginning of the Battle of the Atlantic.
    Lehmer continued at Lehigh University for the 1939-1940 academic year.
    In 1940, Lehmer accepted a position back at the mathematics department of UC Berkeley. At some point in his career there, he developed the Linear congruential generator (pseudorandom number generator), which is frequently referred to as a Lehmer random number generator. The Lehmers also assisted Harry Vandiver with his work on Fermat's Last Theorem, computing many Bernoulli numbers required.
    Lehmer was chairman of the Department of Mathematics at University of California, Berkeley from 1954 until 1957. He continued working at UC Berkeley until 1972, the year he became professor emeritus.
    From 1945-1946, Lehmer served on the Computations Committee at Aberdeen Proving Grounds in Maryland, a group established as part of the Ballistics Research Laboratory to prepare the ENIAC for utilization following its completion at the University of Pennsylvania's Moore School of Electrical Engineering; the other Computations Committee members were Haskell Curry, Leland Cunningham, and Franz Alt. It was during this short tenure that the Lehmers ran some of the first test programs on the ENIAC—according to their academic interests, these tests involved number theory, especially sieve methods, but also pseudorandom number generation. When they could arrange child care, the Lehmers spent weekends staying up all night running such problems, the first over the Thanksgiving weekend of 1945. (Such tests were run without cost, since the ENIAC would have been left powered on anyway in the interest of minimizing vacuum tube failures.) The problem run during the 3-day Independence Day weekend of July 4, 1946, with John Mauchly serving as computer operator, ran around the clock without interruption or failure. The following Tuesday, July 9, 1946, Lehmer delivered the talk "Computing Machines for Pure Mathematics" as part of the Moore School Lectures, in which he introduced computing as an experimental science, and demonstrated the wit and humor typical of his teaching lectures.
    Lehmer would remain active in computing developments for the remainder of his career. Upon his return to Berkeley, he made plans for building the California Digital Computer (CALDIC) with Paul Morton and Leland Cunningham.
    In 1950, Lehmer was one of 31 University of California faculty fired after refusing to sign a loyalty oath, a policy initiated by the Board of Regents of the State of California in 1950 during the Communist scare personified by Senator Joseph McCarthy. Lehmer took a post as Director of the National Bureau of Standards' Institute for Numerical Analysis (INA), working with the Standards Western Automatic Computer (SWAC). On October 17, 1952, the State Supreme Court proclaimed the oath unconstitutional, and Lehmer returned to Berkeley shortly thereafter.
    Lehmer continued to be active for many years and would certainly qualify as a dotagy, Paul Erdos's term for someone active in their dotage. When John Selfridge was at Northern Illinois University he twice invited Lehmer and Emma to spend a semester there. One year Selfridge arranged that Erdos and Lehmer taught a course together on Research Problems in the Theory of Numbers. Lehmer taught the first eight weeks and then Erdos taught the remainder. Erdos didn't often teach a course, and he said "You know it wasn't that difficult. The only problem was being there."
    Lehmer had quite a wit. On the occasion of the first Asilomar number theory conference, which became an annual event (now called West Coast Number Theory), Lehmer, as the organizer, was inspecting the facilities of the Asilomar Conference Grounds—basically a wooden building on the beach. Someone said they couldn't find a blackboard and Lehmer spotted some curtains in the middle of the wall. Moving the curtains aside revealed a very small blackboard, whereupon Lehmer said "Well, I guess we won't be doing any analytic number theory!"
    In addition to his significant contributions to number theory algorithms for multiprecision integers, such as factoring, Euclid's algorithm, long division, and proof of primality, he also formulated Lehmer's conjecture and participated in the Cunningham project.
    His father Derrick Norman Lehmer, known mainly as a pioneer in number theory computing, also made major contributions to combinatorial computing[citation needed], having devised algorithms for efficiently generating all the permutations on n elements.
    D. H. Lehmer continued his father's interest in combinatorial computing and in fact wrote the article "Machine tools of Computation," which is chapter one in the book "Applied Combinatorial Mathematics," by Edwin Beckenbach, 1964. It describes methods for producing permutations, combinations etc. This was a uniquely valuable resource and has only been rivaled recently by Volume 4 of Donald Knuth's series.
    Lehmer died in Berkeley on May 22, 1991.
    http://en.wikipedia.org/wiki/Derrick_Henry_Lehmer


    (20. формулы лемера)


    (21. фото лабковского)


    (22. формулы лабковского)



    (29. решение из алгебраической геометрии)

    http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_cubic

    (30. решение неизвестного 1825)


    Глава 10. Мои исследования и решения

    (31. фото александрова)


    Я поступил в институт в 1968 году. Лекции по математике читали совсем молодой Гаухман и Марк Иванович Сканави ( http://allformgsu.ru/news/mark_ivanovich_skanavi/2012-01-30-186 ). Тот самый, что написал прекрасные книги по решениям самых различных задач.

    (31a. фото Сканави)


    Но знал я его и раньше. Дело в том, что по телевидению открыли канал, в котором лучшие советские педагоги читали лекции для старшеклассников, абитуриентов и студентов по различным областям. Я в основном слушал физику и математику. Как дополнения к лекциям в Политехническом музее. Математику, как мне помнится, читал только Сканави. Язык его ясный и сочный, дикция великолепная, формулы на доске и чертежи делал блистательно. Ну, а в годы моего студенчества он живьем проводил в институте довольно регулярно коллоквиумы и конференции. Любой желающий мог на них выступать со своими задачами и решениями. Я выступил с задачей о четырех кубах. К тому времени уже нашел в литературе четыре варианта различных формул даже рассказал о своей попытке дать свой вариант. К сожалению, неудачный. Сканави быстро нашел ошибку в рассуждениях и предложил упростить подход. Он обратил внимание на первую модель Рамануджана и посоветовал внимательно к нему присмотреться и "поиграть" похожими схемами, но с иными числовыми коэффициентами. "Думаю, тут есть надежда развить алгебру" - таков был вердикт великого педагога и человека.
    Кстати, В.А.Гаухман помогал Сканави в составлении задачника по математике http://math-portal.ru/izdatelstvo/1105-sbornik-zadach-po-matematike-dlya-konkursnyh-ekzamenov-vo-vtuzy-skanavi-mi.html
    Потом судьба распорядилась так, что Гаухман уехал в Израиль. В интернете я случайно обнаружил краткую стенограмму заседания кафедры высшей математики Московского инженерно-строительного института им.
    Куйбышева от 26 октября 1971 г. ( http://hr2.memo.ru/wiki/3080 )
    Повесткой дня является вопрос о выдаче характеристики в ОВИР сотруднику кафедры - доценту, кандидату физ.-мат. наук В.А.ГАУХМАНУ. Небольшие отрывки из выступлений коллег В.А.ГАУХМАНА не требуют комментариев:
    "Сейчас он совершил антипатриотический антисоветский поступок, достойный самого сурового осуждения. Поступок, несовместимый с высоким званием преподавателя высшего учебного заведения" (зав. кафедрой, проф., доктор физ.-мат. наук С.Я.ХАВИНСОН).
    "Главное в его платформе - национализм. Хорошо известно, что национализм ведет к фашизму и кончается газовыми камерами и крематориями" (В.В.ЗОРИН).
    "Этот поступок перекликается с бандитскими выстрелами по детям в здании советского представительства при ООН" (Л.Я.ЦЛАФ).
    И одна из присутствовавших на собрании: "Я считаю поступок В.А.ГАУХМАНА проявлением принципиальности, честности и гражданского мужества".
    Ответ В.А.ГАУХМАНА: "Я - еврей, хочу жить среди моего народа в еврейском государстве и принять участие в созидательном труде на благо своей родины... Мое сердце и моя совесть говорят мне, что я должен жить и трудиться в Израиле, на своей исторической и национальной родине".
    Решение заседания:
    1. Гневно осудить поступок В.А.ГАУХМАНА как антипатриотический и антисоветский.
    2. Уволить В.А.ГАУХМАНА с работы как идеологически чуждого человека и ходатайствовать о лишении его звания доцента и звания учителя.
    3. Единогласно исключить из членов профсоюза.

    Вот так в мои молодые времена политика грубо и бесчеловечно расправлялась с яркими талантами.
    С Гаухманом я встречался не только на лекциях и практических занятиях. Так однажды случилось, что он увидел мой красивый почерк и попросил помочь написать формулы в рукописи его серьезной книги "О почти комплексных структурах на многообразии касательных векторов". В 1971 году сей труд вышел в свет (http://www.mathnet.ru/links/e1dd44d619dc929cef44dd02891f1027/ivm3862.pdf ). Как ни странно, я многое тогда понял из его довольно сложного исследования.
    Но возвращаюсь к нашей задаче. Стал анализировать структуру Рамануджана. С этой целью составил программу на ЭВМ "Наири-2". Целую неделю допотопная машина крутила мою программу, но ничего, кроме рамануджановских коэффициентов так и не выдала. То есть ничего, кроме такого:

    (31b. первая модель рамануджана)


    Тогда мне пришла в голову мысль рассмотреть несколько иные модели. После месяца мучительных поисков пришла долгожданная удача. Я нашел еще три модели, в причем в каждой из них не одно, а несколько вариантов. Вот вторая модель:

    (32. решение 2 александрова)


    Здесь структура несколько иная, нежели у Рамануджана. Вот почему по его модели получаем единственное решение, а по второй моей модели вариантов много - это, прямо скажу, - загадка.

    Третья модель тоже дала несколько решений. Привожу некоторые из них:

    (33. решение 3 александрова)


    И, наконец, четвертая модель тоже оказалась плодотворной:

    (34. решение 4 александрова)


    Но несмотря на обилие структур, они все же не охватывают полное множество четверок Эйлера.

    Current Mood: energetic
    Saturday, September 7th, 2013
    10:28 am
    Понравилась фотография Собянина
    Такие вот люди рвутся к власти, пытаются нас обкрадывать
    Набил ссылку, чтобы сразу выходить на анализ Пархоменко: http://cook.livejournal.com/230335.html



    Current Mood: angry
    Wednesday, September 4th, 2013
    7:29 pm
    Картина 2009 года
    Улица Токио. Холст, масло, мастихин. 92 х 150 см 2009 г.

    Thursday, August 22nd, 2013
    11:09 am
    Мои встречи с математиком А.Н. Колмогоровым
    Будучи старшеклассником, я в 1967 году решил закрепить знания математики не при помощи репетитора, а путем посещения подготовительных курсов, проводимых в Политехническом музее, что на Новой площади в Москве. Лекции читали очень хорошие учителя школ, институтов и даже выдающиеся математики. Однажды очередную лекцию провел Андрей Николаевич Колмогоров. Мне он не был знаком, и, честно говоря, впечатления не произвел. Излагал материал сумбурно, сбивчиво, дикция четко не отработана. Речь шла о методе аналогий, о системе понятий и системе решений, из которых я мало что понял. В конце занятия со мной произошел такой казус: я уронил карандаш и никак не мог найти его на полу. Как сквозь землю провалился. В результате все слушатели вышли из комнаты, а я все ищу, недоумевая, куда он мог закатиться. Андрей Николаевич (так он представился нам перед лекцией) поинтересовался, что я тут потерял. Я покраснел и ответил, что карандаш. После он спросил, понравился ли мне урок. Я совсем засмущался, еще больше покраснел, так как пришлось соврать. Он, конечно, все понял, и попросил разрешения полистать мой конспект. Тут нужно отметить мою привычку: писал лекции только на нечетных страницах, а оборотные стороны оставлял пустыми. Так мне советовала мама. Потому что иногда возникали вопросы, новые мысли, рассуждения по теме, а порой и вовсе из другой области. Для этого четные страницы оказывали важную услугу. Как раз эти страницы и привлекли внимание Андрея Николаевича. Там были записи моего наивного "доказательства" теоремы Ферма, попытки разработать способы построения магических квадратов, различные преобразования уравнения Эйлера с четырьмя кубами и многое другое. Последняя из названных проблем в то время меня больше всех интересовала. С какой-то книги я выписал следующее решение:





    Лектор, вдруг заулыбался, просветлел и неожиданно предложил пойти к нему домой со словами: где-то у меня есть нечто похожее: кажется, в письмах Линника. Я, естественно, ничего не понял, но любопытство взяло свое и согласился. Совершенно не помню, как и на чем добирались, но вот мы у него дома(подъезд корпуса "Л" здания Московского университета кв.10). В кабинете огромная библиотека, на столе кипа журналов и печатная машинка, на диване листы, листы и листы. Андрей Николаевич вытащил из ящика стола внушительную кипу писем. У меня глаза разгорелись, когда увидел на конвертах красочные марки с иностранными буквами. Про себя подумал: хорошо бы иметь их и собрать для коллекции эти перфорированные прямоугольнички! Наконец, он нашел нужный конверт протянул мне. Прочитал на нем: от Линника Юрия Владимировича. Вытащил длинное письмо на трех листах. И где-то в середине увидел действительно похожие выражения:



    - Видишь, заметил лектор, - почти одно и то же, но степени побольше в два раза.
    Я попросил разрешения переписать формулы в свою тетрадь, что с волнением и сделал. Благо, писал авторучкой с открытым пером (естественно, китайской), которую Андрей Николаевич мне любезно одолжил. Правда, позже (уже у себя дома) обнаружил, что допустил две опечатки в двух последних формулах и это мне стоило больших потуг с целью восстановить структуру выражений, при которых уравнение Эйлера строго соблюдалось.
    На другой странице оказались еще две серии решений задачи о четырех кубах, но значительно более закрученные и непонятно как выведенные:





    Их я списал более внимательно опечаток, к счастью, не сделал.
    -Вот что, молодой человек, - уважительно сказал Андрей Николаевич, - проверьте правильность решений, попробуйте выяснить, являются ли формулы достаточными, чтобы выявить все четверки Эйлера, или же они покрывают только часть множества числовых вариантов. И еще: чем бы вам хотелось заниматься в сфере математики?
    Я ответил, что пока не определился и пробую рассматривать несложные для понимания, но еще нерешенные проблемы. Например, проблему Гольдбаха. Еще пытаюсь выяснить: существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение.
    Лектор лишь усмехнулся и пожелал успехов.
    Только спустя некоторое время я узнал, что судьба свела меня с двумя великими математиками: Андреем Николаевичем Колмогоровым и Юрием Владимировичем Линником. Более того - они определили мое хобби на всю жизнь, так как серьезно увлекся задачей о четырех кубах. Вот уж сорок шесть лет она не дает мне покоя.
    Вторая встреча с Колмогоровым произошла уже в студенческие годы. Волей судьбы я оказался на лекции в МГУ. Было это примерно в 1971 году. Колмогоров популярно рассказывал о результатах нововведения в школьных учебниках и о журнале "Квант". После лекции я осмелился к нему подойти. Надо сказать, что у Колмогорова была прекрасная память и он сразу меня узнал, даже вспомнил дату нашей первой беседы у него дома. Я ему признался, что сильно увлекся уравнением Эйлера и нашел несколько вариантов, похожих на квадратичные представления Рамануджана. К сожалению, черновики я с собой не взял, и беседа наша ограничилась лишь общими фразами. Он предложил опять встретиться на днях у него дома, но обстоятельства не сложились и больше мы не встречались. Зато я часто его видел по телевизору и читал статьи в средствах массовой информации.

    Current Mood: energetic
    Friday, August 2nd, 2013
    5:48 pm
    Критерий кладки, как пример соответствия математики и физики
    Лауреат Нобелевской премии Юждин Вигнер определил математику как "науку о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями". В физике же все значительно сложней. Великие законы Ньютона, проверенные практикой на Земле, оказались совсем не всеобщими, если выйти далеко за ее пределы - в бескрайний космос. По мнению Вигнера, нахождение полного соответствия математического представления и какого-либо физического наблюдения есть счастливое чудо. Эта важная мысль стала лейтмотивом всей моей научной деятельности, начиная с 1970 года, то есть когда я прочитал в оригинале книгу Вигнера "Симметрия и отражения. Научное эссе". Тогда я занимался кладками из блоков-параллелепипедов, применявшихся испокон веков, например, при возведении знаменитых египетских пирамид.
    Коротко суть проблемы. Кладки, как правило, выполняют из блоков одинаковой высоты горизонтальными слоями или курсами. Это и понятно: достаточно посмотреть на обычную кирпичную стену. Перекрытия швов между курсами необходимы для повышения монолитности всей структуры, а это вынуждает использовать блоки не одного типа-размера, а двух, трех и более видов, причем разного веса. Так, в египетских пирамидах встречаются блоки весом от 2.37 т. до 4.3 т. (http://www.globalfolio.net/uroboros/Africa/heops2.html). Существуют также ограничения по соотношениям размеров каждого блока. В частности, они не должны быть слишком длинными, ибо тогда будем иметь уже балку. Встает вопрос: как же проектировать кладки, состоящие из сотен элементов? Обычно, это делают методом проб, то есть составляется приблизительный эскиз планов курсов кладки и далее производится уточнение форм блоков. Ведь помимо допустимых соотношений их габаритов и перекрытий швов, необходимо, чтобы вес каждого элемента не превышал возможности подъемного крана, выдерживались общие габариты всего сооружения и многое другое.
    Итак, можно уверенно констатировать: при решении столь важной практической (а значит, и физической) задачи математика молчала. Попытки исправить положение, конечно, были, но носили они слишком частный характер. Например, причальная стенка Солодовникова и Аладьева ( http://www.findpatent.ru/patent/9/98774.html ). Для нескольких случаев авторы изобретения составили типовые проекты, по которым были построены причалы в морских портах страны.
    Еще учась на втором курсе института, я проявлял желание заниматься серьезно наукой, выступать на конференциях, публиковать статьи. Один из преподавателей Глеб Николаевич Смирнов настоятельно рекомендовал заняться проблемой, которую я только что обрисовал. Задача мне понравилась своей кажущейся простотой, однако было совершенно неясно, как к ней приступить. После нескольких попыток формализации пришла идея создать математическую кладку. То есть попытаться решить задачу по оптимальному раскрою прямоугольника на более мелкие прямоугольники. Я взял тетрадь в клетку, совершенно от фонаря начертил прямоугольник с размерами 7 на 21 клеток и разбил его на семь прямоугольников размерами 7 на 3 :



    Это показано на верхней части рисунка - то есть предположил, что создан первый курс кладки, если на него смотреть сверху. Второй курс в плане показан на нижней части рисунка. Он был мной сформирован из тех же прямоугольников 7 на 3 в количестве трех штук и четырех прямоугольников с габаритами 5.25 на 4 . Тут-то меня осенило! Математической кладкой следует считать такой раскрой прямоугольного элемента из более мелких прямоугольников, при котором все размеры выражены целыми числами. В примере один из габаритов оказался дробным и чтобы избавиться от дробности, достаточно все габариты умножить на четыре. В результате получим красивую математическую кладку:



    Здесь для наглядности оба курса совмещены. Мы видим - нигде швы между блоками не совпадают, а в габариты 84 на 28 вписываются прямоугольники 28 на 12 и 21 на 16 . Но чудеса продолжались - при подсчете площадей двух видов прямоугольников оказалось, что они равны! Данный факт означал одно: сбылась вековая мечта проектировщиков волноломов, пытавшихся проектировать секции из блоков одинакового веса. В самом деле:

    28 x 12 = 21 x 16 = 336

    Я начал лихорадочно строить другие варианты математических кладок. Анализируя их, открыл для себя неожиданную закономерность: структуры из двух видов прямоугольников равной площади получаются только в тех случаях, когда в основе всего лежат три попарно простых целых числа. Например, для рассмотренного варианта это числа 3, 4, 7 . Дальше - больше. Оказалось, что среди всех попарно простых чисел встречаются совершенно особые, названные мною А-числами . Отталкиваясь от них можно получать по три вида симметричных кладок . Здесь не буду особо распространяться, а сошлюсь на мое интервью http://lj.rossia.org/users/renuar911/2161.html . Короче, была разработана красивая математическая модель кладок, которые я назвал магическими. Но это только первая часть общей задачи. Предстояло увязать математические кладки с реальными или физическими кладками , то есть, говоря словами Вигнера, совершить счастливое чудо.
    Тут я вспомнил про число Рейнольдса, являющееся критерием подобия течения вязкой жидкости. Ученый получил его экспериментально, проведя изнурительную серию опытов с различными жидкостями, однако вскоре было показано, что его можно вывести и теоретически из законов механики Ньютона и уравнений классической гидродинамики. Очень важно отметить, что критерий этот безразменый.
    Я понял, что ключиком к решению моей проблемы является тоже некий безразмерный критерий. Стал выявлять основные характеристики физических кладок. Среди них ширина и длина сооружения, высота блоков, плотность материала, из которого они сделаны, размеры перекрытий швов, предельно допустимый вес одного блока... Далее стал конструировать задуманный критерий. Было несколько вариантов, но остановился на одном, который показался мне логичным и компактным:



    Как же этот критерий увязать с математической кладкой? Тут на помощь пришли численные расчеты на ЭВМ, которые только-только начали появляться в организациях. Совершенно случайно я вдруг обнаружил, что абсолютно тот же критерий получается, если он выражается в виде:



    В итоге мне удалось замкнуть задачу:



    Например, для приведенного выше примера



    Данному безразмерному критерию соответствуют миллионы вариантов реальных кладок. Тут уж богатейший простор для проектировщиков-оптимизаторов. Например, будут подходить такие параметры:

    B=6.5 м ; h = 2.3 м ; плотность бетона 2.4 т/м 3 ; G=100 т

    Габариты блоков:
    6.5 x 2.78 x 2.3 м
    4.87 x 3.71 x 2.3 м

    Самое интересное - из тех же блоков можно скомпоновать совершенно другую - уже симметричную кладку. Ее размеры довольно внушительные и выглядит она сверху так:



    Габариты структуры: 84 x 188



    Одесса
    19 мая 1972 г.
[ << Previous 20 ]
About LJ.Rossia.org