| Апостериорная Аналитика Аристотеля альфа 6: как начать доказательство? |
Jul. 30th, 2020|10:38 am |
Тут всем начинающим математикам дают бесценные советы о том, как начинать доказывать теоремы вида "для всех $A$, таких что $B$, верно $C$" или формально $\forall A \; . \; B \Rightarrow C$. Сами эти советы основаны на разработанной Аристотелем теории силлогизмов. О ней я предпочел не рассказывать, так как счел ее бесполезной. Поэтому не буду концентрироваться на деталях, а постараюсь своими словами изложить суть дела.
Для начала необходимо определиться с тем, каким априорным знанием будем пользоваться при доказательстве теоремы. А именно с предпосылками, аксиомами и набором уже известных фактов, которые можно было бы уже использовать в доказательстве. Причем, 'уже известный' значит не широко-известный или известный кому-то, а значит те, для которых сами знаем доказательства (причем построенные на одних и тех же аксиомах). Только факты, снабженные формальным доказательством, можно считать научным знанием. А кто этому правилу не следует, тот софист, а еще Сократ завещал всех софистов кормить говном. Аристотель также верно замечает, что если из какого-то факт вытекают верные выводы, то это еще не делает его верным.
Что же касается аксиом и предпосылок, то они не должны быть доказаны или даже истины. Но в процессе доказательства их необходимо предполагать истинными. Однако в конце нашего доказательство то, что делались предположения, необходимо учесть в форме самой теоремы. То есть, для примера в первом абзаце получим логическую форму
$$\mathcal{A}, a : A, B(a) \vdash C(a) ;$$
где $\mathcal{A}$ пусть обозначает множество аксиом, а $a : A, B(a)$ — наши предпосылки. От себя добавлю, что во время доказательства можно делать сколько угодно предположений, чего древние силлогисты не понимали. Это довольно удобно и так можно строить вспомогательные импликации, универсальные утверждения и даже определять новые функции. Все зависит от того, как заканчивается логический вывод после предположения. Однако, нужно всегда помнить, что делая какое-то предположение мы строим сложную логическую формы, а не доказываем вывод напрямую. Например, если мы предположим, что человек Ваня родился 1000 лет назад, то мы можем сделать вывод, что Ваня уже умер, так как люди столько не живут. Так вот, тут мы построили соответствующую импликацию (Вани больше 1000 лет $\Rightarrow$ Ваня умер), а не доказали, что Ваня умер. Но это и так должно быть очевидно и понятно.
Также Аристотель определенно говорит, хотя и очень коряво, что доказательство универсального утверждения это функция, которая сопоставляет каждому конкретному представителю $a$ и конкретному доказательству $B(a)$ какое-то доказательство конкретного факта $C(a)$. Поэтому к написанию доказательств можно подходить также как к написанию программ или алгоритмов. |
|