Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2018-06-07 17:43:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Delerium - SPIRITUAL ARCHIVES
Entry tags:math

двойственно по Пуанкаре пересечению многообразий
Написал образцово короткое доказательство
двойственности Пуанкаре:
http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-09.pdf
как-то не ожидал даже. По этому случаю, образовался
лишний час, который следует забить доказательством
того, что произведение в когомологиях (де Рама)
двойственно по Пуанкаре трансверсальному
пересечению многообразий.

А какой самый простой способ сие увидеть, без
махания руками и по возможности элементарно?
Я чего-то ничего толкового сходу придумать не могу.

Привет



(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2018-06-07 23:53 (ссылка)
Хуй его знает, Миша.

(Ответить)


[info]grigori
2018-06-08 01:23 (ссылка)
твоё образцово короткое доказательство написано в ботте-ту. про произведение там тоже есть, через классы тома, но нужна теорема о трубчатой окрестности, совсем элементарно наверное не получится.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 03:07 (ссылка)
специально посмотрел
у них когомологии шара с компактным носителем занимают 3 страницы
вычислений, это пиздец какой-то (и еще страница на когомологии сферы)
уебох

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-08 05:40 (ссылка)
а, ну это они просто лемму паункаре два раза подробно прописали Про шар у тебя поинтереснее конечно, сначала не заметил.
про сферу у них упражение.

а ещё у тебя вообще ничего не написано про то, что нужна ориентация, а это вообще-то сильно важно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 11:00 (ссылка)
>про сферу у них упражение.

через индукцию и Майера-Виеториса
я долго придумывал, как там обойтись без индукции, но придумал:
доказываем, что инвариантные формы равны когомологиям, а их на сфере
очень легко найти, получается гораздо изящнее

>а ещё у тебя вообще ничего не написано про то, что нужна ориентация

забыл (но по дефолту все ориентировано, про это говорили)
поправлю сейчас, да

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 13:05 (ссылка)
>получается гораздо изящнее

Какое счастье, что меня когомологиям учил не ты. Впрочем, для бразильцев сойдет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 13:21 (ссылка)
лучше скажи, а почему не определяют сингулярные коцепи через
кубы вместо симплексов? я слышал, что там где-то засада, но не
могу вспомнить где

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-08 15:06 (ссылка)
https://mancunian.livejournal.com/2100630.html

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 16:59 (ссылка)
странно, что он про фальшивый диплом не написал
http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1475596.html
тоже ведь популярная тема, в свое время какие-то его друзья
по жежешечке прыгали и везде в комментах оставляли про еврейскую
мафию и фальшивого профессора Наждака

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-08 19:46 (ссылка)
Потому что это не помогает ровно ничему, но сильно усложняет комбинаторику. Коммутативного произведения над Z в когомологиях просто нет (в смысле, на DG уровне).

А так, вообще, одна из формальных причин, почему симплексы, это теорема Милнора: геометрическая реализация некоторым чудом коммутирует с произведениями, и вообще с конечными пределами. То, что в когомологиях есть хотя бы ассоциативное произведение на DG уровне, из этого следует (потому что из этого следует существование shuffle map).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 20:35 (ссылка)
это существенно упростит (а) определение произведения в сингулярных
когомологиях и (б) доказательство формулы Кюннета для сингулярных когомологий
в Хатчере и там и там дикий пиздец и ужас

я сингулярные когомологии в этот раз почти не рассказывал,
но по-моему это существенно упрощает

>в смысле, на DG уровне

есличо, я даже слова "функтор" не могу использовать,
потому что студенты его не знают

так что до DG уровня тут как до луны пешком

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 20:53 (ссылка)
>это существенно упростит (а) определение произведения в сингулярных когомологиях

Нет. Попробуй, увидишь. Если бы была разумная формула, она действовала бы и над Z, поэтому видно, что ее нету.

Внятное определение shuffle map я знаю и человечество знает, я его даже один раз в статье записал, но тебе это не поможет, потому что оно хоть и без единого индекса, но весьма категорное.

>так что до DG уровня тут как до луны пешком

Я не имел в виду им этого рассказывать. Но по факту, ты делаешь именно это, и полезно понимать, чего здесь сделать просто нельзя.

>в Хатчере и там и там дикий пиздец и ужас

В Хатчере вообще везде дикий ужас. Но на самом деле, ты не можешь внятно рассказать когомологии, не обьясняя ничего про топологию вообще (надстройки там, вот это все). В частности, использовать де Рама в качестве определения когомологий это жуткие костыли, и концептуально криво (когомологии не имеют никакого отношения к гладкости). Бразильцам, которые вообще занимаются динамикой, так лучше, чем никак, но красоты на этом пути не обретешь.

В книжках Постникова в предисловии довольно разумно описано, какие тут проблемы и почему они нетривиальные (грубо говоря, клеточные когомологии легко считать, про сингулярные легко доказывать свойства, с умножением отдельная засада). Возможно, разумный эксперимент это начать с пучков (типа там, у пучка фунций нет когомологий потому что разбиение единицы, и т.д.) Пучок это штука абстрактная, зато его когомологии имеют внятный смысл как препятствия к тому и сему.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 21:07 (ссылка)
>это существенно упростит (а) определение
>произведения в сингулярных когомологиях

Определение есть. Еслионо некоммутативно и неассоциативно
в ДГ-смысле, это никого ебать не должно, потому что все равно потом
ограничивается на когомологии. Мне нужно от него только то, что
оно равно произведению в когомологиях де Рама, а это как раз
просто доказать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 21:20 (ссылка)
>Определение есть.

Оно и в сингулярных есть.

Для начала, произведение на чем?

>Если оно некоммутативно и неассоциативно в ДГ-смысле

то оно не коммутативно и не ассоциативно. Т.е. надо отдельно выписывать формулы, почему оно ассоциативно и коммутативно "с точностью до гомотопии". Это охрененно просветляющее занятие, ага.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 22:32 (ссылка)
>Для начала, произведение на чем?

на кольце когомологий же

>Т.е. надо отдельно выписывать формулы, почему оно ассоциативно и коммутативно "с точностью до >гомотопии".

а нафиг? переопределить их через формулу Кюннета и пуллбак с диагонали и привет
все получается тривиально сразу же (но Кюннета надо доказывать, конечно)

>>Определение есть.
>Оно и в сингулярных есть.

Оно непонятное и я не в состоянии даже себе объяснить, что там (в Хатчере)
написано

индексы какие-то злоебучие

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 22:43 (ссылка)
>а нафиг? переопределить их через формулу Кюннета и пуллбак с диагонали и привет все получается тривиально сразу же (но Кюннета надо доказывать, конечно)

Кого переопределить? куда переопределить?

Тебе нужно умножение на комплексе (как без этого выписывать умножение в когомологиях, мне неведомо). Что за комплекс? -- какие члены, какой дифференциал?

Если есть симплициальное множество, то комплекс получается стандартным образом, причем в двух вариантах, можно обычный, можно нормализованный. Нормализаованный чуть лучше, т.к. дает эквивалентность категорий между симплициаьными абелевыми группами и комплексами, но это дело десятое, можно брать любой из двух. Если есть бисимиплициальное множество, то ему можно сопоставить либо произведение комплексов по каждому аргументу, либо ограничить его на диагональное \Delta и взять комплекс там. Отображение из одного в другое это как раз и есть shuffle map, а что оно квазиизоморфизм это теорема. Теорема нетривиальная, и хуже того, сильно завязанная на свойства \Delta -- если взять что-нибудь вместо \Delta, скорее всего нифига не выйдет.

>индексы какие-то злоебучие

Ну ты напиши формулу с кубами -- только правильную -- посмотри на нее, и убедись, что симплексы это только цветочки.

Для начала -- так какой все-таки комплекс?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 22:52:28
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 22:58:53
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:00:43
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:02:04
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:03:07
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:05:55
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:07:48
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:12:05
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:18:03
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:23:54
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:36:30
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:41:03
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:42:33
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:46:54
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:59:27
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 03:02:14
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-09 03:55:59
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 04:22:21
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 11:44:47
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 21:36:37
(без темы) - [info]polytheme, 2018-06-09 15:57:37
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-10 21:53:42
(без темы) - [info]polytheme, 2018-06-10 21:58:19
(без темы) - [info]polytheme, 2018-06-10 22:00:01
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-10 22:22:19
(без темы) - [info]polytheme, 2018-06-09 18:29:49
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-09 03:42:55
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-09 03:57:01
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 11:45:45
(без темы) - [info]ab7a, 2018-06-09 05:11:43

[info]tiphareth
2018-06-08 21:10 (ссылка)
>В частности, использовать де Рама в качестве определения когомологий это жуткие костыли

мне так проще было понимать
а что там есть еще и производная категория, особенно никому не нужно,
по крайней мере не первокурсникам

>Возможно, разумный эксперимент это начать с пучков

ну не на первом курсе же
граждане первый раз услышали от меня, что такое есть CP^n

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 21:18 (ссылка)
>а что там есть еще и производная категория

Слова не мальчика, но мужа. Уже почти на мехматском уровне.

Производная категория нахуй тут не нужна; а вот что когомологии определены для топ. пространств, а не для многообразий, это скрывать от себя и людей довольно глупо. В частности потому, что потом возникают всякие идиотское вопросы типа "как вычислить когомологии сферы".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 21:24 (ссылка)
>когомологии определены для топ. пространств

Предотвращая вопросы: для букета окружностей, например.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 22:29 (ссылка)
>а вот что когомологии определены для топ. пространств,

зачем скрывать?
у меня была теорема де Рама об изоморфности де рамовских когомологий
и сингулярных, например

>потом возникают всякие идиотское вопросы типа "как вычислить когомологии сферы".

клеточных когомологий как раз не было, Хатчера им пересказывал М. Б. потому что,
и он до этого места в Хатчере толком не добрался

то есть определение клеточных гомологий было, а изоморфизма клеточных
и сингулярных не было, и не очень предполагается

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 22:46:17
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 22:54:45
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 22:55:12
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 22:59:35
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:03:56
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:06:20
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:09:37
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:15:47
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:21:12
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:38:47
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:44:11
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:51:58
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:27:03
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:52:29
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 02:56:13
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 11:47:31
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 12:22:23
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 12:27:16
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 12:32:45
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 12:50:21
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 13:46:09
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 12:56:43
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 13:45:29
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 14:35:44
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 14:53:06
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 15:06:13
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 15:22:00
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 16:21:36
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 16:26:02
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 17:53:02
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 17:57:44
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 20:08:26
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 20:23:33
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 20:25:49
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 21:33:01
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 23:02:42
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 23:12:33
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 23:20:59
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 23:35:55
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 23:39:48
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 23:44:41
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 23:56:10
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 23:59:20
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-10 02:46:09
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-10 03:26:28
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 23:14:52
(без темы) - [info]bors, 2018-06-10 08:48:01
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-10 12:10:33

[info]kaledin
2018-06-08 21:23 (ссылка)
>граждане первый раз услышали от меня, что такое есть CP^n

Они определение топологического пространства знают?

Если нет, то беда (и когомологий им не надо). Если да, то CP^n для когомологий нафиг не нужно. Так типа, один из примеров (а можно и другие приводить).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 22:26 (ссылка)
>Они определение топологического пространства знают?

знают

>Так типа, один из примеров (а можно и другие приводить).

а какие примеры, если никаких многообразий, кроме сферы и римановых
поверхностей, у них нет? Курс называется "топология многообразий"

проблема не в том, что они не знают про CP^n, проблема в том, что не
знают более-менее ничего, ибо первокурсники. Ни разу не слышали
про эрмитову структуру на векторном пространстве, например.

В любом случае, я не вижу никакого смысла преподавать любые
другие когомологии, пока нет де Рама, ибо (а) де Рама проще
вычислить и (б) они гораздо ближе к интуиции и не требуют ничего
континуальномерного (клеточные в этом плане еще лучше, но для
них ничего доказать нельзя без продвинутого инструментария)

Преподавать пучки начинающим я тоже несогласен,
нужно сначала накопить какой-то багаж примеров потому что
(или нужно потратить полкурса на пучки, если уж
совсем необходимо)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 22:47 (ссылка)
>(б) они гораздо ближе к интуиции и не требуют ничего континуальномерного

????

А пространство форм какой размерности, если не секрет?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 22:53:43
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:00:14
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:07:01
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:12:13
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:14:25
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:16:30
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:22:44
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:53:05
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 02:58:15
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 11:48:09

[info]kaledin
2018-06-08 22:49 (ссылка)
>а какие примеры, если никаких многообразий, кроме сферы и римановых поверхностей, у них нет?

CW-комплексы же простейшие, берешь и клеишь. Главное, что если есть Y \subset X, то можно Y стянуть в точку; с многообразиями такое не прокатит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 22:53:08
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:00:47
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 02:57:08

[info]polytheme
2018-06-09 03:34 (ссылка)
>а какие примеры
Нули вещественных и комплексных многочленов же, они же конфигурационные пространства механических систем.

Что любое топ. многообразие реализуется, как вещ алг, это теорема Нэша, если я не ошибаюсь; а не очень давно доказали, что достаточно плоской механической системы.

Это должно быть в книжке applied topology, кмк. Вообще примеры же это хорошо, а сферу Пуанкаре им определённо показать стоит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]polytheme, 2018-06-09 03:35:42

[info]ab7a
2018-06-09 05:23 (ссылка)
Есть кубические множества, у них тоже есть геометрическая реализация,
там наверное всё так же работает, но комбинаторика не проще ни разу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 20:25 (ссылка)
>там наверное всё так же работает

Я бы очень сильно удивился.

Теорема Милнора это некоторое чудо; внятное доказательство ее принаделжит Дринфельду, и оно существенно использует то, что симплекс это мн-во точке на отрезке. Для построения когомологий это несущественно, там вся сила теоремы Милнора не нужна.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 21:07 (ссылка)
Ага, я понял, о чем речь. Там выполняется формула |X⊗Y| = |X|×|Y|, но ⊗ --- это не произведение в категории кубических множеств. Вот тут оно обсуждается в разделе 2:
http://hopf.math.purdue.edu/Jardine/cubical2.pdf

(Это очень старая история. В 50-е топологи использовали кубы для определения сингулярных когомологий, и даже Кан работал с кубами в абстрактной теории гомотопий. Это к комментарию [info]tiphareth что кубов нигде не видно. С них как раз и начинали, но потом заменили симплексами.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 23:01 (ссылка)
Что-то я не очень верю Жардину. Он кажется не в курсе, что геометрическая реализация симплициального множества канонически гомеоморфна геометрической реализации его барицентрического подразбиения, и вообще не в курсе кучи всего про симплициальные множества. Здесь он в предисловии пишет, что любое симплициальное множество можно подразбить в регулярное, взяв барицентрическое подразбиение дважды -- но в его книжке этого нет, и в такой формулировке это вообще неверно (кучу времени на это потратил недавно, пришлось все изобретать самому). Кажется, он идиот.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 23:15 (ссылка)
Это просто первая попавшаяся ссылка, это что-то совсем древнее, сам же Жардин ссылается на статьи Кана.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 23:02 (ссылка)
А в теореме Милнора, отмечу, не только произведения, но и конечные пределы ("геометрическая реализация есть точка топоса симплициальных множеств"). Это настоящее чудо.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 23:11 (ссылка)
Ага, я знаю, но учил это по Габриэлю-Зисману и думал, что это не чудо, а какая-то комбинаторика.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 23:56 (ссылка)
Я этого, если честно, вооще не учил, слышал так типа краем уха, а выучил как раз по статье Дринфельда. Может и к лучшему.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2018-06-08 20:27 (ссылка)
делайте через кубы, неоссиляторы ебаные, тогда это будет круто, а от симплексов профита мало.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-09 01:47 (ссылка)
Да, кстати о шахматах: через комбинацию не пробовали-с?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-09 05:06 (ссылка)
А раньше как раз через кубы и определяли.

См. например учебник
Massey, Algebraic Topology: An Introduction.
Springer GTM 56.

Или тексты Серра по алгебраической топологии.
Там вроде кубы.

Никакой засады там нет, оно эквивалентное.
Просто легче от этого обычно не становится.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 05:18 (ссылка)
Что интересно, в качестве приложения теоремы,
статья Эйленберга и Маклейна про ацикличные модели
как раз доказывает эквивалентность кубических
(правильно определенных) и симплициальных комологий.

http://www.jstor.org/stable/2372628

В мотивных когомологиях иногда используют кубические
комплексы, потому что там якобы какая-то комбинаторика
упрощается.

В алгебраической топологии всё давно уже делают через
симплексы, потому что от кубов, вроде бы, не легче.
Ну и опять же, определение проще, не нужно выкидывать
вырожденные сингулярные симплексы (вырожденные сингулярные
кубы -- нужно).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-09 11:09 (ссылка)
симплексы это легко и тривиально, а кубы это круто. они входят в моду. скоро у вас все будет кубическое, а не триангулированное симплексами, в математике. куб топологически более подвижная структура. там на "симплектических" морфизмах больше профита.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 20:20 (ссылка)
weiner_, залогиньтесь.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-11 03:23 (ссылка)
> См. например учебник
> Massey, Algebraic Topology: An Introduction.
> Springer GTM 56.


Перечитал специально. Там натурально всё подробно проделано для кубов вместо симплексов. Можно посмотреть, чтобы убедиться, что никаких улучшений это не даёт.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 04:09 (ссылка)
есть одно очень существенное улучшение
(Масси, видимо, про него не знал): доказательство
формулы Кюннета делается в одну строчку

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 04:42 (ссылка)
Знал конечно. Оно там всё сделано целиком и подробно.
Наверное, я запутался в книжках, это GTM 127.

С кубами явная формула для изоморфизма комплексов
C (X × Y) = C (X) ⊗ C (Y)
действительно много проще.

(Для симплексов будут шаффл-произведения, но вообще они не нужны:
сами Эйленберг и Зильбер для доказательства использовали
теорему об ациклических моделях.)

В других же местах от кубов не станет проще, а даже сложнее.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 11:28 (ссылка)
>В других же местах от кубов не станет проще, а даже сложнее.

так надо сразу же доказать, что через кубы и через симплексы
получаются одни и те же сингулярные когомологии, это 20 минут

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 16:27 (ссылка)
В этом месте поди будет точно такая же проблема.

Придумать отображение между комплексами несложно. Проверять, что оно
(квази)изоморфизм --- опять полезут злоебучие индексы и знаки,
и ничего понятно не будет.

Эйленберг и Маклейн используют ациклические модели, чтобы всего
этого избежать:
http://www.jstor.org/stable/2372628

Там всё довольно просто, но такое нет смысла "сразу же доказывать",
потому что хоть и просто, но не тривиально, а профита с кубов
практически ноль.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 16:31 (ссылка)
>Эйленберг и Маклейн используют ациклические модели, чтобы всего этого избежать

Но чтобы применить такое к кубам, если я не сошел с ума, надо сначала определить категорию кубов. А у нее ни одного внятного определения нет, все случайные и ад хок.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]ab7a, 2018-06-11 19:54:26
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 20:26:03
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-11 21:57:19
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 22:32:53
(без темы) - [info]ab7a, 2018-06-11 20:26:28
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 21:13:02

[info]kaledin
2018-06-11 13:50 (ссылка)
>доказательство формулы Кюннета делается в одну строчку

Ерунда. Отображение строится в одну строчку (а не в полторы). Что оно квазиизоморфизм пойди докажи еще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 16:08 (ссылка)
>Отображение строится в одну строчку (а не в полторы).
>Что оно квазиизоморфизм пойди докажи еще.

Так стандартный метод же, доказываешь для шаров, потом
Майер-Виеторис. Один слайд занимает.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-11 13:55 (ссылка)
>Масси, видимо, про него не знал

Знал конечно; просто оно несущественное (если не иметь на этом месте детской травмы).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 16:07 (ссылка)
существенно, я хотел прочесть им Кюннета
для сингулярных когомологий, но тот пиздец, который в Хатчере,
лучше вообще не трогать

а через кубы все делается сразу и очень просто

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 16:26 (ссылка)
Через симплексы тоже делается сразу и очень просто. Надо только разложить произведение двух симплексов в сумму симплексов; как именно, я пару дней назад написал. Минут 10 занимает если подробно (и одна картинка на доске). Совместимость с дифференциалом очевидна. Что в Хатчере, мне неведомо, я оттуда читал случайные 2 страницы, и решил больше никогда не читать ничего.

>а через кубы все делается сразу и очень просто

А до того? Уже нормализация у тебя займет полчаса, страшно контринтуитивная вещь. И все свойства типа гомотопической инвариантости доказывать заебешься (из-за нормализации).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 17:51 (ссылка)
>И все свойства типа гомотопической инвариантости доказывать заебешься (из-за нормализации).

А мне и не надо, мне надо только Майера-Виеториса (стандартный аргумент)
и лемму Пуанкаре (тоже стандартный)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]grigori, 2018-06-11 22:00:39
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-11 22:05:48
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 22:35:15
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-11 23:02:13
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 23:48:08
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-12 00:27:28
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-12 00:42:51
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-12 04:33:26
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-12 14:06:28
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-11 22:07:38
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-12 22:38:26

[info]kaledin
2018-06-11 16:40 (ссылка)
Т.е. вот тебе один пример пиздеца. Если просто тупо отфакторизовать по вырожденным кубам, ниоткуда не следует, что в факторе не будет кручения. А если оно вдруг есть, то формула Кюннета становится попросту неверна.

На самом деле, кручения нет (наверно, точно не проверял), потому что вырожденные кубы отщепляются в прямое слагаемое. Но в случае симплексов вот это место как раз комбинаторно весьма нетривиально, тут сидит эквивалентность Дольда-Кана (потому что разные вырождения не коммутируют, и пойди еще отщепи). С кубами будет еще хуже.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 17:50 (ссылка)
>А если оно вдруг есть, то формула Кюннета становится попросту неверна.

Само собой, но мне оно только тензор Q и нужно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 18:55:13
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-11 19:37:00

[info]grigori
2018-06-12 22:41 (ссылка)
в смысле? в пространстве кубов есть базис, состоящий из всех сингулярных кубов, профакторизоваться по вырожденным это просто убрать часть элементов этого базиса.
с сингулярными симплексами то же самое - нам же (на этом уровне) не нужно работать с любыми симплициальными множествами.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-13 00:27:48
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-13 02:48:38
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-13 03:10:47
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-13 03:44:57
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-13 10:41:12

[info]grigori
2018-06-12 22:47 (ссылка)
я думаю не делается.
или у тебя есть этот аргумент в одну строчку?

реально проще всего доказать формулу кюннета с клеточными гомологиями, потому что клеточный комплекс произведения CW-комплексов это _буквально_ тензорное произведение клеточных комплексов

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-12 22:50 (ссылка)
>реально проще всего доказать формулу кюннета с клеточными гомологиями

да, само собой
но мой коллега их не очень рассказал
и мне не хочется ими пользоваться

по крайней мере независимость от клеточного разбиения
в такой версии совсем неочевидна

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2018-06-09 22:17 (ссылка)
https://mathoverflow.net/questions/3656/cubical-vs-simplicial-singular-homology

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 23:04 (ссылка)
Охуенно!!! Спасибище!!!
Матоверфлоу вообще рулит, надо было погуглить, да

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 13:25 (ссылка)
Use with caution -- в этом конкретном треде добрая половина ораторов не знают, о чем говорят. Завершается никокошевым вообще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-10 14:14 (ссылка)
а чем плох никокошев? ни разу не слышал про него

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 14:25 (ссылка)
Это некоторый... как бы сказать повежливее... короче, студент типа физик из Москвы, метафизическая интоксикация, уехал в америку не смог сдать кволы, зато прижился и процвел на матоверфлоу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 00:44 (ссылка)
Никокошев был активен на МО бог весть когда, причем в вопросах про "философию и интуицию", сейчас его там больше нет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 01:31:50
(без темы) - [info]ab7a, 2018-06-11 03:19:54
(без темы) - (Анонимно), 2018-06-11 11:51:32
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 13:52:57

(Анонимно)
2018-06-09 09:06 (ссылка)
Правильную книжку назовите, пожалуйста.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 20:27 (ссылка)
Sur quelques points d'algebre homologique.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-09 21:08 (ссылка)
Я, признаюсь, ожидал чего-нибудь вроде Weibel/Rotman.
Но прекрасно. Спасибо.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 23:04 (ссылка)
Ну а фигли ссылаться на пересказы, если есть оригинал.

Но Гельфанд-Манин синий тоже неплох (по модулю того, что там в каждом месте ошибка, т.е. надо читать осторожно).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2018-06-08 04:31 (ссылка)
да, я тоже вспомнил это, про то, что форма-представитель загоняется в окрестность подмногообразия.
но Миша в чем-то прав, она местами как-то чудовищно контринтуитивно написана, например
даже то, что класс эйлера нечетномерного расслоения равен нулю, которое можно
сказать очевидно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-08 17:58 (ссылка)
у меня презумпция невиновности в отношении этой книжки, потому что она, кажется, единственная, в которой я прочитал хотя бы половину

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2018-06-08 21:54 (ссылка)
Я Ботта-Ту люблю адски, прочел её в 17 лет совершенно наркоманским образом и охуел.
Я бы её сделал потолще, конечно, слив с Милнор-Сташефф (вторая норкоманская книжка) и выдержав стайл. И, например, с теорией Морса еще.

У меня нет особой аллергии на вычисления, но я люблю, когда причина указывается тоже. Как, например, в суммировании Эйлера-Маклорена мне Безрукавников давно рассказывал смысловое рассуждение про выражение оператора конечных разностей через экспоненту от производной; оно "некорректное", но копает к сути.

Но вот в паре-тройке мест (в эйлере, и еще, помнится, про изоморфизм гомотопно индуцированных раслоений) я просто реально охуел. Сейчас я это вижу сверху и могу сам доказать, но тогда был расстроен чрезвычайно.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]bors
2018-06-09 09:11 (ссылка)
У Бредона, если правильно помню, тоже через класс Тома. Ну а что, вещь полезная, особенно в surgery theory (насколько полезна последняя - вопрос спорный), а это "топология многообразий" в прямом смысле.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ololo
2018-06-08 02:48 (ссылка)
Шрифт уебанский, будто его под прессом сжали.

(Ответить)


(Анонимно)
2018-06-08 14:19 (ссылка)
Картинок бы хоть добавил

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 14:28 (ссылка)
картинки на доске были

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2018-06-08 17:39 (ссылка)
Последние замечание на слайде 2
когомологии с компактным носителем это ковариантный функтор
Да, но только на категории открытых множеств, где стрелки --- включения.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 20:28 (ссылка)
угу

(Ответить) (Уровень выше)