| |||
|
|
> очень простой аргумент такой: доказываем теорему о поднятии и спуске, потом замечаем, что любое многообразие конечно и разветвленно накрывает регулярное (лемма Нетер), и доказываем для регулярных, где все просто (можно определить размерность как размерность в гладких точках). В АМ этого нет и там какой-то бред действительно > Опять же над полем можно придумать, как всегда, проще аргумент. Но в стандартной литературе этих аргументов вроде нет. Я ровно это и написал. Написан там "бред", потому что там аргумент для произвольного нётерова кольца, а не алгебры конечного типа над полем (над \C((t)) дословно такой же аргумент не работает). >Надо доказать что (локальное) кольцо UFD <=> его пополнение UFD (аргумент более-менее в одну строчку), а пополнения регулярных колец, содержащих поле вычетов - кольца степенных рядов Это опять ровно аргумент, который я написал. Он тоже не работает, когда алгебра не над полем. (Ну или требует теоремы Коэна, которая не проще) >В характеристике 0 ок, а в характеристике p нужно что-то унылое делать (забыл, что) В случае совершенного поля можно обойтись леммой гензеля. В случае несовершенного поля, это куда более тонкое утверждение. Например, неверно, что полная регулярная K-алгебра А с полем вычетом k изоморфна k[[x_1,...,x_d]] как K-алгебра в случае, когда k/K несепарабельное расширение полей. Тем не менее верно, что есть изоморфизм колец, и что абстрактно k вкладывается в A. Конкретный пример: возьмём любое несовершенное поле K и элемент a\in K-K^p, тогда положим A=\hat K[T]_(T^p-a) (пополнение локализации в T^p-a). Эта алгебра, очевидно, полное DVR c полем вычетов K':=K(a^{1/p}). Если бы она была изоморфна рядам K'[[X]] как K-алгебра, тогда бы A\otimes_K K' было бы неприведено (так как содержит K'\otimes_K K'). Но A\otimes_K K' на самом деле вообще DVR (отождествляется с пополнением K'[T] в (T^p-a) и совпадает с пополнением в простом идеале (T-a^{1/p})), в частности, приведено. Доказательство того, что полная регулярная K-алгебра A изоморфна рядам над k как [b]абстрактное кольцо[/b] использует p-basis. Довольно важный объект, с помощью него можно оценивать p-кручение групп Брауэра аффинных регулярных схем в характеристике p. Добавить комментарий: |
|||