Если таки нет, то этого достаточно (если какая-то точна, то и старшая). Про старшую, и для обильного дивизора, вопрос чисто про класс когомологий -- равен он нулю или нет. Это в свою очередь простое упражнение на слабого Лефшец, но я старый больной человек и нихрена не соображаю. Разумеется, если видизор не обильный, все сложнее.