Re: Sowa
Есть более осмысленный способ
смотреть на банахово пространство как на
семейство выпуклых конечномерных множеств.
Там есть какие-то очень интересные теоремы
в этом духе, мне oort рассказывал.
Типа, какое выпуклое множество можно получить,
если рассечь данное банахово пространство
конечномерным. Довольно часто, если я ничего
не путаю, любое.

Но патологий там адское количество, например,
есть банаховы пространства, у которых нет базиса
(Шредера, то есть семейства линейно независимых векторов,
замыкание которых плотно).

С другой стороны, в комплексном анализе банаховы пространства
донельзя полезны, потому что голоморфные функции на компактной
области - банахово пространство. Мы это с большим профитом
использовали, например, тут
http://verbit.ru/MATH/LCK-2014/lck-09.pdf
(доказав очень сильное обобщение теоремы Чжоу; по дороге
получается доказательство теоремы Чжоу, существенно более
простое, чем традиционное).

Такие дела
Миша