"Производным функтором" можно назвать что угодно, как и "когомологиями" и т.д. Но единственная часть этой науки, где производный функтор можно сначала определить, а потом доказать его существование -- это линейная часть. Гротендик ровно ее и вычленил. А с нелинейными "производными функторами" до сих пор никакой ясности нет, только набор конструкций, в которые люди верят потому, что верят. При всей гениальности Дольда (и Квиллена).