| Общая Топология |
[Sep. 9th, 2020|08:38 pm] |
| [ | Current Mood |
| |  sleepy | ] |
Недавно закончил повторять для себя общую топологию, поэтому решил написать этот пост, чтобы зафиксировать мысли об этой науки.
С той точки зрения, что математика это продолженная логика, общая топология — это логика пространства. А учитывая то, что любая хорошая философия полностью сводится к математики и логики, получается что общая топология это совершено общая и правильная философия пространства. И любые попытки придумать новую философию пространства, и, кстати, времени, всегда обречены на переизобретение той же самой науки — общей топологии. И это делает все попытки философов заниматься этой областью совершенно тщетным и бессмысленными. Что, кстати, отчасти делает совершенно неактуальной и физику Аристотеля. Поэтому, если вас интересует такая философия, то лучше изучайте топологию, а не Аристотеля.
Если конкретней, то в общей топологии пространство определяется путем выделения открытых и замкнутых множеств. У этой конструкции есть интересная интерпретация через теорию вычислений. В ней открытые множества соответствуют утверждениям про элементы пространства, которые можно алгоритмически проверить истинность этого утверждения для любой конкретной точки за конечное время. А замкнутые множества утверждениям которые подобным образом опровергаются. Причем, при этой модели вычислений можно запускать параллельно бесконечное количество алгоритмов. Из этой идеи легко выводятся все остальные аксиомы топологического пространства. Вроде бы это придумал Джет Неструев. Интересно подумать, как это подход ложится на остальные топологические концепции?
Говорят, что общая топология это мертвая наука. И действительно, по ядерным для нее темам почти не выходит новых статей. Поэтому молодому математику сделать карьеру занимаясь чистой общей топологией практически невозможно. Однако знать эту науку тем не менее нужно хорошо. Если сильно упрощать, то тут речь идет о расширение концепций анализа, связанных с понятием предела, на случай разных патологий, связанных с тем, что рассматриваемые пространства отличаются от действительной прямой. В самом знакомстве с этими патологиями нет большой ценности, но она есть в умении узнавать и наличие и отсутствие. И использовать знание регулярность для упрощения доказательств других интересных фактов, а знание нерегулярности ля того, чтобы не попадать в глупые ловушки. В целом хорошее знание общей топологии необходимо для изучения дифференциальной, метрической и алгебраической геометрии, дифференциальной и алгебраической же топологии, функционального анализе и теории динамических систем.
Однако прим моем недавнем погружении в эту науку я обнаружен некоторые ее разделы, которые не входят в базовый курс. Одна из этих тем связана с подробным изучением свойств Стоун-Чеховских компактификаций всяких простых пространств типа множества целых чисел. Отсюда еще получается теория странных конструкций, называемых ростами (grow). И все это дело еще как-то применяется, причем к теории Рамсея. Но я в это особо не погружался, это так сказать наметки на будущее. Еще можно попробовать изучать топологические группы в контексте топологической же динамики. Но мне лень погружаться в эти топологические группы на 100% и я разобрал только самые базовые теоремы.
Вот вам в качестве бонуса набор обзоров на книжки, которые я изучил, ознакомился или просто был наслышан, и которые я могу рекомендовать для изучения этой науки. Пойдем от простого к сложному:
( обзор книг ) |
|
|
restless
anxious
calm