Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2018-06-07 17:43:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Delerium - SPIRITUAL ARCHIVES
Entry tags:math

двойственно по Пуанкаре пересечению многообразий
Написал образцово короткое доказательство
двойственности Пуанкаре:
http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-09.pdf
как-то не ожидал даже. По этому случаю, образовался
лишний час, который следует забить доказательством
того, что произведение в когомологиях (де Рама)
двойственно по Пуанкаре трансверсальному
пересечению многообразий.

А какой самый простой способ сие увидеть, без
махания руками и по возможности элементарно?
Я чего-то ничего толкового сходу придумать не могу.

Привет



(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]tiphareth
2018-06-08 04:07 (ссылка)
специально посмотрел
у них когомологии шара с компактным носителем занимают 3 страницы
вычислений, это пиздец какой-то (и еще страница на когомологии сферы)
уебох

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-08 06:40 (ссылка)
а, ну это они просто лемму паункаре два раза подробно прописали Про шар у тебя поинтереснее конечно, сначала не заметил.
про сферу у них упражение.

а ещё у тебя вообще ничего не написано про то, что нужна ориентация, а это вообще-то сильно важно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 12:00 (ссылка)
>про сферу у них упражение.

через индукцию и Майера-Виеториса
я долго придумывал, как там обойтись без индукции, но придумал:
доказываем, что инвариантные формы равны когомологиям, а их на сфере
очень легко найти, получается гораздо изящнее

>а ещё у тебя вообще ничего не написано про то, что нужна ориентация

забыл (но по дефолту все ориентировано, про это говорили)
поправлю сейчас, да

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 14:05 (ссылка)
>получается гораздо изящнее

Какое счастье, что меня когомологиям учил не ты. Впрочем, для бразильцев сойдет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 14:21 (ссылка)
лучше скажи, а почему не определяют сингулярные коцепи через
кубы вместо симплексов? я слышал, что там где-то засада, но не
могу вспомнить где

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-08 16:06 (ссылка)
https://mancunian.livejournal.com/2100630.html

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 17:59 (ссылка)
странно, что он про фальшивый диплом не написал
http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1475596.html
тоже ведь популярная тема, в свое время какие-то его друзья
по жежешечке прыгали и везде в комментах оставляли про еврейскую
мафию и фальшивого профессора Наждака

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-08 20:46 (ссылка)
Потому что это не помогает ровно ничему, но сильно усложняет комбинаторику. Коммутативного произведения над Z в когомологиях просто нет (в смысле, на DG уровне).

А так, вообще, одна из формальных причин, почему симплексы, это теорема Милнора: геометрическая реализация некоторым чудом коммутирует с произведениями, и вообще с конечными пределами. То, что в когомологиях есть хотя бы ассоциативное произведение на DG уровне, из этого следует (потому что из этого следует существование shuffle map).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 21:35 (ссылка)
это существенно упростит (а) определение произведения в сингулярных
когомологиях и (б) доказательство формулы Кюннета для сингулярных когомологий
в Хатчере и там и там дикий пиздец и ужас

я сингулярные когомологии в этот раз почти не рассказывал,
но по-моему это существенно упрощает

>в смысле, на DG уровне

есличо, я даже слова "функтор" не могу использовать,
потому что студенты его не знают

так что до DG уровня тут как до луны пешком

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 21:53 (ссылка)
>это существенно упростит (а) определение произведения в сингулярных когомологиях

Нет. Попробуй, увидишь. Если бы была разумная формула, она действовала бы и над Z, поэтому видно, что ее нету.

Внятное определение shuffle map я знаю и человечество знает, я его даже один раз в статье записал, но тебе это не поможет, потому что оно хоть и без единого индекса, но весьма категорное.

>так что до DG уровня тут как до луны пешком

Я не имел в виду им этого рассказывать. Но по факту, ты делаешь именно это, и полезно понимать, чего здесь сделать просто нельзя.

>в Хатчере и там и там дикий пиздец и ужас

В Хатчере вообще везде дикий ужас. Но на самом деле, ты не можешь внятно рассказать когомологии, не обьясняя ничего про топологию вообще (надстройки там, вот это все). В частности, использовать де Рама в качестве определения когомологий это жуткие костыли, и концептуально криво (когомологии не имеют никакого отношения к гладкости). Бразильцам, которые вообще занимаются динамикой, так лучше, чем никак, но красоты на этом пути не обретешь.

В книжках Постникова в предисловии довольно разумно описано, какие тут проблемы и почему они нетривиальные (грубо говоря, клеточные когомологии легко считать, про сингулярные легко доказывать свойства, с умножением отдельная засада). Возможно, разумный эксперимент это начать с пучков (типа там, у пучка фунций нет когомологий потому что разбиение единицы, и т.д.) Пучок это штука абстрактная, зато его когомологии имеют внятный смысл как препятствия к тому и сему.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 22:07 (ссылка)
>это существенно упростит (а) определение
>произведения в сингулярных когомологиях

Определение есть. Еслионо некоммутативно и неассоциативно
в ДГ-смысле, это никого ебать не должно, потому что все равно потом
ограничивается на когомологии. Мне нужно от него только то, что
оно равно произведению в когомологиях де Рама, а это как раз
просто доказать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 22:20 (ссылка)
>Определение есть.

Оно и в сингулярных есть.

Для начала, произведение на чем?

>Если оно некоммутативно и неассоциативно в ДГ-смысле

то оно не коммутативно и не ассоциативно. Т.е. надо отдельно выписывать формулы, почему оно ассоциативно и коммутативно "с точностью до гомотопии". Это охрененно просветляющее занятие, ага.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:32 (ссылка)
>Для начала, произведение на чем?

на кольце когомологий же

>Т.е. надо отдельно выписывать формулы, почему оно ассоциативно и коммутативно "с точностью до >гомотопии".

а нафиг? переопределить их через формулу Кюннета и пуллбак с диагонали и привет
все получается тривиально сразу же (но Кюннета надо доказывать, конечно)

>>Определение есть.
>Оно и в сингулярных есть.

Оно непонятное и я не в состоянии даже себе объяснить, что там (в Хатчере)
написано

индексы какие-то злоебучие

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:43 (ссылка)
>а нафиг? переопределить их через формулу Кюннета и пуллбак с диагонали и привет все получается тривиально сразу же (но Кюннета надо доказывать, конечно)

Кого переопределить? куда переопределить?

Тебе нужно умножение на комплексе (как без этого выписывать умножение в когомологиях, мне неведомо). Что за комплекс? -- какие члены, какой дифференциал?

Если есть симплициальное множество, то комплекс получается стандартным образом, причем в двух вариантах, можно обычный, можно нормализованный. Нормализаованный чуть лучше, т.к. дает эквивалентность категорий между симплициаьными абелевыми группами и комплексами, но это дело десятое, можно брать любой из двух. Если есть бисимиплициальное множество, то ему можно сопоставить либо произведение комплексов по каждому аргументу, либо ограничить его на диагональное \Delta и взять комплекс там. Отображение из одного в другое это как раз и есть shuffle map, а что оно квазиизоморфизм это теорема. Теорема нетривиальная, и хуже того, сильно завязанная на свойства \Delta -- если взять что-нибудь вместо \Delta, скорее всего нифига не выйдет.

>индексы какие-то злоебучие

Ну ты напиши формулу с кубами -- только правильную -- посмотри на нее, и убедись, что симплексы это только цветочки.

Для начала -- так какой все-таки комплекс?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:52 (ссылка)
>Тебе нужно умножение на комплексе
>(как без этого выписывать умножение в когомологиях, мне неведомо).

А мне ведомо. Формула Кюннета утверждает, что
H^*(X\times X) = H^*(X)\otimes H^*(X).
Берем два класса когомологий \alpha, \beta,
получаем класс \alpha\otimes \beta \in H^*(X\times X)
ограничиваем его на диагональ и привет.

То, что это равно умножению в когомологиях де Рама,
даже совсем плохому студенту должно быть ясно.

>Для начала -- так какой все-таки комплекс?

А никаких комплексов, однако. Без комплексов!

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:58:53
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:00:43
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:02:04
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:03:07
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:05:55
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:07:48
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:12:05
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:18:03
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:23:54
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:36:30
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:41:03
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:42:33
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:46:54
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:59:27
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 04:02:14
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-09 04:55:59
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 05:22:21
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 12:44:47
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 22:36:37
(без темы) - [info]polytheme, 2018-06-09 16:57:37
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-10 22:53:42
(без темы) - [info]polytheme, 2018-06-10 22:58:19
(без темы) - [info]polytheme, 2018-06-10 23:00:01
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-10 23:22:19
(без темы) - [info]polytheme, 2018-06-09 19:29:49
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-09 04:42:55
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-09 04:57:01
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 12:45:45
(без темы) - [info]ab7a, 2018-06-09 06:11:43

[info]tiphareth
2018-06-08 22:10 (ссылка)
>В частности, использовать де Рама в качестве определения когомологий это жуткие костыли

мне так проще было понимать
а что там есть еще и производная категория, особенно никому не нужно,
по крайней мере не первокурсникам

>Возможно, разумный эксперимент это начать с пучков

ну не на первом курсе же
граждане первый раз услышали от меня, что такое есть CP^n

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 22:18 (ссылка)
>а что там есть еще и производная категория

Слова не мальчика, но мужа. Уже почти на мехматском уровне.

Производная категория нахуй тут не нужна; а вот что когомологии определены для топ. пространств, а не для многообразий, это скрывать от себя и людей довольно глупо. В частности потому, что потом возникают всякие идиотское вопросы типа "как вычислить когомологии сферы".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 22:24 (ссылка)
>когомологии определены для топ. пространств

Предотвращая вопросы: для букета окружностей, например.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:29 (ссылка)
>а вот что когомологии определены для топ. пространств,

зачем скрывать?
у меня была теорема де Рама об изоморфности де рамовских когомологий
и сингулярных, например

>потом возникают всякие идиотское вопросы типа "как вычислить когомологии сферы".

клеточных когомологий как раз не было, Хатчера им пересказывал М. Б. потому что,
и он до этого места в Хатчере толком не добрался

то есть определение клеточных гомологий было, а изоморфизма клеточных
и сингулярных не было, и не очень предполагается

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:46 (ссылка)
Базовое свойство гомологий --- чуть ли не определение, вообще-то --- это что они при надстройке сдвигаются на 1. Если у тебя это было, никакой проблемы с вычислением когомологий сферы в принципе быть не может, "индукция" состоит в том, что n раз сдвинуть на 1 это то же, что 1 раз сдвинуть на n, и когомологии де Рама для этого нафиг не нужны (и незачем доказывать тривиальный факт с помощью серьезной теоремы). Если не было, увы тебе.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:54:45
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-08 23:55:12
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-08 23:59:35
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:03:56
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:06:20
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:09:37
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:15:47
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:21:12
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:38:47
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:44:11
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:51:58
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 01:27:03
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 01:52:29
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 03:56:13
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 12:47:31
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 13:22:23
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 13:27:16
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 13:32:45
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 13:50:21
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 14:46:09
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 13:56:43
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 14:45:29
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 15:35:44
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 15:53:06
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 16:06:13
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 16:22:00
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 17:21:36
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 17:26:02
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 18:53:02
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 18:57:44
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 21:08:26
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 21:23:33
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 21:25:49
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 22:33:01
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-10 00:02:42
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-10 00:12:33
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-10 00:20:59
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-10 00:35:55
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-10 00:39:48
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-10 00:44:41
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-10 00:56:10
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-10 00:59:20
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-10 03:46:09
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-10 04:26:28
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-10 00:14:52
(без темы) - [info]bors, 2018-06-10 09:48:01
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-10 13:10:33

[info]kaledin
2018-06-08 22:23 (ссылка)
>граждане первый раз услышали от меня, что такое есть CP^n

Они определение топологического пространства знают?

Если нет, то беда (и когомологий им не надо). Если да, то CP^n для когомологий нафиг не нужно. Так типа, один из примеров (а можно и другие приводить).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:26 (ссылка)
>Они определение топологического пространства знают?

знают

>Так типа, один из примеров (а можно и другие приводить).

а какие примеры, если никаких многообразий, кроме сферы и римановых
поверхностей, у них нет? Курс называется "топология многообразий"

проблема не в том, что они не знают про CP^n, проблема в том, что не
знают более-менее ничего, ибо первокурсники. Ни разу не слышали
про эрмитову структуру на векторном пространстве, например.

В любом случае, я не вижу никакого смысла преподавать любые
другие когомологии, пока нет де Рама, ибо (а) де Рама проще
вычислить и (б) они гораздо ближе к интуиции и не требуют ничего
континуальномерного (клеточные в этом плане еще лучше, но для
них ничего доказать нельзя без продвинутого инструментария)

Преподавать пучки начинающим я тоже несогласен,
нужно сначала накопить какой-то багаж примеров потому что
(или нужно потратить полкурса на пучки, если уж
совсем необходимо)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:47 (ссылка)
>(б) они гораздо ближе к интуиции и не требуют ничего континуальномерного

????

А пространство форм какой размерности, если не секрет?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:53 (ссылка)
над кольцом функций вполне себе конечно-порожденное

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:00:14
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:07:01
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:12:13
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:14:25
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:16:30
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 00:22:44
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 01:53:05
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 03:58:15
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 12:48:09

[info]kaledin
2018-06-08 23:49 (ссылка)
>а какие примеры, если никаких многообразий, кроме сферы и римановых поверхностей, у них нет?

CW-комплексы же простейшие, берешь и клеишь. Главное, что если есть Y \subset X, то можно Y стянуть в точку; с многообразиями такое не прокатит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:53 (ссылка)
а курс называется как?
правильно, топология многообразий

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-09 00:00:47
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-09 03:57:08

[info]polytheme
2018-06-09 04:34 (ссылка)
>а какие примеры
Нули вещественных и комплексных многочленов же, они же конфигурационные пространства механических систем.

Что любое топ. многообразие реализуется, как вещ алг, это теорема Нэша, если я не ошибаюсь; а не очень давно доказали, что достаточно плоской механической системы.

Это должно быть в книжке applied topology, кмк. Вообще примеры же это хорошо, а сферу Пуанкаре им определённо показать стоит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2018-06-09 04:35 (ссылка)
И немного морса туда ведь хорошо будет, это вполне многообразий. И да, ещё компактные группы же?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-09 06:23 (ссылка)
Есть кубические множества, у них тоже есть геометрическая реализация,
там наверное всё так же работает, но комбинаторика не проще ни разу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 21:25 (ссылка)
>там наверное всё так же работает

Я бы очень сильно удивился.

Теорема Милнора это некоторое чудо; внятное доказательство ее принаделжит Дринфельду, и оно существенно использует то, что симплекс это мн-во точке на отрезке. Для построения когомологий это несущественно, там вся сила теоремы Милнора не нужна.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 22:07 (ссылка)
Ага, я понял, о чем речь. Там выполняется формула |X⊗Y| = |X|×|Y|, но ⊗ --- это не произведение в категории кубических множеств. Вот тут оно обсуждается в разделе 2:
http://hopf.math.purdue.edu/Jardine/cubical2.pdf

(Это очень старая история. В 50-е топологи использовали кубы для определения сингулярных когомологий, и даже Кан работал с кубами в абстрактной теории гомотопий. Это к комментарию [info]tiphareth что кубов нигде не видно. С них как раз и начинали, но потом заменили симплексами.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 00:01 (ссылка)
Что-то я не очень верю Жардину. Он кажется не в курсе, что геометрическая реализация симплициального множества канонически гомеоморфна геометрической реализации его барицентрического подразбиения, и вообще не в курсе кучи всего про симплициальные множества. Здесь он в предисловии пишет, что любое симплициальное множество можно подразбить в регулярное, взяв барицентрическое подразбиение дважды -- но в его книжке этого нет, и в такой формулировке это вообще неверно (кучу времени на это потратил недавно, пришлось все изобретать самому). Кажется, он идиот.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-10 00:15 (ссылка)
Это просто первая попавшаяся ссылка, это что-то совсем древнее, сам же Жардин ссылается на статьи Кана.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-10 00:02 (ссылка)
А в теореме Милнора, отмечу, не только произведения, но и конечные пределы ("геометрическая реализация есть точка топоса симплициальных множеств"). Это настоящее чудо.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-10 00:11 (ссылка)
Ага, я знаю, но учил это по Габриэлю-Зисману и думал, что это не чудо, а какая-то комбинаторика.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 00:56 (ссылка)
Я этого, если честно, вооще не учил, слышал так типа краем уха, а выучил как раз по статье Дринфельда. Может и к лучшему.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]apkallatu
2020-06-26 13:06 (ссылка)
а что за теорема Милнора, доказанная Дринфельдом, где почитать про неё?

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2018-06-08 21:27 (ссылка)
делайте через кубы, неоссиляторы ебаные, тогда это будет круто, а от симплексов профита мало.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-09 02:47 (ссылка)
Да, кстати о шахматах: через комбинацию не пробовали-с?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-09 06:06 (ссылка)
А раньше как раз через кубы и определяли.

См. например учебник
Massey, Algebraic Topology: An Introduction.
Springer GTM 56.

Или тексты Серра по алгебраической топологии.
Там вроде кубы.

Никакой засады там нет, оно эквивалентное.
Просто легче от этого обычно не становится.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 06:18 (ссылка)
Что интересно, в качестве приложения теоремы,
статья Эйленберга и Маклейна про ацикличные модели
как раз доказывает эквивалентность кубических
(правильно определенных) и симплициальных комологий.

http://www.jstor.org/stable/2372628

В мотивных когомологиях иногда используют кубические
комплексы, потому что там якобы какая-то комбинаторика
упрощается.

В алгебраической топологии всё давно уже делают через
симплексы, потому что от кубов, вроде бы, не легче.
Ну и опять же, определение проще, не нужно выкидывать
вырожденные сингулярные симплексы (вырожденные сингулярные
кубы -- нужно).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-09 12:09 (ссылка)
симплексы это легко и тривиально, а кубы это круто. они входят в моду. скоро у вас все будет кубическое, а не триангулированное симплексами, в математике. куб топологически более подвижная структура. там на "симплектических" морфизмах больше профита.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 21:20 (ссылка)
weiner_, залогиньтесь.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-11 04:23 (ссылка)
> См. например учебник
> Massey, Algebraic Topology: An Introduction.
> Springer GTM 56.


Перечитал специально. Там натурально всё подробно проделано для кубов вместо симплексов. Можно посмотреть, чтобы убедиться, что никаких улучшений это не даёт.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 05:09 (ссылка)
есть одно очень существенное улучшение
(Масси, видимо, про него не знал): доказательство
формулы Кюннета делается в одну строчку

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 05:42 (ссылка)
Знал конечно. Оно там всё сделано целиком и подробно.
Наверное, я запутался в книжках, это GTM 127.

С кубами явная формула для изоморфизма комплексов
C (X × Y) = C (X) ⊗ C (Y)
действительно много проще.

(Для симплексов будут шаффл-произведения, но вообще они не нужны:
сами Эйленберг и Зильбер для доказательства использовали
теорему об ациклических моделях.)

В других же местах от кубов не станет проще, а даже сложнее.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 12:28 (ссылка)
>В других же местах от кубов не станет проще, а даже сложнее.

так надо сразу же доказать, что через кубы и через симплексы
получаются одни и те же сингулярные когомологии, это 20 минут

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 17:27 (ссылка)
В этом месте поди будет точно такая же проблема.

Придумать отображение между комплексами несложно. Проверять, что оно
(квази)изоморфизм --- опять полезут злоебучие индексы и знаки,
и ничего понятно не будет.

Эйленберг и Маклейн используют ациклические модели, чтобы всего
этого избежать:
http://www.jstor.org/stable/2372628

Там всё довольно просто, но такое нет смысла "сразу же доказывать",
потому что хоть и просто, но не тривиально, а профита с кубов
практически ноль.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 17:31 (ссылка)
>Эйленберг и Маклейн используют ациклические модели, чтобы всего этого избежать

Но чтобы применить такое к кубам, если я не сошел с ума, надо сначала определить категорию кубов. А у нее ни одного внятного определения нет, все случайные и ад хок.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 20:54 (ссылка)
Речь про древнюю "теорему об ациклических моделях". Там в конечном
счете берутся функторы F_*, G_* из категории топологических
пространств в цепные комплексы, и если они удовлетворяют некоторому
свойству относительно стягиваемых пространств, то можно по индукции
продолжать цепные отображения F_i (X) --> G_i (X) на старшие
размерности, и все эти продолжения гомотопные.

Это примерно как продолжение морфизма на резольвенты.

Для функтора сингулярных симплексов и функтора сингулярных кубов
просто руками проверяется, что они удовлетворяют условиям теоремы.

На этом уровне это просто такой способ не писать комбинаторные
формулы с индексами сразу во всех размерностях, а ограничиваться
нулевой и первой.

Кстати, Масси делает ровно то же самое, чтобы доказать изоморфизм
C (X × Y) = C (X) ⊗ C (Y) в кубическом случае. Т.е. отображение
конечно записывается формулой, которая чуть-чуть проще
шаффл-произведения, но нужно еще доказать, что оно изоморфизм.

(Кому вдруг интересно, это GTM 127, Chapter XI, Section 4,5.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 21:26:03
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-11 22:57:19
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 23:32:53

[info]ab7a
2018-06-11 21:26 (ссылка)
Т.е. по уму теорема Эйленберга-Зильбера она про симплициальные
множества, но дедовскими методами можно и так.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 22:13:02

[info]kaledin
2018-06-11 14:50 (ссылка)
>доказательство формулы Кюннета делается в одну строчку

Ерунда. Отображение строится в одну строчку (а не в полторы). Что оно квазиизоморфизм пойди докажи еще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 17:08 (ссылка)
>Отображение строится в одну строчку (а не в полторы).
>Что оно квазиизоморфизм пойди докажи еще.

Так стандартный метод же, доказываешь для шаров, потом
Майер-Виеторис. Один слайд занимает.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-11 14:55 (ссылка)
>Масси, видимо, про него не знал

Знал конечно; просто оно несущественное (если не иметь на этом месте детской травмы).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 17:07 (ссылка)
существенно, я хотел прочесть им Кюннета
для сингулярных когомологий, но тот пиздец, который в Хатчере,
лучше вообще не трогать

а через кубы все делается сразу и очень просто

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 17:26 (ссылка)
Через симплексы тоже делается сразу и очень просто. Надо только разложить произведение двух симплексов в сумму симплексов; как именно, я пару дней назад написал. Минут 10 занимает если подробно (и одна картинка на доске). Совместимость с дифференциалом очевидна. Что в Хатчере, мне неведомо, я оттуда читал случайные 2 страницы, и решил больше никогда не читать ничего.

>а через кубы все делается сразу и очень просто

А до того? Уже нормализация у тебя займет полчаса, страшно контринтуитивная вещь. И все свойства типа гомотопической инвариантости доказывать заебешься (из-за нормализации).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 18:51 (ссылка)
>И все свойства типа гомотопической инвариантости доказывать заебешься (из-за нормализации).

А мне и не надо, мне надо только Майера-Виеториса (стандартный аргумент)
и лемму Пуанкаре (тоже стандартный)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-11 23:00 (ссылка)
лемму пуанкаре про шар? ты только с многообразиями что ли хочешь работать? зачем тогда сингулярные когомологии вообще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-11 23:05:48
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 23:35:15
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-12 00:02:13
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-12 00:48:08
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-12 01:27:28
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-12 01:42:51
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-12 05:33:26
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-12 15:06:28
(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-11 23:07:38
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-12 23:38:26

[info]kaledin
2018-06-11 17:40 (ссылка)
Т.е. вот тебе один пример пиздеца. Если просто тупо отфакторизовать по вырожденным кубам, ниоткуда не следует, что в факторе не будет кручения. А если оно вдруг есть, то формула Кюннета становится попросту неверна.

На самом деле, кручения нет (наверно, точно не проверял), потому что вырожденные кубы отщепляются в прямое слагаемое. Но в случае симплексов вот это место как раз комбинаторно весьма нетривиально, тут сидит эквивалентность Дольда-Кана (потому что разные вырождения не коммутируют, и пойди еще отщепи). С кубами будет еще хуже.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 18:50 (ссылка)
>А если оно вдруг есть, то формула Кюннета становится попросту неверна.

Само собой, но мне оно только тензор Q и нужно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 19:55 (ссылка)
Используй тогда де Рама, и не мучь бедных бразильцев своей версией интеграла данжуа.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]tiphareth, 2018-06-11 20:37:00

[info]grigori
2018-06-12 23:41 (ссылка)
в смысле? в пространстве кубов есть базис, состоящий из всех сингулярных кубов, профакторизоваться по вырожденным это просто убрать часть элементов этого базиса.
с сингулярными симплексами то же самое - нам же (на этом уровне) не нужно работать с любыми симплициальными множествами.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-13 01:27:48
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-13 03:48:38
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-13 04:10:47
(без темы) - [info]grigori, 2018-06-13 04:44:57
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-13 11:41:12

[info]grigori
2018-06-12 23:47 (ссылка)
я думаю не делается.
или у тебя есть этот аргумент в одну строчку?

реально проще всего доказать формулу кюннета с клеточными гомологиями, потому что клеточный комплекс произведения CW-комплексов это _буквально_ тензорное произведение клеточных комплексов

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-12 23:50 (ссылка)
>реально проще всего доказать формулу кюннета с клеточными гомологиями

да, само собой
но мой коллега их не очень рассказал
и мне не хочется ими пользоваться

по крайней мере независимость от клеточного разбиения
в такой версии совсем неочевидна

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2018-06-09 23:17 (ссылка)
https://mathoverflow.net/questions/3656/cubical-vs-simplicial-singular-homology

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-10 00:04 (ссылка)
Охуенно!!! Спасибище!!!
Матоверфлоу вообще рулит, надо было погуглить, да

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 14:25 (ссылка)
Use with caution -- в этом конкретном треде добрая половина ораторов не знают, о чем говорят. Завершается никокошевым вообще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-10 15:14 (ссылка)
а чем плох никокошев? ни разу не слышал про него

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 15:25 (ссылка)
Это некоторый... как бы сказать повежливее... короче, студент типа физик из Москвы, метафизическая интоксикация, уехал в америку не смог сдать кволы, зато прижился и процвел на матоверфлоу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 01:44 (ссылка)
Никокошев был активен на МО бог весть когда, причем в вопросах про "философию и интуицию", сейчас его там больше нет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 02:31 (ссылка)
Ну так и ссылка не новая (9й год).

А вообще познавательно, видно, чем живет модная молодежь. Перфектоиды у них теперь. Кубические комплексы очень удобны для перфектоидных пространств.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(без темы) - [info]ab7a, 2018-06-11 04:19:54
(без темы) - (Анонимно), 2018-06-11 12:51:32
(без темы) - [info]kaledin, 2018-06-11 14:52:57

(Анонимно)
2018-06-09 10:06 (ссылка)
Правильную книжку назовите, пожалуйста.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 21:27 (ссылка)
Sur quelques points d'algebre homologique.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-09 22:08 (ссылка)
Я, признаюсь, ожидал чего-нибудь вроде Weibel/Rotman.
Но прекрасно. Спасибо.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 00:04 (ссылка)
Ну а фигли ссылаться на пересказы, если есть оригинал.

Но Гельфанд-Манин синий тоже неплох (по модулю того, что там в каждом месте ошибка, т.е. надо читать осторожно).

(Ответить) (Уровень выше)


(Читать комментарии) -