| Приложения бессмысленной топологии к осмысленной |
Mar. 5th, 2024|10:02 pm |
  
Я продолжал изучать бессмысленную топологию.
Спектральные пространства
В процессе обнаружилась связь этого предмета с такой темой как спектральные пространства. Тут спектральные пространства это пространства состоящие из простых идеалов решеток, топология на котором задается просто всеми идеалами. Такое пространство называется спектром решетки. Можно еще взять максимальные идеалы с топологией подмножества, и тогда получится максимальный спектр. У топологии спектров есть интересное свойство, а именно то, что она порождается открытыми компактными множествами. Это на самом деле довольно очевидно, потому что в случае спектров такими множествами будут просто главные идеалы. топологические пространства с таким свойством называются когерентными. Можно доказать, что категория когерентных локалей эквивалентна категории дистрибутивных решеток.
Основные интересные результаты, которые мне тут запомнились, это то, что решетка будет нормальной, если каждый простой идеал содержится в единственном максимальном. Нормальность этот свойство решёток, которая соответствует аксиоме отделимости T4. И еще мне запомнился критерий Нахбина, что дистрибутивная решетка будет булевой алгеброй тогда и только тогда, когда все ее простые идеалы максимальны. Я немного порассуждал о структуре нормальных решеток: На идеалах можно ввести отношения эквивалентности, что два идеала, рассмотренные как открытые множества, cовпадают в пересечении с максимальным спектром. Тогда, очевидно, каждый этот класс эквивалентности замкнут под операциями объедение и пересечение. Тогда, очевидно, что в таком классе есть максимальный элемент, объединение всех. Но если решетка была нормальной, то ее максимальный спектр будет непрерывной ретракцией простого спектра. М если взять прообраз под ретракцией, то можно получить минимальный идеал в соответствующем классе эквивалентности. Получается, что спектральная топология нормальной решетки, это большая локаль составленная из маленьких локалей в форме локали.
Для каждого такого класса можно рассмотреть элементы, которые лежат в максимальном идеале класса, но не лежат в некоторых других. Я бы по аналогии с пространствами Бэра назвал бы такие элементы тощими. Они являются преградами к тому, чтобы дистрибутивная решетка была булевой алгеброй. Можно попробовать их выкидывать в попытки превратить решетку в булеву алгебру. Я доказал, что такая операция сохраняет дизъюнкции, но не конъюнкции, а также сохраняет центральные элементы. Поэтому можно получить булеву алгебру, которая больше центра исходной решетки.
Я нашел еще относительно новую книгу, где довольно много справочной информации по спектральным пространствам. Но про Локали там появляется довольно поздно, поэтому особо читать не планирую. Но полезно знать, где по этой теме много информации. Интересно, что двое авторов занимаются действительной алгебраической геометрией, а третий теорией моделей. Это говорит о том, что связь этих спектров, со спектрами из алгебраической геометрии. А дело в том, что существует функтор, который превращает дистрибутивную решетку в коммутативное кольцо. Его придумал Джан-Карло Рота. Потому есть определенная двойственность между разными классами решеток, коммутативных колец и топологических пространств. Похоже методы, основанные на этой двойственности, не особо применяются для "красивой алгебраической геометрии" над полем C, но могут применятся для уродливой над полем R.
Компактные Хаусдорффовы Пространства
Для локалей можно определить большинство свойств топологических пространств. С компактностью всю просто. А вот с аксиомами отделимости все становится очевидней и очевидней чем они выше. Есть аналоги большинства базовых теорем и Конструкций общей топологии. Типа теоремы Тихонова и компактификации Стоуна-Чеха. Пультр и Пикадо подробно пишут про это. Но я не хочу очень сильно в это углублятся.
Джонстон использует доказанные результаты про Локали, чтобы определить дискретную компактификацию Стоуна-Чеха. А потом показывает, что этот функтор порождает категорию компактных Хаусдорффовых пространств как категорию своих алгебр. Это теорема Мэйнса. Это говорит, что категория компактных Хаусдорффовых пространств является алгебраической. То есть в любой категории с произведениями можно собрать свой объект Компактное-Хаусдорфово пространство. Грубо говоря, это будут те объекты исходной категории, где как-то можно брать пределы по ультрафильтрам, поэтому может быть совсем не похоже на обычные топологические пространства. Эта операция взятия предела, типа выбора сходящейся подпоследовательности на компакте и вычисления ее предела в элементарном анализе, только теперь это гомоморфизм. Я раньше часто натыкался на эту теорему Мэйнcа в других книгах, и решил, что это знак, что не него стоит обратить внимание. У Мэйнса, оказывается, еще была книжка про алгебраические теории.
Потом Джостон развивает успех теоремы Мэйнса и доказывает теорему Глисона. Эта теорема говорит, что проективные объекты в категории компактных хаусдорффовых пространств это крайне несвязные пространства. Через двойственность Стоуна это ведет к результату, что инъектиные объекты в категории булевых алгебр это полные булевы алгебры. Из существования минимального проективного накрытия в категории компактных хаусдорффовых пространств можно доказать, что у каждой булевой алгебры есть пополнение с универсальным свойством. Такое пополнение называется пополнением МакНила, и может быть построено после некоторой дополнительной работы для любого упорядоченного пространства.
Еще одна тема, которой касается Джонстон это Локали Виториса. Топология Виториса это топология на множестве компактов, которая обобщает топологию метрики Хаусдорффа. Если пространство хаусдорффово и компактно, то топология Виториса это то же самое, что и топология на множестве открытых множеств. Джонстон пользуется этим, чтобы синтетически сконструировать локаль Виториса, и доказывает так, что эта конструкция будет компактной и регулярной. В итоге получается эндофунктор, а на самом деле монада. И спойлер в том, что алгебрами этой монады будут т. н. непрерывные решетки.
В целом я очень доволен Джонстоном, что взялся за изучение этой темы. Мне раньше уже казалось, что большой кусок общей топологии можно построить через теорию категорий и решетки. И я наконец-то нашел книгу, где все это проделано. |
|