Вы тут попали на домашнюю заготовку.

Метрическая (риманова?) геометрия во многом отсталая по факту наука.
Т.е. есть, конечно, правильные геометры, которые делают (делали) все в постгротендиковском стиле.
(Например, Миша Громов, Терстон, Сулливан, etc.)
Но в массе своей народ пишет всякие индексы и координаты в бесконечных количествах.
А призывы к алгебраическим геометрам придти и помочь этим, наверное умным, но в чем-то (известно в чем!) убогим, не встречают должного отклика.
Хотя прогресс налицо.
(Миша Капович, например, лет 15 тому назад весьма скептически относился ко всяким функторам-хуюнкторам, а нынче совсем другое дело!)
И прогресс этот прямо связан с Гротендиком.