| Бессмысленные антуражи и квази-равномерность |
May. 7th, 2024|05:28 pm |
 
Перед тем как переходить к новым темам, я решил, что нужно закрыть все, что осталось у Пикадо-Пультра про равномерные локали.
Метрическая структура и метризация. Тут метрика ведет себе как действительно-значная валюация элементов локали. Это типа диаметр. Поэтому можно было бы говорить не про метризацию, а диаметризацию. Меня зацепило то, что если взять в качестве локали взять алгебру вероятности, то у вероятность будет удовлетворять аксиомам диаметра. Но других хороших свойств диаметра у нее не будет ели исходное вероятность не состоит из одних атомов. Поэтому на эту тему я почти не тратил внимания.
Антуражи. Равномерную структуру придумал Андре Вейль. И в своей работе он определял ее как фильтр рефлексивных отношений, которые он называл антуражами, на множестве такой, что обратный к любому антуражу снова содержится в равномерной структуре, и что для любого антуража из структуры можно достать другой, но такой что его композиция с самим собой содержится в первом. Иногда антуражи еще называют коннекторами. Это определение без труда переносится в безточеную топологию. Но теперь антуражи, это просто элементы квадрата исходной локали, такие что элементы, квадраты которых в антураже, покрывают исходную локаль. И определения равномерной структуры получается дальше так же как у Вейля.
Отрадно, что как показывают Пикадо-Пультр антураж можно определить чисто категорным языком. Можно пойти дальше и чисто категорно определить и равномерную структуру. И это можно сделать на большом количестве разных категорий. Ив Андрэ тоже про это писал, но кажется только сейчас понял содержание этой конструкции. Ив Андрэ писал, что равномерные объекты можно задать на любой категории со степенями. Но когда речь заходит о каких-либо результатах он почему-то сразу предполагает, что мы находимся в "хорошей категории, такой как категория групп или топос". Мне кажется, что равномерные объекты имеет смысл определять для регулярных категорий. Дело в том, что в регулярных категориях можно определять отношения объектов как объекты самой категории, и они ведут себя более-менее предсказуемо. Например, отношения будут подобъектами произведений соответствующих объектов и их композиции будут оставаться подобъектами. А в произвольной "категории cо степенями" это доказать кажется нельзя, хотя можно и определить отношения.
Однако, я понял, что чисто категорное определение грубее чем-то, которое использует Пикадо-Пультр, потому что не каждый подобъект квадрата с необходимыми свойствами будет открытой подлокалью. Однако, Андрэ пишет, что такая конструкция используется в еще более диком контексте, в теории представлений, где кто-то использовал равномерные представления групп. Категория представлений групп, кстати, будет регулярной. Я также понял, что если в регулярной категории есть терминальный объект, то там можно определить и полноту с пополнением. Понятно, что единственность пополнения следует сразу из универсального свойства. А вот вопрос в каких категориях выполняется теорема про существование пополнения? Мне кажется, что оно должна существовать в топосах, куда всю конструкцию можно импортировать, используя внутренний язык топоса. Но кажется, что это не очень интересно.
Квази-равномерность. Идея тут довольно простая. Если убрать из определения равномерной структуры условия замкнутости под транспозицией, то вроде как получается более широкий класс структур. Зачем это нужно не очень понятно. Но Ив Андрэ использует именно пополнения квази-равномерностей для своих p-адических дифференциальных уравнений. Сам Ив Андрэ пишет, что квази-равномерности нельзя выразить через покрытия. Но Пультр-Туки пишут про то, что правильное обобщение определения через покрытия для квази-равномерностей это так называемые парные покрытия. То есть системы состоящие из пар множеств пересечения которых образуют покрытия. Причем квази-равномерность задает не одну, а сразу три топологии. Это так называемые правая и левая топология и их джоин. Такие объекты назывют би-топологическими пространствами или би-пространствами, а наука, которая их изучает называется асимметричной топологией. Говорят, что с помощью квази-равномерности можно задать любую топологию, что не верно для простой равномерности.
Плохо, что Пикадо-Пультр ничего не пишет про пополнения квази-равномерных пространств. Для того, чтобы разобраться с этим вопросом я достал другую книжку, посвященную чисто квази-равномерностям. И тут меня накрыло. Оказывается, что ни теоремы о единственности пополнения, ни существования для квази-равномерных пространств не выполняются. Но, кажется. они выполняются для некоторых хороших классов квази-равномерных пространств. Ив Андрэ пишет, что для локально квази-компактных пространств существует довольно простая конструкция пополнения Кюньси, которой он пользуется. Но для начала нужно разобраться с тем, что такое локальная квази-компактность.
Для многих равномерные структуры и бесточечная топология — это уже экзотика. А бесточечная квази-раваномерность и пополнения относительно нее — это уже какая-то крайняя экзотика. То есть можно представить себе, что я шел по тундре, а сейчас уперся в ледовитый океан. А нужного снаряжения, чтобы плыть на льдине у меня нет. Наверное, в таком случае стоит повернуть. |
|