Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2017-08-23 13:19:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Earworms - Brazilian Portuguese Vol.2
Entry tags:math

доказательство эргодической теоремы Биркхоффа
Придумал очень странное доказательство
эргодической теоремы Биркхоффа:
http://verbit.ru/IMPA/Ergodic-2017/slides-ergo-impa-05.pdf
Гораздо короче всех известных мне, подозреваю,
что что-то там не то все-таки. Или вся трудность
запихана под ковер со ссылкой на теорему Тихонова?
Раз в 5 короче обычного, не верится.

Привет



(Добавить комментарий)


[info]openair
2017-08-23 19:36 (ссылка)
На странице 16 первая из теорем под названием Birkhoff Ergodic Theorem неверна. Если вкратце ( что первое на автомате в голову пришло, но наверняка есть более простые примеры, если подумать) возьми сдвиги на топологическом пространстве последовательностей 0,1. Односторонних или двусторонних - дело вкуса. Выбирай одну из последовательностей (свою любимую) и клади на нее дирака. Конструкция теоремы посзволяет манипуляцией с последовательностью получить в качестве пределов по подпоследовательностям абсолютно все что душе угодно. Например чередуй произвольный быстро растущие куски из громадного числа нулей и единиц. Будешь прыгать между дираком в нуле и дираком в единице.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-08-23 19:43 (ссылка)
ага, спасибо
попробую подумать

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-08-23 19:45 (ссылка)
да, похоже, хорошо, что студентам не успел рассказать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]openair
2017-08-23 19:50 (ссылка)
концептуальное одно или двух строчечное док-во где то у раннего Тао было, через нестандартный анализ как-то. Но нестрогое. Он предлагал( выражал желание) желающим превратить его в строгое. Блин, или не у Тао, а у Халмоша..? запамятовал

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-08-23 19:52 (ссылка)
хочется дожать мой аргумент, для минимизации писанины
ну в крайнем случае, можно и выкинуть, но лучше дожать

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-08-28 10:00 (ссылка)
я вроде дожал аргумент:
http://verbit.ru/IMPA/Ergodic-2017/slides-ergo-impa-05-1.pdf
идея в том, что разница двух пределов задает функционал
на мерах, зануляющийся на инвариантных мерах, а
при ограничении на функции он сам становится
инвариантной мерой со значениями в инвариантных
мерах, и значит, зануляется.

Буду очень признателен за любой комментарий,
а то не хочу снова на те же грабли

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-08-23 19:48 (ссылка)
а где ломается аргумент с компактностью, можешь сообразить?
надо, чтобы она была абсолютно непрерывна по отношению к инвариантной мере,
очевидно, но где абс. непрерывность используется?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]openair
2017-08-23 19:51 (ссылка)
щас чуть занят, попозже сегодня гляну, да, если до меня доброжелатели не напишут.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-08-23 20:11 (ссылка)
кажется, нашел, где дыра:
последний шаг

{\bf \purple It remains to show that the limit $B$ is unique.}
Suppose that $B_1, B_2$ are two limit points of $\{A_n(x)\}$.
Then $E=B_1-B_2$ is a difference of two projections of $V$ to $V_0$,
hence $E$ is a map from $V_1= V/V_0$ to $V_0$. Denote by $K_1$ the
image of $K$ in $V_1$. Then $E$ can be considered as an
affine map from $K_1$ to $V_0$. The space
$\Map(K_1, V_0)$ has no non-zero $A$-invariant vectors,
because $\lim_n\frac 1 n \sum_{i=0}^{n-1} A^n(x)=0$
on $K_1$ and hence on $\Map(K_1, V_0)$. Therefore,
$EA=E=AE$ implies that $E=0$.

видимо, ошибочен: инвариантные отображения из компакта существуют
(строются через ультрафильтры), хотя инвариантных векторов в K_1 и нет
замечательно, спасибо

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-08-23 19:50 (ссылка)
апропос - ты все еще в Нитерои?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Скрытый комментарий)

[info]tiphareth
2017-08-23 22:40 (ссылка)
ага, ну приедешь обратно, дай знать

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2017-08-23 20:31 (ссылка)
А фаербол могешь?

(Ответить)


[info]rwalk
2017-08-23 20:52 (ссылка)
Трюк с чезаровскими средними вполне стандартен и восходит к теореме Крылова-Боголюбова о существовании инвариантных мер. Как вам уже написали, ни о какой сходимости в общей ситуации речи быть не может (берётся только слабая предельная точка). Кстати, интересно было бы описать все динамические системы, для которых все чезаровские средние сходятся к инвариантных мерам. С первого взгляда я не вижу примеров минимальных систем, для которых бы это было не так (разумеется, это верно для строго эргодических систем)

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-08-23 22:49 (ссылка)
Спасибо! Я, кажется, понял, как это доказательство дожать до приличного
(формально у меня основным учебником книжка Вианы, но там
оно занимает страниц 60 с отступлениями, я так не могу)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]openair
2017-08-23 23:24 (ссылка)
>оно занимает страниц 60 с отступлениями, я так не могу

Ну вообще, если цель примерно такая "поинтвайз Биркгофф максимально быстро", то суперкороткое совершенно неконцептуальное доказательство занимает ровно _полстраницы_. Используются только базовые факты теории меры. Концептуальностью там и близко не пахнет, конечно. Но зато ровно ноль отступлений и внешних результатов. Вроде его придумал Гарсия. Подозреваю, еще короче просто невозможно.

Каток-Хaсселблатт. Введение в современную теорию динамических систем.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]openair
2017-08-23 23:50 (ссылка)
я на почту тебе скинул фотку доказательства с телефона, оно реально мега-короткое.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-08-24 00:11 (ссылка)
спасибо!

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2017-08-28 10:01 (ссылка)
Я вроде поправил аргумент
http://verbit.ru/IMPA/Ergodic-2017/slides-ergo-impa-05-1.pdf
(страница 15), буду ужасно признателен за любой комментарий

(Ответить) (Уровень выше)


[info]openair
2017-08-23 21:50 (ссылка)
одно из относительно концептуальных доказательств для (эргодических!) систем примерно такое:

1) Если система на _топологическом_ пространстве _строго_ эргодична( то есть имеется ровно одна инв. мера), то боголюбовские средние сходятся к ней, ибо любая предельная точка боголюбовских средних будет инвариантной мерой.

2) Если есть эргoдическая система на измеримом пространстве, то во-первых возьмем C*-алгебру L^infty функций. По Гельфанду-Наймарку она перейдет в C*-алгебру непрерывных функций на компакте, а сама система перейдет в СТРОГО эргодическую систему на компакте. Это даст Биркгофа для L^infty, ну а оттуда до стандартного L^1 дело техники. А вот вопрос почему эргодическая система перейдет в строго эрогическую под Гельфандом-Наймарком- если не ошибаюсь какое то шаманство с ультрафильтрами. Рассказывал мне про это Омри Сариг и вроде ссылался на (Кренгеля..?).

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-08-23 22:47 (ссылка)

>1) Если система на _топологическом_ пространстве _строго_ эргодична( то >есть имеется ровно одна инв. мера), то боголюбовские средние сходятся к >ней, ибо любая предельная точка боголюбовских средних будет инвариантной >мерой.

Aga, ehto u menya dazhe napisano, nu bolee-menee

>А вот вопрос почему эргодическая система перейдет в строго эрогическую под Гельфандом-Наймарком

Krasivo, no zhestj zhutkaya, oni pro uljtrafiljtry ne slyshali
no ya, kazhetsya, znayu, kak moe dokazatel'stvo dozhatj to
rabochego

(Ответить) (Уровень выше)

офтоп
[info]oort
2017-08-30 14:54 (ссылка)
Миша,

а дифференциал Дольбо \bar\partial на формах гельдеровской регулярности k+a
это ведь замкнутый оператор между банаховыми пространствами?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: офтоп
[info]oort
2017-08-30 15:09 (ссылка)
блин, мне не это надо, nevermind

(Ответить) (Уровень выше)

Re: офтоп
[info]tiphareth
2017-08-31 14:42 (ссылка)
его можно доопределить на некоторые банаховские пространства, чтобы он был непрервен

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: офтоп
[info]oort
2017-08-31 16:33 (ссылка)
у меня на самом деле такая ситуация:

у меня есть пространство A почти комплексных структур на полидиске (гельдеровской регулярности k+a). я смотрю на них на на формы со значением в кас. расслоении.

из него есть отображение в пространство B (0,2)-форм со значением в голоморфном касательном расслоение (гельдеровской регулярности (k-1)+a), заданное тензором Нийенхуйса (или Фробениуса)
F: \phi -> \bar\partial \phi - 1/2 (\phi \wedge \phi)

(то есть когда эта штука равна 0, то почти комплексная структура формально интегрируема)

A и B банаховы многообразия (B вообще линейное пространство)

отображение F: A -> B индуцирует отображение дифференциала D: TA -> TB

если доказать, что образ D(T_0) в точке (скажем, в стандартной комплексной структуре) замкнут в T_0 B, то я, кажется, могу доказать теорему Ньюлендера-Нийенхойса с помощью некоторой ослабленной теоремы о неявной функции для банаховых пространств.

ну я не уверен что эта замкнутость образа дифференциала в точке не в ту же цену что и вся теорема уже.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: офтоп
[info]oort
2017-08-31 16:40 (ссылка)
Ньюлендера-Нийенхойса -> Ньюлендера-Ниренберга

(Ответить) (Уровень выше)