Пес Ебленский - Метрическая аффинная геометрия Э. Снаппера и Р. Джей. Троера [entries|archive|friends|userinfo]
rex_weblen

[ website | Наши рисуночки ]
[ userinfo | ljr userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| update journal edit friends fif tiphareth recent comments ]

Метрическая аффинная геометрия Э. Снаппера и Р. Джей. Троера [Oct. 4th, 2020|06:56 pm]
Previous Entry Add to Memories Tell A Friend Next Entry
[Tags|, , , ]
[Current Mood | anxious]
[Current Music |Sorrow Expert - Когда тебе двадцать]

http://libgen.rs/book/index.php?md5=858DF78386F4F7A9BBDF8697C840E348

Не так давно открыл для себя заглавную книгу. Для меня это идеальный учебник аффинной геометрии. Конечно, есть популярные у нас по этой теме книги Прасолов, Кострыкин-Манин, а также курс Городенцева. Но изложение Снаппера и Троера мое любимое, так как тут в наименьшей степени присутствуют связи со школьным курсом геометрии, и в наибольшей степени с курсом абстрактной алгебры. Возможно, старшекласснику или первокурснику с матшкольным бакграундом это не подойдет, так как в качестве пререквизитов требуется знания примерно одного семестра абстрактной алгебры (но это все зависит от программы, но все равно, чем больше известно абстрактной алгебры, тем проще будет читать эту книгу). Однако, я к этой группе людей не отношусь, поэтому меня в большей степени интересуют связи с другими разделами математики, а не возможность использовать хорошее знание школьной программы.

Я пока прорешал первую из трех частей этой книги, где речь идет собственно про обычные аффинные пространства. Аффинные пространства тут определяются как множества, на которые сдвигами действует левый модуль над телом. В таких пространствах нет места измерению расстояний и углов, а есть только концепция параллельности. Такое определение позволяет говорить сразу, например, про кватернионовые аффинные пространства. Но пока основным отличием таких пространств становится лишь то, что гомотетии могут менять отношения длин параллельных отрезков. Тут же вместе с коэффициентами растяжения сразу появляются точные последовательности и разговоры про структуру групп. Из интересных вещей, отсюда я узнал, что теорема Паппа, то есть у вырожденного шестигранника параллельность двух пар противоположных сторон влечет параллельность оставшейся пары, выполняется в аффинной плоскости тогда и только тогда, когда ее тело поле.

Дальше идет большой раздел про метрические векторные пространства, то есть про ортогональные и симплектические пространства. Тут уже можно рассматривать все темы связанные с длинной и углами. Из общей направленности этой книги я жду увидеть здесь анализ групп O(n) и Sp(n). Сами Авторы пишут, что тут они пересказывают Геометрическую Алгебру Атина с уклоном в геометрическую составляющую. Теорема Вита и все такое. С этими материалами я в определенной степени уже знаком. Интересно, как вся школьная тригонометрия тут конструируется из действия группы O(R,2). Есть еще третья часть, собственно про метрическую аффинную геометрию, где материал двух предыдущих разделов сливается вместе.

Такой подход к изложению геометрию в противовес синтетическому, когда все свойства пространства задаются через отношение инцидентности и связанные с ним аксиомы, а также аналитическому, когда на первое место выходят записанные в координатах формулы, я назвал бы структурализмом. К подобному структурализму я бы отнес работу большинства знаменитых Бурбаков. И именно такой подход к математики для меня наиболее привлекателен. Как замечают сами авторы этого опуса, сложность классического изложения евклидовой геометрии заключаются в том, что все свойства поля выводятся из наглядной геометрии. Но при структуралистском подходе, это поле и соответствующие ему векторные пространству просто пристегиваются к геометрии, как нечто внешнее и уже изученное. На мой взгляд, это значительно упрощает изложение. А проблема аналитического подхода как раз в занудных вычислениях в координатах. Эти вычисления, опять же по моему опыту, не нужны во многих ситуациях при достаточном знании той же алгебры.

Главным недостатком сами авторы называют отсутствие глав про проективную геометрию. И тут я с ними полностью согласен. Очень был бы рад, если бы вы мне посоветовали бы мне книг по этой науке, написанных в таком же алгебраическом стиле.
LinkLeave a comment

Comments:
From:(Anonymous)
Date:October 5th, 2020 - 03:40 pm
(Link)
у хуйнера тоже есть книжка по математике. в кабинке кто-то оставил
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:October 5th, 2020 - 06:41 pm
(Link)
У меня их много