Миша, это к пердыдущему, про несуществование кривых в компл. многообразии.

Касательно предыдущего моего вопроса: ясно, что прямая в листе L для w-тильда (на накрытии М-тильда) не может свернуться в тор под действием группы Г, так как в статье показывается, что образы L под действием Г не пересекают L. С этим всё ясно.

То есть, такой L при факторизации перейдёт во что-то вроде иррац. обмотки тора, так как он некомпактен и никак не факторизуется (образ не будет замкнут в М).

Да, симпатичный результат.

Вообще, для аффинных компактных комплексных многообразий единственно возможные кривые это, наверное, только рода 0 и 1 (сфера и тор).

А есть ли подобные результаты и налажено ли в принципе систематическое изучение многообразий, получаемых подобно этому, но чтобы там были действия фуксовых групп (на верхней полуплоскости) и чтобы это тоже имело интересное теоретико-числовое происхождение? (для таких многообразий могли бы доказываться результаты о существовании/несуществовании комплексных кривых рода большего 1).

Я наткнулся на статью Шимуры, G. Shimura, Construction of class fields and zeta functions of algebraic curves, где он рассматривает как раз такой случай (фуксова группа действует на произведении нескольких полуплоскостей).

Есть чёткая аналогия с аффинным случаем -- только у него рассматриваются чисто вещественные расширения F поля рациональных чисел Q (комплексных вложений нет).

Фиксируется кватернионная алгебра B над таким расширением F. И с помощью вещественных вложений он определяет допустимую (admissible)подгруппу (насколько я понял, матрицы из алгебры B, которые при некоторых специальных r вложениях переходят в матрицы над R с положительным детерминантом). Далее, из таких матриц извлекается некоторая фуксова группа (берётся группа единиц некоторого порядка в B) которая действует, как говорит Шимура, собственно разрывно на произведении r экземпляров верхних полуплоскостей (r определяется как число множителей M_2(R) в разложении в прямое произведение алгебры B тензорно на R, r<=n, где n - число всех различных вещественных вложений).

Фактор по действию этой группы (комплексное многообразие) имеет конечный объём, а когда B не является алгеброй всех 2х2-матриц над F, то даже компактен.

Далее, для такого многообразия, кажется, точно так же должен работать аргумент из обсуждаемой статьи. В качестве точной инвариантной формы можно взять всё ту же форму определяемую логарифмом произведения мнимых частей, она инвариантна не только относительно аффинных преобразований, но и дробно-линейных, сохраняющих верхнюю полуплоскость.

Но теперь ситуация с нулевыми листьями очень проста -- в накрывающем многообразии у нас отсутствуют C-множители, которые в аффинном случае определялись именно комплексными вложениями и содержали листы L, а есть только множители-верхние полуплоскости. То есть, никаких листов вообще нет и поэтому компактных кривых тоже нет.

То есть, случай чисто вещественных расширений это как раз фуксовы группы,
а когда есть комплексные вложения -- это аффинные группы.

Надеюсь, не нагенерировал бреда.

Ага, не всё так просто, по-видимому.

Логарифмическая форма-то будет инвариантной, но она, возможно, не будет точной, так как подкрученный дифференциал, возможно, не убьёт эффект действия дробно-линейного преобразования и нельзя показать точность, как в случае аффинного действия (в статье это показывается сразу после Definition 2.4). Короче, не вдаваясь в детали, простейший контрпример:

Рассмотрим действие фуксовой группы на верхней полуплоскости, так чтобы фактор был компактной кривой (сферой с g>1 ручками). Тогда логарифмическая форма инвариантна и т.п., но если бы она была точна и все рассуждения бы переносились с аффинного случая, то получалось бы противоречие, так как само многообразие М и есть компактная кривая, которая не должна была бы существовать.

"Фуксова" я имею в виду "действует дробно линейными преобразованиями на каждом из множителей-полуплоскостей плюс разрывность действия в целом на произведении".

Это статья Шимуры, в самом начале он определяет такую группу

http://www.jstor.org/stable/1970526

На мой взгляд это самый близкий теоретико-числовой аналог генерирования комплексных многообразий подобно тому как это делается в аффинном случае.

Ага, понятно. То есть, с точки зрения комплексных многообразий случай чисто вещественных расширений малоинтересен по сравнению со случаем когда есть вложения в комплексные числа (аффинные компл. многообразия). Удивительно, что конструкция Шимуры возникла давно, а аффинная конструкция -- недавно, хотя обе возникают как частные случаи общей теоретико числовой конструкции.

Миша, а где про это можно почитать (статьи, учебники), и есть ли у вас какие-нибудь лекции по этой теме?