Но главный вопрос веры тут -- это откуда вообще взялись гомотопические или модельные категории.

Потому что в линейном случае ситуация кристально ясная: есть функтор, он точен только с одной стороны, чтобы посчитать поправки к точности с другой стороны, надо перейти к комплексам.

А в нелинейном случае такой картинки нет, от слова вообще.

Почему надо переходить именно к симплициальным объектам? Препятствия к чему позволяет изучить такой переход?