Пес Ебленский - Классическая логика высказываний [entries|archive|friends|userinfo]
rex_weblen

[ website | Наши рисуночки ]
[ userinfo | ljr userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| update journal edit friends fif tiphareth recent comments ]

Классическая логика высказываний [Dec. 26th, 2022|12:48 am]
Previous Entry Add to Memories Tell A Friend Next Entry
[Tags|, , ]
[Current Mood | awake]
[Current Music |Felt - Ignite the Seven Cannons]

Теперь апдейт про матлогику.

Замечательный юзер [info]phantom напомнил мне про ресурс https://www.logicmatters.net/tyl/. Кроме всего прочего там есть много рекомендаций по литературе. Я их уже видел, но теперь решил взглянуть на них новым взглядом. Главное, что я для себя вынес оттуда. Это книги Хинмана и Кай. Обе книги я бы отнес к категории пост-модернистской. Отличие между ними в том, что Хинман это талмуд на 800 с лишним страниц где затронуто очень много всего. Кай это довольно короткая книга. Я не думаю, что весь материал из Хинмана можно покрыть за один или даже два семестра и что он будет понятен людям, знакомящимся с логий первый раз. Кай, напротив весьма компактен. Если бы мне надо было прочитать курс студентом по матлогики, то я взял бы его за основу. Другая литература, которую я не упоминал в прошлом посте, это "простые учебники для философов". Куда можно отнести и Питера Смита с Logic Matters, Chiswell and Hodges и тому подобное. Думаю их главная ценность как раз в разных отступлениях, интерлюдиях, где объясняются всякие базовые вещи, на которые в более серьезных математически-насыщенных книгах не остается места.

Я начал свое путешествие с логики высказываний. Это очень простой раздел матлогики. Почему, надеюсь будет понятно дальше. Это решение было обусловлено тем, что у Белла это первая глава. Некоторая странность в его изложение заключается в том, что пропозиционная логика рассматривается как часть логики первого порядка, поэтому это довольно сложная структура, а не просто набор высказываний. А для этой структуры можно уже определить пропозиционный язык, который даже будет тем же множеством строк, что и язык первого порядка. Отличая будут в правилах вывода.

Белл пользуется конструкцией логики высказывания Лукашевича. Там всего две логические связки, отрицание и следование. Еще есть квантор всеобщности, но он ничего не делает. Поэтому все легко доказывается по индукции. Для логического вывода Белл предлагает использовать метод аналитических деревьев. Он отрицательный в том смысле, что строит опровержения, а не доказательства утверждений. Поэтому чтобы доказать утверждения, нужно построить аналитические деревья для его отрицания. На мой взгляд этот метод хорошо соответствует тому как работает человеческое мышление. Другой метод это вывод из аксиом. Белл пользуется аксиомами Лукашевича и правило вывода Modus Ponenens. Это всего три аксиомы, выраженные через следование и отрицание. То что аксиом всего три, это удобно для доказательств, но их смысл может быть не очень интуитивно понятен. В целом у Белла достаточно идей, чтобы написать программу типа пруф-ассистент или прувер с помощью аналитических деревьев. Но мы этого делать не будем.

Когда я первый раз изучал логику, я большое внимание уделял ловкому формальному ручному выводу (исчислению). Но сейчас, я понимаю, что это было не правильно. Логика высказывания намного важнее как полигон для испытаний концептуальных вещей, которые становятся более сложными для других логик. Тут, наверное, начать можно с семантика. Семантика в логике заключается в построение булево-значных, истинностных означений или валюаций. Если валюация всегда истина на каком-то множестве предложений, то такую валюацию называют моделью этого множества. А множество всех предложений, для которых валюация принимает значение "истина" называют теорией этой валюации. Через валюации определяется отношение тавтологического следования: Говорят, что $\Phi \models_0 \Psi$ если множество моделей $\Psi$ включает в себя множество моделей $\Phi$. Есть родственное понятие $\Phi \vdash_0 \Psi$, которое означает возможность формального вывода любого высказывания из $\Psi$ из аксиом и высказываний из $\Phi$. Это второе отношение называется доказуемостью. Рыбаков из вышки говорил, что их можно понимать как модальности типа "должно быть истинно" и "можно доказать".

Главный результат логики высказываний в том, что эти отношения эквивалентны. Это и называется теоремой о полноте и непротиворечивости логики высказываний. Только это результат неконструктивный, и он эквивалентен лемме об ультрафильтрах. Хинман тут копает особенно глубоко. Он переносит упор на компактность пропозиционной логики: любое утверждение, которое тавтологически следует из какого-то множества высказываний, тавтологически следует и из какого-то конечного подмножества.
Хинман приводит много способов доказать компактность логики высказываний. Первый из них это ультра-произведения. Я уже писал, что ултрафильтры это выбор в отсутствии выбора. И ультра-произведения позволяют с помощью ультрафильтра выбрать значения семейства истинностных валюаций и получить общую валюацию. Другой путь это собственно топологическая компактность множества истинностных валюаций как подмножества пространства типа $\{0,1\}^I$. Еще, если факторизовать множество высказываний по отношению "тавтологически следует эквиваленция из $\Phi$", то мы получим булеву алгебру Линденбаума. Тогда, как я понял, множество моделей $\Phi$ эквивалентно пространству Стоуна этой алгебры. И тогда компактность логики высказываний эквивалентна компактности пространств Стоуна этой алгебры.

Еще Хинман движется в сторону большей абстракции. Он даже вводит отдельную теорию понятий непротиворечивости. Она нужна ему для того, чтобы доказать интерполяционную теорему Робинсона. Эта теорема утверждает, что если есть два непротиворечивых множества высказываний, вместе которые становятся непротиворечивыми, то можно построить формулу в терминах общих для этих теорий такую, что из первой теории тавтологически следует эта формула, а из второй ее отрицание. Это я тоже хотел отметить.

В целом мы видим, что логика высказываний очень проста. Нет смысла сравнивать между собой разные пропозиционные языки. Имеет смысл только сравнивать разные формулы и их множества. Поэтому можно представить, что есть один универсальный язык высказываний (хотя это и не очень правильно). Поэтому теорию категорий тут пока применять особо негде.
LinkLeave a comment

Comments:
From:(Anonymous)
Date:December 26th, 2022 - 08:41 am
(Link)
говно для пидоров. нужно ебать хохлов
From:(Anonymous)
Date:December 26th, 2022 - 09:50 am
(Link)
in tifaretnik, khokhols fucks you
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:December 26th, 2022 - 06:43 pm
(Link)
Make love, not war!
From:(Anonymous)
Date:December 26th, 2022 - 10:05 am
(Link)
https://www.goodreads.com/en/book/show/1444495.Freedom
From:[info]phantom
Date:December 26th, 2022 - 10:13 am
(Link)
Благодарю!
From:(Anonymous)
Date:December 26th, 2022 - 10:51 am
(Link)
теперь ты тоже пидор, с чем я тебя и поздравляю
From:(Anonymous)
Date:December 26th, 2022 - 06:08 pm
(Link)
почему теперь? всегда был!