Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2017-12-21 18:35:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Fields Of The Nephilim - Live At Shepherds Bush Empire London 2008
Entry tags:hse, math, mccme

Основы комплексной алгебраической геометрии (весенний семестр 2018)
Написал анонс курса, который я читаю весной.
В качестве новаций, предполагается дофига листочков,
а также переход на две лекции в неделю вместо одной.
Все это конечно, жесть, но неизбежно.

Я читал уже аналогичный курс несколько раз, последний
раз в Вышке в 2014,
http://bogomolov-lab.ru/KURSY/CM-2014/
и мне это резко не понравилось,
по ощущениям, оно было целиком бесполезно и мне и студентам.
В этот раз оно будет по крайней мере болезненно
(и мне и студентам, потому что темп, для Вышки и НМУ,
совершенно нереальный). С другой стороны, в Импе
все так и читают, и получается хорошо. Я специально
выкинул половину программы из KURSY/CM-2014/
потому что студенты и тогда были очень слабые,
а сейчас, по отзывам с мест, гораздо слабее.
Может так оно и получится.

Буду очень признателен за комментарии по удобным дням
(сюда или мне в емэйл); покамест я назначил среду
и субботу вечером, но поменяю, если есть альтернативные
предложения. Также, если какие-то ваши знакомые туда
планируют ходить, скиньте им ссылку на сей анонс, потому
что у них тоже могут быть предпочтения по дням недели;
пусть мне их сообщат.

* * *

Миша Вербицкий
Основы комплексной алгебраической геометрии.
Весенний семестр 2018,
первое занятие 24 января.

Алгебраическая геометрия может быть постигнута
двумя независимыми способами. Вы можете вывести
все основные результаты из коммутативной алгебры,
как это делали классики-итальянцы; это подход
элементарный, но неинтуитивный и требующий трудоемких
вычислений. Вместо этого (по предложению Уильяма
Ходжа) можно выводить результаты алгебраической
геометрии из топологии и дифференциальной геометрии:
теории гармонических форм (известной как "теория
Ходжа"), комплексного анализа и алгебраической
топологии. Получается много проще и интиутивнее,
при условии, что студент в состоянии освоить
тяжелую математику, которая служит фундаментом
для теории Ходжа. Другое ограничение теории Ходжа -
большинство аргументов работает только в
характеристике 0, и для желающих работать
в характеристике p приходится придумывать
отдельные методы доказательства ключевых
теорем (точнее, тех из них, которые верны).

В курсе "основы комплексной алгебраической геометрии"
я расскажу теорию Ходжа и ту часть комплексной алгебраической
геометрии, которая из нее выводится; науки, которые
основаны на комплексном анализе и на коммутативной
алгебре, я рассказывать не буду.

Программа.

1. Гильбертовы пространства, компактные операторы,
спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов.

2. Символ оператора, эллиптические операторы, фредгольмовы
операторы. Теорема Атьи-Зингера (без доказательства).

3. Анализ Фурье на торе: соболевские нормы,
лемма Реллиха, лемма Соболева.

4. Фредгольмовость для оператора Лапласа.
Диагонализация оператора Лапласа. Эллиптическая
регулярность для уравнения Лапласа.

5. Представимость когомологий де Рама гармоническими формами.
Применения: когомологии компактных групп Ли, комплексных
проективных пространств, грассманианов.

6. Комплексные структуры и разложение Ходжа на дифференциальных формах.

7. Почти комплексные многообразия, комплексные
могообразия, теорема Ньюлендера-Ниренберга, ее доказательство
для вещественно-аналитических многообразий.

8. Эрмитовы метрики, кэлеровы многообразия,
примеры и основные свойства кэлеровых многообразий.
Форма Фубини-Штуди. Кэлеровость проективных пространств
и грассманианов.

9. Параллельность тензора комплексной структуры на
кэлеровом многообразии.

10. Алгебра суперсимметрий кэлерова многообразия.
Тождества Кэлера и разложение Ходжа на когомологиях.
Теорема Лефшеца, sl(2)-тройки, разложение Лефшеца
на когомологиях.

11. Потоки и обобщенные функции. Пушфорвард потока.
Интегральные ядра. Ядро Коши.

12. Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика. Когомологии
Дольбо. Геометрическая интерпретация разложения Ходжа.
Теорема Хартогса.

13. Голоморфные дифференциальные формы и их свойства.
Бирациональные отображения. Раздутие. Инвариантность голоморфных
дифференциальных форм относительно бирациональных отображений.
Каноническое расслоение и его обратный образ при раздутии.

14. Голоморфные расслоения. Связность Черна, ее существование
и единственность, ее кривизна. Линейные расслоения, экспоненциальная
точная последовательность, первый класс Черна.

15. Алгебра суперсимметрий кэлерова многообразия, ее
действие на дифференциальных формах с коэффициентами в
расслоении. Тождества Кодаиры-Накано. Теорема Кодаиры-Накано
о занулении когомологий.

16. Глобально-порожденные, обильные и очень обильные
расслоения. Проективное вложение. Кэлеровость раздутия.
Применение зануления когомологий к обильности расслоений.
Теорема Кодаиры о проективности кэлеровых многообразий.
Алгебраическая размерность многообразий. Мойшезоновы,
комплексные неалгебраические и некэлеровы многообразия.

17. (*) Абелевы многообразия и комплексные торы. Отображение
Альбанезе и его свойства. Кривая и ее якобиан. Гиперэллиптические
кривые. Комплексные кривые и их плоские развертки.
Явная конструкция голоморфных дифференциалов на
комплексной кривой.

18. (*) Линеаризуемые автоморфизмы. Структурная теорема для
группы комплексных автоморфизмов проективного многообразия.

19. (*) Теорема Калаби-Яу, многообразия Калаби-Яу, классификация
голономий.

Темы, обозначенные (*), будут изучены, если хватит времени.

От студентов потребуется понимание анализа
(ряд Тэйлора, дифференциальные формы, дифференциал де Рама,
лемма Пуанкаре, теорема Стокса, ряды Фурье, многообразия),
комплексного анализа в размерности 1, и дифференциальной геометрии
(векторные расслоения и связности, тензоры, римановы метрики,
связность Леви-Чивита, потоки диффеоморфизмов, группы Ли,
теорема Фробениуса). Также нужно знать, что такое пучки,
резольвенты, когомологии пучков. Основные определения я
дам, но времени на освоение этих наук будет очень мало
(впрочем, если большинство слушателей не знает какой-то
базовой науки, ее придется изучать в подробности).

Курс читается дважды в неделю, в субботу вечером и в среду
вечером, на матфаке ВШЭ. После лекций происходит прием задач.
Первое занятие - 24 января. К курсу выдаются листочки, очень много.
Я настоятельно советую изучать и по возможности сдавать эти листочки:
шансов успешно сдать экзамены, не сдавая листочки, у большинства
студентов не будет.

Впрочем, я не планирую рассказывать ничего,
выходящего за пределы первого тома "Основ алгебраической
геометрии" Гриффитса-Харриса, и слушатель, который
хорошо освоил Гриффитса-Харриса (и умеет решать нетрудные
задачи по нему) легко сдаст и мой курс.

Литература:
Lectures on Kahler geometru, Andrei Moroianu
http://moroianu.perso.math.cnrs.fr/tex/kg.pdf

Complex analytic and differential geometry, J.-P. Demailly
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf

Lectures on Kahler manifolds, W. Ballmann
http://people.mpim-bonn.mpg.de/hwbllmnn/notes.html

C. Voisin, ``Hodge theory''.

D. Huybrechts, ``Complex Geometry - An Introduction''

A. Besse, ``Einstein manifolds''.



(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]deevrod
2017-12-24 13:29 (ссылка)
Что значит ближе? Чтобы определить, что такое эллиптический оператор,
тебе нужно знать, что такое касательное расслоение.

Определение эллиптического оператора первого порядка очень простое --
это оператор, который, какое бы ни было данное на гиперповерхности,
допускает решение в её формальной окрестности, притом определённое
однозначно. Для большей степени определение гораздо труднее, конечно,
но все чудеса связаны именно с существованием эллиптических операторов
первого порядка.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-24 14:58 (ссылка)
>но все чудеса связаны именно с существованием эллиптических операторов
>первого порядка.

по-моему, нет, я вообще не понимаю, как результаты про операторы
первого порядка (тавтологические, там нет ничего, кроме тавтологий)
можно куда-то применить. Ну, не считая того, что связность эллиптична,
и все результаты про связности на более общие эллиптические операторы
первого порядка тривиально обобщаются

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2017-12-24 20:32 (ссылка)
Например, весь комплексный анализ за первый курс следует
из эллиптичности \dbar. Для существования параллельных
спиноров нужная эллиптичность оператора Дирака (или нет?
похоже, у меня каша в голове).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2017-12-24 20:55 (ссылка)
>эллиптичности \dbar

угу, я про него не подумал, а подумал про контент
мехматского курса PDE, где все операторы первого порядка,
никакого \dbar и дирака нет, а все уравнения решаются
методом характеристик

но что касается \dbar, я не вижу, как из очевидных
фактов для операторов первого порядка выводить то, что
оператор Дирака фробениусов, кажется, без обратимости
лапласа тут обойтись невозможно

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2017-12-24 22:42 (ссылка)
> методом характеристик
А у эллиптических операторов характеристик вовсе нет.

Ну я не говорил ничего про доказательства (я их не знаю).

Кстати, а для операторов большего порядка то определение,
которое я сказал, тоже работает же? Именно, что оператор
порядка не выше k+1 называется эллиптическим, если
для любого начального данного на k-той инфинитезимальной
окрестности гиперповерхности существует единственное
решение на формальной окрестности.

(Ответить) (Уровень выше)


(Читать комментарии) -