Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет sasha_a ([info]sasha_a)
@ 2018-06-22 16:31:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Entry tags:math

Несколько бессвязных слов про (математическое) преподавание

[слегка отредактированная "дискуссия"]

Есть те, которые знают, и те, которые этому учат.

Подозреваю, что многое написанное ниже приложимо к преподаванию и в большинстве других областей. Кроме того, все это лишь мои личные наблюдения.

Игровой метод подачи материала не очень хорошая идея.
Смотря что под этим имееть ввиду.
В прошедшем семестре читал курс довольно тупым бразильским студентам из computer science, многим из которых лишь бы оценку получить. Решил перейти на Гельфанд style с анекдотами (комментирующими то, что изучаем), киданием в опоздавших тенисных мячиков и т.п. БОльшая половина проснулась и даже заинтересовалась, поскольку была удивлена и шокирована. Они даже клип потом про мои лекции сделали. Короче говоря, горжусь тем, что народ начал думать. (Хотя другая половина группы осталась безучастной. Такие всегда есть и им хоть кол на голове теши.)

У обучения должна быть цель.
После обретения знания можно уже говорить о каком-то творчестве.
Все в точности наоборот. По-настоящему новому научиться может лишь тот, в котором не убит ребенок. Традиционные же методы обучения безумно анахроничны, в особенности потому, что убивают творческое начало.

Ясно, что заучивание наизусть не имеет никакого смысла, в наши-то времена.

Типичная ситуация в процессе обучения это когда "профессор" излагает свое видение предмета. Слушатель как правило спит, то есть не думает, потому что недостаточно вовлечен, ему не очень интересно. Или же напряжен, "силится понять", но не в силах начать думать и, тем самым, понимать. Нынче все уже хорошо знают, что обучение должно быть интерактивным. Но тут есть еще одна проблема, со стороны обучаемого. Часто он не может сформулировать правильные/грамотные вопросы. И все снова возвращается к разглагольствованию "профессора".

Осмысленное понимание предмета изучения это и есть, если угодно, цель. То есть, чем больше, интенсивнее, человек думает (медитирует) о предмете, тем лучше он его понимает. Нужно лишь
--- спровоцировать на мыслительную деятельность (надеюсь это не секрет, что люди априори склонны ее избегать)
и
--- помочь двигаться в правильном направлении.

Как спровоцировать?
Один из способов --- игра. Не случайно же дети играют --- они изучают мир с интенсивностью на несколько порядков большей, чем "взрослые". Всякие козлята и львята --- это разумеется глупость, в том числе и для самых маленьких. Играть надо всеми фибрами так, чтобы было жутко интересно.

Первое, что можно сделать --- снять бессмысленное напряжение. Оно не способствует мышлению, которому нужна свобода, а не оковы. Здесь хорошо работает например Гельфанд style --- анекдоты, шутки (вообще, смеяться полезно). От "профессора" требуется также умение "читать мысли". При хорошем понимании предмета не очень трудно предположить (и увидеть), какие мысли посещают обучаемого. Тогда можно добиться иллюзии, что "ученик" все понял сам (или почти сам). Скорость и, главное, качество такого способа обучения несравнимо выше.

Остается заметить, что мышление --- это всегда творческий процесс.

Всякие там средства, интернет, компьютеры могут сильно помочь. Но суть не в них.

Наконец, старые книжки практически всегда плохи просто потому, что люди быстро умнеют. Разве что, никто из нынешних (хорошо понимающих предмет, разумеется) не удосужился переизложить тему, но такое редко случается.


Иллюстрация Гельфанд style

[в далеко не лучшем исполнении]


Как представить себе жизнь в пространстве de Sitter'a сигнатуры ++--? Что? Вы хотите сказать. что оно должно иметь сигнатуру +++--? Ладно. Пусть это будет BS --- baby sitter сигнатуры ++--. (А не bull shit, как вы подумали.)

Возьмем обычный 3-х мерный вещественно-гиперболический шар H_R^3. Его можно описАть как часть проективного пространства RP^2V, состоящую из положительных точек, где V --- R-линейное пространство сигнатуры +---. Гиперболическая метрика в шаре H_R^3 получается так: касательное пространство к точке p\in RP^2V стандартно отождествляется с Lin(p,V/p) ...

Дословно то же самое верно и для грассманиана Gr(k,V) k-мерных R-линейных подпространств в V. Им и займемся: T_pGr(k,V)=Lin(p,V/p)=Lin(p,p')\subset Lin(V,V), если k-мерное подпространство p невырождено, где p+p'=V --- ортогональное разложение. Форма следа в Lin(V,V) индуцирует невырожденную форму в T_pGr(k,V), т.е., в невырожденных точках грассманиана получаем псевдо-риманову метрику.

Возвращаясь к H_R^3, получаем стандартную гиперболическую метрику.

Рассмотрим теперь пространство всех геодезических в H_R^3. Это просто-напросто Gr(2,V). Точки из Gr(2,V) --- это проективные прямые в RP^2V. Если такая прямая p проходит через гиперболический шар H_R^3 (это означает, что p имеет сигнатуру +-), то она в нем обычная прямая как и положено в модели Кляйна-Бельтрами (произношение пожилого человека).
Если p имеет сигнатуру ++, то эта геодезическая целиком живет за абсолютом (т.е. за границей шара H_R^3, состоящей из вырожденных точек в RP^2V; где путлер бывает редко, потому что заграница имеет лоренцову метрику и там время идет вперед, хотя просторов нема --- всего две пространственные координаты). Между такими геодезическими имеется двойственность, данная ортогональным разложением p+p'=V. Но есть еще и вырожденные геодезические p сигнатуры 0-. Их легко "увидеть" --- это проективные прямые в RP^2V, которые касаются абсолюта. И все вместе вырожденные точки грассманиана образуют, как мы видим, проективизацию P касательного расслоения к абсолюту (т.е., к 2-сфере).

Итак, четырехмерный грассманиан Gr(2,V) разбивается своим (трехмерным) абсолютом P на два, по сути одинаковые, куска, в каждом из которых имеется псевдориманова метрика (сохраняемая двойственностью). Как вы думаете, какая у этой метрики сигнатура? Правильно, ++--.

Вот мы и получили нашего BS!
И теперь мы понимаем как (хорошо) можно жить в BS. Каждую геодезическую можно вращать вокруг какой-нибудь ее точки (канонического выбора нет) --- две степени свободы, А можно и двигать, не вращая, оставляя ее перпендикулярной какой-нибудь геодезической плоскости (канонического выбора нет) --- еще две степени свободы. Какие две пространственные, а какие временные --- монохуйственно.

На абсолюте baby sitter'а тоже имеется некоторая, довольно тонкая, геометрия, но поскольку все это уже сильно напоминает детскую порнографию, давайте отложим обсуждение этого вопроса до достижения возраста согласия. Согласны?


(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]sasha_a
2018-06-23 02:37 (ссылка)
Ты никогда не замечал, что написать программу гораздо легче, чем прочитать (т.е., понять) чужую программу (того же размера)?
Очень полезно на так называемой практике знать про это обстоятельство.
Между тем, оно является следствием "говна без задач".

Похоже, что все твои "аргументы" базируются на непроходимой безграмотности.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sadkov
2018-06-23 02:57 (ссылка)
>написать программу гораздо легче, чем прочитать (т.е., понять) чужую программу (того же размера)?
Читать чужую программу на порядок легче, чем писать самому с нуля. Чтения чужой программы - это относительно механическое занятие. Весь R&D сделан за тебя. Иногда попадаются идиомы или алгоритмы, которые не знаешь, но это лишь говорит о том, что сам бы ты такую программу вообще не написал, ибо не знаешь что и как писать.

Я могу об этом говорить, ибо читал x86 и MIPS ассемблеры, локализовывая код распаковки спрайтов в разных играх: https://github.com/saniv/sau/tree/master/src

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2018-06-23 03:13 (ссылка)
Имеется ввиду программа без комментариев.

Здесь можно проделать простой экперимент:
Я (не програмист нисколько) напишу программу на ассемблере за полчаса.
А ты мне объяснишь через час, что она делает.

С вероятностью 99% ты проиграешь.

[Но не сейчас. Сейчас мне надо прекратить прокрастринацию и написать противный отчет.]

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sadkov
2018-06-23 03:47 (ссылка)
Совсем не факт, что в отрыве от контекста ее использования я (или кто-то еще) смогу сказать что она делает, за исключением констатации банальных фактов вроде "складывает X+Y"

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2018-06-23 04:00 (ссылка)
Другими словами, если тебе рассказать, что примерно делает программа, то ты поймешь, что она делает.
Эта ситуация и называется программой с комментариями.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sadkov
2018-06-23 04:10 (ссылка)
Нет. Эта ситуация называется "понимание практического применения этой программы". Тут рядом заскриненный камент анонима, спрашивающего, какое применение у видео игр. Так вот виде игры принято считать предметами искусства тем или иным образом отражающие реальность или ее часть. Т.е. опять какая-то связь с практикой.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-23 07:35 (ссылка)
>Так вот виде игры принято считать предметами искусства тем или иным образом отражающие реальность или ее часть. Т.е. опять какая-то связь с практикой.

Какие проблемы считать математические теории предметами искусства?
Финансируется это все добровольно, точно также как и игры.

Про связь игр с реальностю не надо пиздеть. Это я тебе и внушил такую идею, а ты ее яро опровергал. Тред где ты утверждал, что шахматы чисто абстрактная игра, а я говорил, что это симулятор боевых действий.

К тому же математика гораздо больше связана с реальностю, потому что все абстрактные и кажущиеся бесполезными теории находили практическое применение через несколько десятилетий или поколений. При этом применение это относилось к самым последним достижениям прогресса.
С некоторой вероятностью работы Вербицкого и смежные области найдут применение лет через 50.
Наука так работает.
Та же геометрия Евклида пылилась много веков, пока не стала началом всего прогресса вообще.

Это идиотский и дилетантский подход к вопросу, но вполне соответствующий твоему уровню дискуссии.

В любом случае, люди от которых зависит финансирование (явно умнее тебя) явно не собираются урезать его полностью. У них есть причины для этого.
Оптимизировать расходы всегда будет полезно. Но тут как раз нужно спрашивать Вербицкого, Каледина и sasha_a, а не неучей вроде тебя.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sadkov
2018-06-23 14:36 (ссылка)
>все абстрактные и кажущиеся бесполезными теории находили практическое применение через несколько десятилетий или поколений.

Концепт бесконечности появился в древнем мире, однако применения в реальности пока не нашел. Ну вот конечно количество материи на практике, как ни крути его.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-23 22:00 (ссылка)
Концепт бесконечности нашел применение в теории дифференциального и интегрального исчисления, а она уже больше трех веков применяется на практике.
Вычислительные машины опять же есть продукт матлогики, которая чуть более чем полностью есть обмусоливание концепта бесконечности. Численные методы без классического анализа не сумели бы возникнуть, а без машин не имели бы смысла.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sadkov
2018-06-23 03:00 (ссылка)
Аналогично прочитать доказательство теоремы на порядок проще, чем самому его вывести. Более того, проверить правильность доказательства способна даже автоматика.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2018-06-23 03:17 (ссылка)
Аналогия неадекватная.

Более того, проверить правильность доказательства способна даже автоматика.
Вишь ты, до чего автоматика дошла! А мужики-то не знали!

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sadkov
2018-06-23 03:40 (ссылка)
>Аналогия неадекватная.
Ок. Так что быстрее сделают: напишу с нуля программу доказывающую теоремы или воссоздадут человеческий мозг?

>А мужики-то не знали!
И доказать тоже способна (теоретически, при нескончаемых ресурсах). Только польза от этой теории?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2018-06-23 04:14 (ссылка)
Так что быстрее
Какая разница?
Очень нескоро, имея ввиду, например, мозг уровня Димы Каледина и теоремы его же уровня.
Ну или Миши Вербицкого.
(А то мало ли какие придурки бывают.)

Не так давно умер очень хороший математик Вовочка Воеводский.
Он как раз последнее время занимался теоретическими проблемами машинной проверки доказательств.
Зная Вовочку, можно с уверенностью утверждать, что все это в высшей степени нетривиально и, насколько мне известно, очень далеко от практической реализации.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-23 04:16 (ссылка)
Да есть давно уже программы для проверки (и частичного вывода) доказательств. Толку от них практически нет и в разумном будущем не предвидится, всё сколько-нибудь нетривиальное в них очень сложно формализуется.

Разговор про доказательство теорем компьютером -- такая же банальщина, как и про основания математики. И мнение человека со стороны тут примерно так же ценно (т.е. никого не ебёт).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sadkov
2018-06-23 04:34 (ссылка)
О том и речь. Если это не применимо на практике, то это ненужно. Большую часть математиков можно смело разогнать, ибо есть на порядок более fruitful области для финансирования, вроде медицины.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2018-06-23 04:58 (ссылка)
Большинство можно и разогнать, я не против.
Главное: нужно очень смело разгонять.
Впрочем, может быть стоит сначала поинтересоваться мнением людей из медицины, как они на это посмотрят.
(Биологов лучше не спрашивать: они будут против разгона большинства математиков.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sadkov
2018-06-23 05:18 (ссылка)
Уверен, если им поднимут финансирование, они возражать не будут. С другой стороны, и без математиков очень много дармоедов, которых стоило бы разогнать, начиная с Армии России. А математикам что надо? Огрызок карандаша и блокнот? Посему на очереди не первые.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2018-06-23 05:25 (ссылка)
Ну, если ты уверен, они конечно возражать не будут.
Разгоняй!
(Армию тоже не забудь разогнать.)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-24 02:53 (ссылка)
Есть сколько угодно "элементарных" теорем, с конкретными приложениями
"на практике", которые доказываются в две строчки (в контексте уже
имеющейся теории), но которые никто никогда не формализовал в системах
вроде Coq и наверное не формализует в обозримом будущем.

Там реализовывались целиком доказательства нетривиальных результатов
вроде печально известной комбинаторной теоремы о четырех красках или
теоремы Фейта-Томпсона из теории групп. Всё это требовало каких-то
нереальных усилий и долгой работы нескольких программистов,
и практического толку от этого нет.

Кажется, были какие-то более инженерные проекты вроде проверки
интегральных схем на корректность или разработки доказуемо
корректного компилятора. Это намного полезнее, но совсем про другое.

В последние годы жизни Воеводский продвигал идею использования Coq для
серьёзной математики, и его идея была в том, что нужно переработать
сами основания, чтобы доказательства современных теорем можно было
легко записывать на формальном языке. Это породило довольно активную
деятельность логиков и информатиков, но никаких серьёзных плодов у нее
вроде бы нет, и пока нет речи о том, чтобы теоремы проверялись
компьютером.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sadkov
2018-06-24 03:23 (ссылка)
>нужно переработать сами основания, чтобы доказательства современных теорем можно было легко записывать на формальном языке.

В смысле? Вместо теории множеств использовать теорию категорий?

Так они скорее влияют на доказательство теорем, а не на их проверку, которая сводится к чисто механическим действиям.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-24 04:19 (ссылка)
Да, чтобы компьютер мог проверить доказательство, нужно сначала
его записать на каком-то формальном языке. Дальше уже дело нехитрое
автоматически проверить, что текст на формальном языке корректно
использует правила/аксиомы.

Пока что подобное невозможно, и в ближайшем будущем не предвидится.
Имеющиеся наработки позволяют за месяцы (и больше) кропотливой работы
закодить то, что можно за полчаса объяснить первокурснику.

То же самое и с рассказом про то, что компьютер может сам доказывать
теоремы. Конечно, если у есть какие-то исходные данные и правила
вывода, то можно написать программу, которая будет применять
всевозможные правила в поисках желаемого результата. Но на деле ничего
нетривиального таким образом получить нельзя за разумное время и
с разумной памятью.

Так что это всё безумно интересно само по себе, и много умных людей
над этим работает, но это скорее принесет плоды в информатике и логике
и ничего не изменит в математике.

(Ответить) (Уровень выше)


(Читать комментарии) -