Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2017-12-21 18:35:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Fields Of The Nephilim - Live At Shepherds Bush Empire London 2008
Entry tags:hse, math, mccme

Основы комплексной алгебраической геометрии (весенний семестр 2018)
Написал анонс курса, который я читаю весной.
В качестве новаций, предполагается дофига листочков,
а также переход на две лекции в неделю вместо одной.
Все это конечно, жесть, но неизбежно.

Я читал уже аналогичный курс несколько раз, последний
раз в Вышке в 2014,
http://bogomolov-lab.ru/KURSY/CM-2014/
и мне это резко не понравилось,
по ощущениям, оно было целиком бесполезно и мне и студентам.
В этот раз оно будет по крайней мере болезненно
(и мне и студентам, потому что темп, для Вышки и НМУ,
совершенно нереальный). С другой стороны, в Импе
все так и читают, и получается хорошо. Я специально
выкинул половину программы из KURSY/CM-2014/
потому что студенты и тогда были очень слабые,
а сейчас, по отзывам с мест, гораздо слабее.
Может так оно и получится.

Буду очень признателен за комментарии по удобным дням
(сюда или мне в емэйл); покамест я назначил среду
и субботу вечером, но поменяю, если есть альтернативные
предложения. Также, если какие-то ваши знакомые туда
планируют ходить, скиньте им ссылку на сей анонс, потому
что у них тоже могут быть предпочтения по дням недели;
пусть мне их сообщат.

* * *

Миша Вербицкий
Основы комплексной алгебраической геометрии.
Весенний семестр 2018,
первое занятие 24 января.

Алгебраическая геометрия может быть постигнута
двумя независимыми способами. Вы можете вывести
все основные результаты из коммутативной алгебры,
как это делали классики-итальянцы; это подход
элементарный, но неинтуитивный и требующий трудоемких
вычислений. Вместо этого (по предложению Уильяма
Ходжа) можно выводить результаты алгебраической
геометрии из топологии и дифференциальной геометрии:
теории гармонических форм (известной как "теория
Ходжа"), комплексного анализа и алгебраической
топологии. Получается много проще и интиутивнее,
при условии, что студент в состоянии освоить
тяжелую математику, которая служит фундаментом
для теории Ходжа. Другое ограничение теории Ходжа -
большинство аргументов работает только в
характеристике 0, и для желающих работать
в характеристике p приходится придумывать
отдельные методы доказательства ключевых
теорем (точнее, тех из них, которые верны).

В курсе "основы комплексной алгебраической геометрии"
я расскажу теорию Ходжа и ту часть комплексной алгебраической
геометрии, которая из нее выводится; науки, которые
основаны на комплексном анализе и на коммутативной
алгебре, я рассказывать не буду.

Программа.

1. Гильбертовы пространства, компактные операторы,
спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов.

2. Символ оператора, эллиптические операторы, фредгольмовы
операторы. Теорема Атьи-Зингера (без доказательства).

3. Анализ Фурье на торе: соболевские нормы,
лемма Реллиха, лемма Соболева.

4. Фредгольмовость для оператора Лапласа.
Диагонализация оператора Лапласа. Эллиптическая
регулярность для уравнения Лапласа.

5. Представимость когомологий де Рама гармоническими формами.
Применения: когомологии компактных групп Ли, комплексных
проективных пространств, грассманианов.

6. Комплексные структуры и разложение Ходжа на дифференциальных формах.

7. Почти комплексные многообразия, комплексные
могообразия, теорема Ньюлендера-Ниренберга, ее доказательство
для вещественно-аналитических многообразий.

8. Эрмитовы метрики, кэлеровы многообразия,
примеры и основные свойства кэлеровых многообразий.
Форма Фубини-Штуди. Кэлеровость проективных пространств
и грассманианов.

9. Параллельность тензора комплексной структуры на
кэлеровом многообразии.

10. Алгебра суперсимметрий кэлерова многообразия.
Тождества Кэлера и разложение Ходжа на когомологиях.
Теорема Лефшеца, sl(2)-тройки, разложение Лефшеца
на когомологиях.

11. Потоки и обобщенные функции. Пушфорвард потока.
Интегральные ядра. Ядро Коши.

12. Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика. Когомологии
Дольбо. Геометрическая интерпретация разложения Ходжа.
Теорема Хартогса.

13. Голоморфные дифференциальные формы и их свойства.
Бирациональные отображения. Раздутие. Инвариантность голоморфных
дифференциальных форм относительно бирациональных отображений.
Каноническое расслоение и его обратный образ при раздутии.

14. Голоморфные расслоения. Связность Черна, ее существование
и единственность, ее кривизна. Линейные расслоения, экспоненциальная
точная последовательность, первый класс Черна.

15. Алгебра суперсимметрий кэлерова многообразия, ее
действие на дифференциальных формах с коэффициентами в
расслоении. Тождества Кодаиры-Накано. Теорема Кодаиры-Накано
о занулении когомологий.

16. Глобально-порожденные, обильные и очень обильные
расслоения. Проективное вложение. Кэлеровость раздутия.
Применение зануления когомологий к обильности расслоений.
Теорема Кодаиры о проективности кэлеровых многообразий.
Алгебраическая размерность многообразий. Мойшезоновы,
комплексные неалгебраические и некэлеровы многообразия.

17. (*) Абелевы многообразия и комплексные торы. Отображение
Альбанезе и его свойства. Кривая и ее якобиан. Гиперэллиптические
кривые. Комплексные кривые и их плоские развертки.
Явная конструкция голоморфных дифференциалов на
комплексной кривой.

18. (*) Линеаризуемые автоморфизмы. Структурная теорема для
группы комплексных автоморфизмов проективного многообразия.

19. (*) Теорема Калаби-Яу, многообразия Калаби-Яу, классификация
голономий.

Темы, обозначенные (*), будут изучены, если хватит времени.

От студентов потребуется понимание анализа
(ряд Тэйлора, дифференциальные формы, дифференциал де Рама,
лемма Пуанкаре, теорема Стокса, ряды Фурье, многообразия),
комплексного анализа в размерности 1, и дифференциальной геометрии
(векторные расслоения и связности, тензоры, римановы метрики,
связность Леви-Чивита, потоки диффеоморфизмов, группы Ли,
теорема Фробениуса). Также нужно знать, что такое пучки,
резольвенты, когомологии пучков. Основные определения я
дам, но времени на освоение этих наук будет очень мало
(впрочем, если большинство слушателей не знает какой-то
базовой науки, ее придется изучать в подробности).

Курс читается дважды в неделю, в субботу вечером и в среду
вечером, на матфаке ВШЭ. После лекций происходит прием задач.
Первое занятие - 24 января. К курсу выдаются листочки, очень много.
Я настоятельно советую изучать и по возможности сдавать эти листочки:
шансов успешно сдать экзамены, не сдавая листочки, у большинства
студентов не будет.

Впрочем, я не планирую рассказывать ничего,
выходящего за пределы первого тома "Основ алгебраической
геометрии" Гриффитса-Харриса, и слушатель, который
хорошо освоил Гриффитса-Харриса (и умеет решать нетрудные
задачи по нему) легко сдаст и мой курс.

Литература:
Lectures on Kahler geometru, Andrei Moroianu
http://moroianu.perso.math.cnrs.fr/tex/kg.pdf

Complex analytic and differential geometry, J.-P. Demailly
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf

Lectures on Kahler manifolds, W. Ballmann
http://people.mpim-bonn.mpg.de/hwbllmnn/notes.html

C. Voisin, ``Hodge theory''.

D. Huybrechts, ``Complex Geometry - An Introduction''

A. Besse, ``Einstein manifolds''.



(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]polytheme
2017-12-22 03:51 (ссылка)
А где можно взять нетрудные (и трудные) задачи по Г.-Х., если не секрет ? Кажется, отсутствие задач там считалось одним из главных недостатков (книжка тем не менее совершенно чудесная, хотя ув. Л.П. сообщал, что из-за пестрящих индексов он её не может).

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-22 03:55 (ссылка)
немного есть тут
http://bogomolov-lab.ru/KURSY/CM-2014/
http://ium.mccme.ru/f10/verbickii-speckurs.html
http://ium.mccme.ru/s11/verbickii-speckurs2.html
а так, я буду их делать ан масс в скором времени

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dolmatt
2017-12-22 11:03 (ссылка)
The requested URL /perso/moroianu/tex/kg.pdf was not found on this server.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2017-12-22 13:57 (ссылка)
видимо, имеются в виду эти лекции - http://moroianu.perso.math.cnrs.fr/tex/kg.pdf
но я ссылку на них у Миши не нашел.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]dolmatt
2017-12-22 15:36 (ссылка)
спасибо большое.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2017-12-22 13:59 (ссылка)
спасибо большое.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2017-12-22 04:09 (ссылка)
Нетрудная задача: найти первые 10 неверных утверждений в ГХ.
Трудная задача: доказать их.
Далее, по индукции.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2017-12-22 04:10 (ссылка)
Неверных в смысле с серъезеыми пробелами в доказательстве.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2017-12-22 13:52 (ссылка)
ну зачем же рассказывать, почему анекдот смешной - гораздо лучше было.

ага, это же тоже в предисловии написано - там, насколько я понимаю, серьезные (трудные) пробелы начинаются в районе исчисления Шуберта.

кстати, а есть какие-то вменяемые подходы в обход неравенства эллиптической регулярности ? я слышал, что ядро теплопроводности как-то помогает (видимо, благодаря тому, что уравнение т. за сколь угодно малое время из обобщенного решения делает бесконечно гладкое), но подробностей не знаю. и микролокальный анализ - это обертка уже сверху, после доказательства технических результатов безумными оценками, или как-то делает это все вменяемым ?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2017-12-22 14:57 (ссылка)
Пробелы начинаются еще в главе 0.
С Шубертом вроде бы все в порядке, но невыносимо архаично (посмотри лекции Васи Горбунова, он все делает разумно).
Уверен, что безумные оценки нынче гораздо менее безумны, но деталей в данный момент не помню и не ведаю.
Я бы вычеркнул ГХ навечно из списка литературы.
[Миша его любит, поскольку не читает, а доказывал все сам.]
Уверен, что изложение Володи Жгуна (должны быть доступны записки его лекций) намного более современное и, главное, более гуманное.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-22 16:57 (ссылка)
>Я бы вычеркнул ГХ навечно из списка литературы.

У меня его там и нет (я о литературе к курсу)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2017-12-22 20:17 (ссылка)
Ага.
Поправьте, пожалуйста, ссылку на
Moroianu A., Lectures on Kähler Geometry
(2007, 183 стр.; легко находится в LibGen, как и большинство других ссылок).
[У polytheme выше ссылка на нечто менее подробное, того же автора.]

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-22 20:32 (ссылка)
ага, спасибо

(Ответить) (Уровень выше)


[info]v_r
2017-12-23 13:23 (ссылка)
>Я бы вычеркнул ГХ навечно из списка литературы.


обязательно,

есть же книга Вуазен -- первый том, это вообще одна из моих любимых книжек по математике, --- там и весь вышеописанный контент есть, и про пререквизиты все вышеописанные написано по очень хорошей главе.

(Надо сказать, что я читал ее по-русски, а потом листал по-английски и по-французски, и у меня сложилось впечатление, что под переводом Львовского она еще существенно улучшилась)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2017-12-23 14:44 (ссылка)
Книжка Клэр замечательная (как и она сама), хоть я всю книжку все еще не прочитал.
Будучи алгебраистом (в далеком прошлом), я бы немного переделал изложение разложения Лефшеца, пояснив, что мы имеем дело с SL_2-модулями.
Это не пустое: в правильной форме все работает для псевдо-кэлеровых классических геометрий (псевдо-риманова метрика вместо римановой).
Такие геометрии часто встречаются и важны в гиперболической геометрии.
(Например, пространство невырожденных подпространств данной сигнатуры в соответствующем грассманиане C-линейного пространства снабженного эрмитовой неопределенной формой.)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]bananeen
2017-12-23 19:04 (ссылка)
А я вот как-то её книгой не проникся.

Есть конечно очень удачные главы, но они все в основном про гомологическую алгебру.

Напротив, всё что написано про дифференциальную геометрию, там ужасно - до сих пор помню как 10 главу про трансверсальность Гриффитса читал раза три, без особого успеха. Другое дело, что нигде лучше не нашёл. Какие-то вещи есть в Хойбрехтсе, но там мало. (читал на английском, так что про перевод Львовского не знаю).

(Ответить) (Уровень выше)


(Читать комментарии) -