Теории Галуа.
Aвторы: Франсиc Борсьё, Джордж Джанелидзе;
дата издание 2001 год
Я уже неделю как закончил разбирать эту книгу. Последния глава этой книге посвящена так называемой негалуасовой теории Галуа, или тории представлений Галуа без усовия Галуа, или просто теории Галуа-не-Галуа. Основным результатом в этой теории можно считать теорему Джояля-Тирни для топосов. Именно она и привлекла мое внимание к этой книги. Общее ощущение, что это взрыв мозга от уровня абстракций. Не уверен, что смогу это где-то применять. Но все равно интересно прочувствовать предел своих возможностей.
Чтобы понять содержание этой теории для начала нужно определить, что такое внутренняя предкатегория в категории. Это примерно то же самое, что и внутренняя категория, но с чисто алгебраическими условиями. То есть внутренняя предкатегория это три объекта: объект объектов, объект морфизмов и объект потенциальных композиций; C cоответствующмми операциями между ними и отношениями между этими операциями. Для любого объекта категории можно построить дискретную предкатегорию, где все объекты будут этим самым объектом, а все морфизмы будут тождественными. Для любого морфизма в исходной категории можно определить разложение через предкатегорию, в том смысле, что любой морфизм поднимается до морфизма между дискретными предкатегориями, а и это поднятие должно раскладываться на эпиморфизм и мономорфизм в категории внутренних предкатегорий с какой-то промежуточной предкатегорией.
Для (контравариантного) мета-функтора из данной категории в мета-категорию категорий и внутренней предкатегории можно построить категорию внутренних предпредпучков. Для такого мета-функтора эффективным спуском между двумя объектами исходной категории называется морфизм с предкатегорным разложением, такой что первая часть разложения поднимается до эквивалентности категорий соответствующих внутренних предпучков. Если нам даны два мета-фунутора, естественное преобразование этих мета-функторов a: F->G, и морфизм s: X->Y исходной категории, то объект крайней категории F(G), скажем A, называет расщепленным, если существует объект категории F(X), скажем B, такой что a_X(B) изоморфна G(s)(A). Теорема Галуа в этом контексте утверждает, что категория объектов расщепленных эффективных спуском эквивалента категории внутренних предпучков на промежуточной предкатегории.
Теорема Джояля Тирне использует эту теорему Галуа, с данными типа таких: базовая категория — категория топосов Гротендика. В качестве функторов берется забывающий функтор, и функтор отображающий топос в локалический топос его классификатора подобъектов. Естественное отображение — это часть уникального гиперсвязного геометрический морфизма, который всегда существует по определению. В итоге получается, что любой топос эквиваленте как категория категории пучков (этальных предпучков) на открытом локаличестом группоиде. Это и есть теорема Джоядя-Тирни. Я не буду в нее очень глубоко погружаться так как не очень понимаю как ее использовать.
Продалжая эту тему можно прочитать статьи Эдуардо Дубуча про связь теории Галуа и топосов, где в частности изучаются такие свойства как связность топосов. Для любителей некоммутативной алгебры можно порекомендовать книгу Свидлера Hopf algebras and Galois theory |