 
Учебники
Позвольте мне рассказать о моих успехах. Я прочитал несколько глав по коммутативной алгебре, которые я могу объединить под общим названием «геометричная коммутативная алгебра». В основном я пользовался книгой Айзенбуда «Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии». Эта книга обладает незаменимой геометрической интуицией. Однако она не идеальна. Организация материала порой довольно хаотична. В ней часто приводятся продвинутые результаты без доказательств или используются понятия и теоремы, которые будут определены или доказаны лишь через несколько глав. Если бы я преподавал курс коммутативной алгебры, я бы, вероятно, использовал более короткую и простую книгу. Кроме того, иногда для организации занятий я использовал «Коммутативную алгебру» Ферретти. Тем не менее, ни одна другая книга не содержит геометрической интуиции, которая для меня наиболее ценна. Поэтому я часто пропускал технические детали и доказательства, сосредоточиваясь на этой интуиции.
Первой темой, о которой я прочитал, было разложение по примарным идеалам. Определение примарных идеалов в примарных разложений не такое простое и легко может запутать. Поэтому я отошлю вас к справочным текстам. Важный момент заключается в том, что идеалы в примарном разложении имеют ассоциированные простые идеалы. И идеал в примарнои разложении n-й степени простого идеала, ассоциированный исходным простым идеалом, является n-й символической степенью указанного простого идеала. Важно не путать символическую степень с обычной степенью. В геометрическом контексте простые идеалы соответствуют неприводимым замкнутым множествам, и сами простые идеалы — это координатные функции, равные нулю на этих множествах. Тогда, в характеристики 0 символические степени соответствуют множествам координатных функций, для которых все производные степени, меньше n равны нулю.
Следующая тема – это то, что я называю теорией алгебраических уравнений. Эти результаты, как правило, построены вокруг концепции интегральных зависимостей над данным подкольцом внутри даннаого кольца. Ключевыми теоремами здесь являются теорема Гильберта о нулях и теорема Нётер о нормализации. В самом общем виде теорема Гильберта о нулях заключается в том, что конечно порождённая алгебра над кольцом Джекобсона снова является кольцом Джекобсона. Кольца Джекобссона — это кольца, где любой простой идеал выражается как пересечение максимальных. Теорема Нётер о нормализации в наиболее развитой форме утверждает, что для заданных аффинного кольца A и конечной цепочки идеалов можно выбрать набор порождающих A такой, что существует цепочка подкортежей порождающих, порождающих соответствующие частные, причём размеры этих наборов в точности равны размерностям частных. Это похоже на выбор удобной системы координат. Это именно тот результат, который мне был нужен.
Следующую категорию результатов я бы назвал «гладкой коммутативной алгеброй». Хотя это и нестандартное название. Первая группа результатов начинается с концепции ассоциированных градуированных колец. Идея ассоциированного градуированного кольца, по сути, заключается в том, что каждое кольцо подобно кольцу многочленов, если выбрать фиксированный идеал в качестве точки обзора. Это достигается путём рассмотрения частей элемента, принадлежащих n-й степени идеала, но не (n + 1)-й степени, как однородных элементов степени n. Конечно, это, вообще говоря, не изоморфизм. Существует также связанное понятие алгебры раздутия. Что интересно, геометрически ассоциированные градуированные алгебры соответствуют раздутым версиям подмногообразиям, соответствующим данным идеалам, поскольку ассоциированные градуированные алгебры являются факторами алгебр раздутия. Ассоциированные градуированные кольца также могут быть использованы для определения касательных конусов многообразий Зарисского. Это достигается отображением идеала, соответствующиго многообаразия, в начальные отрезки в в ассоциированное градуированное кольцо относительно максимального идеала, соответствего точки многообразия, в котором строится этот касательный конус. Если касательный конус в точке изоморфен аффинной плоскости, то мы можем рассматривать такие точки как гладкие или регулярные. Ключевыми теоремами здесь являются лемма Риса-Атина и теорема Крулля о пересечении.
Следующая тема гладкой коммутативной алгебы касается плоских семейств и слоев алгебраических многообразий. Эти понятия связвны потому что слои оказываются плоскими. Грубо говоря плоскость модуля означает, что тензорное произведение с ним не уничтожает никакой информации. Существует критерий плоскостности A-модуля, согласно которому A-модуль M является плоским тогда и только тогда, когда первый Tor равен нулю для каждого факторкольца A/I для каждого конечно порождённого идеала I (Tor_1^A(A/I,M)=0). По двойственности Серра-Свана конечно порождённые плоские модули являются пучками локально свободных модулей. Поэтому, я думаю, правильная геометрическая интуиция относительно плоских модулей заключается в том, чтобы думать о них как об обобщении модулей тензорных полей (например, векторных полей) над координатными кольцами (просто для наглядности подумайте о гладких функциях на многообразиях) алгебраического многообразия X, а именно самого A. И мы можем связать такие модули с пучками V, по крайней мере, в контексте, когда A является аффинным (но я надеюсь, что эта интуиция работает в общем случае). Таким образом, интуитивно этот критерий говорит, что любой настоящий модуль тензорных полей не теряет локальную информацию при ограничении на подмногообразие.
Наконец, я изучал пополнения и связанные с ними результаты. Если ассоциированные градуированные кольца представляют кольца локально как «кольца многочленов», то пополнения локально соответствуют кольцу с соответствующими разложениями в степенные ряды (I-аддические разложения и I-аддическая топология). Пополнения строятся как обратные пределы частных по степеням идеала (или любой общей фильтрации). Тогда, отображая элементы старого кольца в это новое пополнение, мы получаем нечто вроде разложения элемента в степенной ряд. Полученные кольца являются локальными полными кольцами. Локальные полные кольца очень особенные, поскольку для них выполнятеся лемма Гензеля, которая даёт своего рода алгебраическую версию о теорему об обобщенных функциях и алгебраический вариант метода Ньютона. Эта теорема имеет множество приложений. Другим важным результатом является структурная теорема Коэна, которая показывает, что каждое полное локальное кольцо является фактором кольца степенных рядов. Это кольцо степенных рядов можно сделать кольцом степенных рядов над полем или над кольцом векторов Витта. Поскольку пополнения строятся как обратные пределы, их можно снабдить топологией Крулля, превращая их в кольца Стоуна. И большинство их свойств можно вывести из их топологии Стоуна. Так вот мы опять вроде бы из совершенно левой темы проишли к пространствам Стоуна. |