Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2018-06-07 17:43:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Delerium - SPIRITUAL ARCHIVES
Entry tags:math

двойственно по Пуанкаре пересечению многообразий
Написал образцово короткое доказательство
двойственности Пуанкаре:
http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-09.pdf
как-то не ожидал даже. По этому случаю, образовался
лишний час, который следует забить доказательством
того, что произведение в когомологиях (де Рама)
двойственно по Пуанкаре трансверсальному
пересечению многообразий.

А какой самый простой способ сие увидеть, без
махания руками и по возможности элементарно?
Я чего-то ничего толкового сходу придумать не могу.

Привет



(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2018-06-07 23:53 (ссылка)
Хуй его знает, Миша.

(Ответить)


[info]grigori
2018-06-08 01:23 (ссылка)
твоё образцово короткое доказательство написано в ботте-ту. про произведение там тоже есть, через классы тома, но нужна теорема о трубчатой окрестности, совсем элементарно наверное не получится.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 03:07 (ссылка)
специально посмотрел
у них когомологии шара с компактным носителем занимают 3 страницы
вычислений, это пиздец какой-то (и еще страница на когомологии сферы)
уебох

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-08 05:40 (ссылка)
а, ну это они просто лемму паункаре два раза подробно прописали Про шар у тебя поинтереснее конечно, сначала не заметил.
про сферу у них упражение.

а ещё у тебя вообще ничего не написано про то, что нужна ориентация, а это вообще-то сильно важно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 11:00 (ссылка)
>про сферу у них упражение.

через индукцию и Майера-Виеториса
я долго придумывал, как там обойтись без индукции, но придумал:
доказываем, что инвариантные формы равны когомологиям, а их на сфере
очень легко найти, получается гораздо изящнее

>а ещё у тебя вообще ничего не написано про то, что нужна ориентация

забыл (но по дефолту все ориентировано, про это говорили)
поправлю сейчас, да

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 13:05 (ссылка)
>получается гораздо изящнее

Какое счастье, что меня когомологиям учил не ты. Впрочем, для бразильцев сойдет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 13:21 (ссылка)
лучше скажи, а почему не определяют сингулярные коцепи через
кубы вместо симплексов? я слышал, что там где-то засада, но не
могу вспомнить где

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-08 15:06 (ссылка)
https://mancunian.livejournal.com/2100630.html

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 16:59 (ссылка)
странно, что он про фальшивый диплом не написал
http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1475596.html
тоже ведь популярная тема, в свое время какие-то его друзья
по жежешечке прыгали и везде в комментах оставляли про еврейскую
мафию и фальшивого профессора Наждака

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-08 19:46 (ссылка)
Потому что это не помогает ровно ничему, но сильно усложняет комбинаторику. Коммутативного произведения над Z в когомологиях просто нет (в смысле, на DG уровне).

А так, вообще, одна из формальных причин, почему симплексы, это теорема Милнора: геометрическая реализация некоторым чудом коммутирует с произведениями, и вообще с конечными пределами. То, что в когомологиях есть хотя бы ассоциативное произведение на DG уровне, из этого следует (потому что из этого следует существование shuffle map).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 20:35 (ссылка)
это существенно упростит (а) определение произведения в сингулярных
когомологиях и (б) доказательство формулы Кюннета для сингулярных когомологий
в Хатчере и там и там дикий пиздец и ужас

я сингулярные когомологии в этот раз почти не рассказывал,
но по-моему это существенно упрощает

>в смысле, на DG уровне

есличо, я даже слова "функтор" не могу использовать,
потому что студенты его не знают

так что до DG уровня тут как до луны пешком

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 20:53 (ссылка)
>это существенно упростит (а) определение произведения в сингулярных когомологиях

Нет. Попробуй, увидишь. Если бы была разумная формула, она действовала бы и над Z, поэтому видно, что ее нету.

Внятное определение shuffle map я знаю и человечество знает, я его даже один раз в статье записал, но тебе это не поможет, потому что оно хоть и без единого индекса, но весьма категорное.

>так что до DG уровня тут как до луны пешком

Я не имел в виду им этого рассказывать. Но по факту, ты делаешь именно это, и полезно понимать, чего здесь сделать просто нельзя.

>в Хатчере и там и там дикий пиздец и ужас

В Хатчере вообще везде дикий ужас. Но на самом деле, ты не можешь внятно рассказать когомологии, не обьясняя ничего про топологию вообще (надстройки там, вот это все). В частности, использовать де Рама в качестве определения когомологий это жуткие костыли, и концептуально криво (когомологии не имеют никакого отношения к гладкости). Бразильцам, которые вообще занимаются динамикой, так лучше, чем никак, но красоты на этом пути не обретешь.

В книжках Постникова в предисловии довольно разумно описано, какие тут проблемы и почему они нетривиальные (грубо говоря, клеточные когомологии легко считать, про сингулярные легко доказывать свойства, с умножением отдельная засада). Возможно, разумный эксперимент это начать с пучков (типа там, у пучка фунций нет когомологий потому что разбиение единицы, и т.д.) Пучок это штука абстрактная, зато его когомологии имеют внятный смысл как препятствия к тому и сему.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 21:07 (ссылка)
>это существенно упростит (а) определение
>произведения в сингулярных когомологиях

Определение есть. Еслионо некоммутативно и неассоциативно
в ДГ-смысле, это никого ебать не должно, потому что все равно потом
ограничивается на когомологии. Мне нужно от него только то, что
оно равно произведению в когомологиях де Рама, а это как раз
просто доказать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 21:20 (ссылка)
>Определение есть.

Оно и в сингулярных есть.

Для начала, произведение на чем?

>Если оно некоммутативно и неассоциативно в ДГ-смысле

то оно не коммутативно и не ассоциативно. Т.е. надо отдельно выписывать формулы, почему оно ассоциативно и коммутативно "с точностью до гомотопии". Это охрененно просветляющее занятие, ага.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 22:32 (ссылка)
>Для начала, произведение на чем?

на кольце когомологий же

>Т.е. надо отдельно выписывать формулы, почему оно ассоциативно и коммутативно "с точностью до >гомотопии".

а нафиг? переопределить их через формулу Кюннета и пуллбак с диагонали и привет
все получается тривиально сразу же (но Кюннета надо доказывать, конечно)

>>Определение есть.
>Оно и в сингулярных есть.

Оно непонятное и я не в состоянии даже себе объяснить, что там (в Хатчере)
написано

индексы какие-то злоебучие

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 22:43 (ссылка)
>а нафиг? переопределить их через формулу Кюннета и пуллбак с диагонали и привет все получается тривиально сразу же (но Кюннета надо доказывать, конечно)

Кого переопределить? куда переопределить?

Тебе нужно умножение на комплексе (как без этого выписывать умножение в когомологиях, мне неведомо). Что за комплекс? -- какие члены, какой дифференциал?

Если есть симплициальное множество, то комплекс получается стандартным образом, причем в двух вариантах, можно обычный, можно нормализованный. Нормализаованный чуть лучше, т.к. дает эквивалентность категорий между симплициаьными абелевыми группами и комплексами, но это дело десятое, можно брать любой из двух. Если есть бисимиплициальное множество, то ему можно сопоставить либо произведение комплексов по каждому аргументу, либо ограничить его на диагональное \Delta и взять комплекс там. Отображение из одного в другое это как раз и есть shuffle map, а что оно квазиизоморфизм это теорема. Теорема нетривиальная, и хуже того, сильно завязанная на свойства \Delta -- если взять что-нибудь вместо \Delta, скорее всего нифига не выйдет.

>индексы какие-то злоебучие

Ну ты напиши формулу с кубами -- только правильную -- посмотри на нее, и убедись, что симплексы это только цветочки.

Для начала -- так какой все-таки комплекс?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 22:52 (ссылка)
>Тебе нужно умножение на комплексе
>(как без этого выписывать умножение в когомологиях, мне неведомо).

А мне ведомо. Формула Кюннета утверждает, что
H^*(X\times X) = H^*(X)\otimes H^*(X).
Берем два класса когомологий \alpha, \beta,
получаем класс \alpha\otimes \beta \in H^*(X\times X)
ограничиваем его на диагональ и привет.

То, что это равно умножению в когомологиях де Рама,
даже совсем плохому студенту должно быть ясно.

>Для начала -- так какой все-таки комплекс?

А никаких комплексов, однако. Без комплексов!

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 22:58 (ссылка)
>А мне ведомо. Формула Кюннета утверждает, что H^*(X\times X) = H^*(X)\otimes H^*(X).

Формула Кюннета и умножение в когомологиях это одно и то же.

>А никаких комплексов, однако. Без комплексов!

Какая тебе тогда разница куб или симплекс?

Но я с удовольствием посмотрю на определение когомологий без комплексов (и потом на доказательство формулы Кюннета). Я положим знаю, как это делать, но тебе не понравится совсем.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:00 (ссылка)
>на определение когомологий без комплексов

это-то зачем? конечно, когомологии комплекса (де рама)

но умножение на комплексах определять не обязательно

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:02 (ссылка)
>но умножение на комплексах определять не обязательно

Формула Кюннета это и есть умножение, это тождественно одно и то же (плюс тривиальное замечание про ограничение на диагональ).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-08 23:03 (ссылка)
>конечно, когомологии комплекса (де рама)

Wonderful -- в чем твой вопрос тогда? зачем тебе сингулярные или какие еще коцепи?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:05 (ссылка)
для образования студентов
одним де Рамом обходиться неприлично как-то
ну и над Z иногда приходится работать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:07 (ссылка)
Ок, тогда возвращаемся на круги своя. Ты спрашивал про "кубические коцепи". Какой комплекс, какой дифференциал?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:12 (ссылка)
я спрашивал, есть ли там какая-то засада
ты мне более-менее ответил, какая, для моих потребностей
таки никакой нет

однако странно, что ни Хатчер, ни Фукс-Фоменко их не используют,
многие вещи можно было бы изрядно упростить, если использовать и обычные
сингулярные, и кубические

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:18 (ссылка)
>для моих потребностей таки никакой нет

Для твоих потребностей там нет не только засады, а вообще ничего: ты пока что "кубические коцепи" даже не определил.

>многие вещи можно было бы изрядно упростить

Нельзя.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:23 (ссылка)
>ты пока что "кубические коцепи" даже не определил.

а в чем проблема повторить тоже, что и для симплексов?
дифференциал - сумма граней с присущей им ориентацией

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:36 (ссылка)
>дифференциал - сумма граней с присущей им ориентацией

А почему оно считает то, что надо?

Я сходу не помню, но в принципе не должно бы: потому что иначе у тебя был бы функториальный коммутативный ассоциативный квазиизоморфизм Кюннета, определенный над Z, а такого не бывает. Т.е. или компекс не то считает, или очевидное отображение Кюннета не квазиизоморфизм.

Что я точно знаю, это что если написать бар-комплекс для группы с кубами вместо симплексов, то -- хотя для абелевой группы так сделать можно -- ответ будет совершенно не тот.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:41 (ссылка)
>>дифференциал - сумма граней с присущей им ориентацией

>А почему оно считает то, что надо?

Функториально, когомологии стягиваемого
пространства такие же, как у точки из-за
гомотопической эквивалентности, Майер-Виеторис налицо, то есть
тот же индуктивный аргумент, что и везде, дает изоморфизм (ко)гомологий
кубических и сингулярных (для пространств, допускающих
покрытие стягиваемыми, где все пересечения тоже стягиваемые)

мне кто-то говорил, что оно не работает, но я не вижу, где именно
аргумент может сломаться

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:42 (ссылка)
>из-за гомотопической эквивалентности

откуда?

>Майер-Виеторис налицо

откуда?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:46 (ссылка)
когомологии стягиваемого пространства посчитать?
простое упражнение, однако

>>Майер-Виеторис налицо

>откуда?

http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-06.pdf
страница 11

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:59 (ссылка)
>когомологии стягиваемого пространства посчитать? простое упражнение, однако

Вперед.

Тебе нужно, что C_*(M) \cong C_*(M \times I), где I -- отрезок. Мне очень интересно, как ты это будешь считать.

>http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-06.pdf
>страница 11

Кошмар какой.

Но для многообразий может и прокатит, бог весть.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 03:02 (ссылка)
Очень просто:
если есть семейство отображений
f_t:[0,1]\times X \arrow Y,
получаем оператор F из n-цепей на X
в n+1-цепи на Y, причем верно
d F + F d= f_0-f_1, так что
f_0-f_1 действует на когомологиях нулем.
Дальше применяем это к гомотопии из тождественного
в отображение в точку.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2018-06-09 03:55 (ссылка)
щас, а почему оно на точке вычисляет то, что надо?

У точки есть один сингулярный 1-куб, его граница это ноль (разница концов, которые они одинаковы). Сингулярный 2-куб у точки тоже один, и его граница тоже ноль, потому что у квадрата четное число сторон. Получается класс в первых гомологиях точки!

видимо, надо факторизоваться по вырожденным кубам, чтобы оно нормально работало, а это точно повлечет много еботни

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 04:22 (ссылка)
ну значит, надо профакторизоваться, четам
спасибо, занятно

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 11:44 (ссылка)
Да, надо факторизоваться, причем надо еще понять, какие вырожденные, и какие отображения между кубами ты вообще учитываешь. По-видимому у кубов надо упорядочить образующие векторы, и допускать вложения граней/проекции вдоль граней, которые совместимы с порядком. Дифференциал про этом получится сложнее, чем в симплексах, отображение Кюннета возможно проще (за знаки не поручусь). Противоречия с коммутативностью нет, т.к. из-за упорядочивания оно все равно некоммутативно.

В сухом остатке, в кубах сложнее дифференциал, больше комбинаторки, и надо нормализовать, в симплексах проще комбинаторика и дифференциал, можно не нормализовать, но сложнее отображение Кюннета. Конечно, более сложный дифференциал в кубах "имеет геометрический смысл", но отображение Кюннета в симплексах его тоже имеет, триангуляция произведения двух симплексов, невелика премудрость. Поэтому, по-видимому, кубы и не прижились.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 21:36 (ссылка)
Кстати, на всякий случай, про отображение Кюннета (т.е. триангуляцию произведения симплексов). Комбинаторика там очевидная, если воспринимать симлекс как мн-во точек на отрезке с суммой ноль. Ты кидаешь два таких множества на отрезок, и видишь, что есть один дискретный инвариант -- в таком порядке точки перетасуются. Это и есть симплексы старшей размерности в триангуляции.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2018-06-09 15:57 (ссылка)
а как вообще определяется отображение на грани ?

это же должно быть отображение канонического куба, а его можно вложить даже
не сходу посчитаешь сколькими способами в грань; точнее, 2^n * n! способами,
если я не обсчитался.

это вложение причем надо согласовать, чтобы d^2 = 0. или нет ?

на симплексе есть каноническое вложение упорядочением вершин.

спасибо, очень хороший комментарий, объясняющий, в частности, почему в Ф.-Ф.
написано, что ~"гомологии, наоборот, легко считать, но трудно определить
и доказать корректность".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-10 21:53 (ссылка)
ну это как раз несложно - вершины куба это последовательности из нулей и единиц, грань задаётся уравнением "i-тая координата = c", чтобы на неё ограничиться, надо зачеркнуть c, знак зависит от того, ноль это был или единица

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2018-06-10 21:58 (ссылка)
а ну да.
почему-то со стороны гомологий мне это казалось более загадочно
(хотя действительно, наоборот, вложение грани есть добавление
пропущенной координаты, с соотв. знаком)

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2018-06-10 22:00 (ссылка)
погоди, а четность координаты не надо добавить ?
иначе ребро входит с одинаковым знаком от обеих граней, нет ?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-10 22:22 (ссылка)
точняк, надо

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2018-06-09 18:29 (ссылка)
то есть они конечно гомотопные, но, наверное, d^2 = 0 с точностью до гомотопии не очень хорошо ?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2018-06-09 03:42 (ссылка)
есть же ацикличные модели (гугенхайма? или кого-то ещё), которые более-менее говорят, что можно чем угодно ацикличным вычислять когомологии, кубами в том числе.

Значит, Кюннет должен быть не изоморфизмом (что я сходу не вижу, почему, наверное, упорядочение вершин разное получается?)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-09 03:57 (ссылка)
ой, они оказывается не ацикличные

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 11:45 (ссылка)
Ну да, упорядочивание вершин. Т.е. он квазиизоморфизм, если нормализовать (наверное), но несимметричный.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-09 05:11 (ссылка)
Нужно отфакторизовать вырожденные кубы.

Для симплексов и с вырожденными работает, а для кубов это важно.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2018-06-08 21:10 (ссылка)
>В частности, использовать де Рама в качестве определения когомологий это жуткие костыли

мне так проще было понимать
а что там есть еще и производная категория, особенно никому не нужно,
по крайней мере не первокурсникам

>Возможно, разумный эксперимент это начать с пучков

ну не на первом курсе же
граждане первый раз услышали от меня, что такое есть CP^n

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 21:18 (ссылка)
>а что там есть еще и производная категория

Слова не мальчика, но мужа. Уже почти на мехматском уровне.

Производная категория нахуй тут не нужна; а вот что когомологии определены для топ. пространств, а не для многообразий, это скрывать от себя и людей довольно глупо. В частности потому, что потом возникают всякие идиотское вопросы типа "как вычислить когомологии сферы".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 21:24 (ссылка)
>когомологии определены для топ. пространств

Предотвращая вопросы: для букета окружностей, например.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 22:29 (ссылка)
>а вот что когомологии определены для топ. пространств,

зачем скрывать?
у меня была теорема де Рама об изоморфности де рамовских когомологий
и сингулярных, например

>потом возникают всякие идиотское вопросы типа "как вычислить когомологии сферы".

клеточных когомологий как раз не было, Хатчера им пересказывал М. Б. потому что,
и он до этого места в Хатчере толком не добрался

то есть определение клеточных гомологий было, а изоморфизма клеточных
и сингулярных не было, и не очень предполагается

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 22:46 (ссылка)
Базовое свойство гомологий --- чуть ли не определение, вообще-то --- это что они при надстройке сдвигаются на 1. Если у тебя это было, никакой проблемы с вычислением когомологий сферы в принципе быть не может, "индукция" состоит в том, что n раз сдвинуть на 1 это то же, что 1 раз сдвинуть на n, и когомологии де Рама для этого нафиг не нужны (и незачем доказывать тривиальный факт с помощью серьезной теоремы). Если не было, увы тебе.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 22:54 (ссылка)
я не уверен, что была надстройка вообще
в любом случае, мне нужно было когомологии де Рама считать, а не
сингулярные, которые мне не по нраву

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2018-06-08 22:55 (ссылка)
>и незачем доказывать тривиальный факт с помощью серьезной теоремы

какой серьезной теоремы?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 22:59 (ссылка)
Что когомологии де Рама вычисляются инвариантными формами.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:03 (ссылка)
слушай, это не "нетривиальная теорема" же,
а доказывается за 3 строчки

\claim
Let $M=G/H$ be a homogeneous space, with $G$ connected and compact.
Denote by $\Lambda^*(M)^G$ the space of $G$-invariant
differential forms. Then {\bf \red the natural morphism of complexes
\[
\begin{CD}
\Lambda^0(M)^G @>d>> \Lambda^1(M)^G @>d>> \Lambda^2(M)^G @>d>> ... \\
@V\iota VV @V\iota VV @V\iota VV \\
\Lambda^0(M) @>d>> \Lambda^1(M) @>d>> \Lambda^2(M) @>d>> ...
\end{CD}
\]
induces an isomorphism on cohomology.}

\proof
Consider the averaging map
$\eta \stackrel \Av \arrow \frac {\int_{g\in G} g^*(\eta) dg}{\Vol(G)}$
where the volume and the integral is
taken with respect to a $G$-invariant measure $dG$ on $G$.
Since $g^*$ commutes with the de Rham differential $d$,
the map $\Av$ also commutes with $d$.
Since $g^*(\eta)$ is cohomologous to $\eta$
as shown above, the form $\Av(\eta)$ is cohomologous to $\eta$.
Therefore, $\iota$ is invertible on cohomology:
$\iota \circ \Av =\Id, \Av\circ \iota=\Id$.
\endproof

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:06 (ссылка)
>Since $g^*(\eta)$ is cohomologous to $\eta$ as shown above, the form $\Av(\eta)$ is cohomologous to $\eta$.

В этом месте лажа. Причем очевидная -- например, усредни по конечной группе.

В случае связной компактной группы, до аргумента оно доводится, но он не особо тривиален.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:09 (ссылка)
группа связная в условии

компактности не надо

демонстрирую предыдущий слайд
(который был нужен походу для того,
чтобы доказать лемму Пуанкаре)

\claim
Let $v$ be a vector field, and $\Lie_v:\; \Lambda^* M\arrow \Lambda^* M$
be the corresponding Lie derivative. Then {\bf \red $\Lie_v$
commutes with the de Rham differential, and acts
trivially on the de Rham cohomology.}

\proof
$\Lie_v=i_v d+di_v$ maps closed forms to exact. \endproof

\corollary
Let $V_t$, $t\in[a, b]$ be a flow of diffeomorphisms on a manifold $M$.
{\bf \red
Then the pullback map
$V_b^*$ acts on cohomology the same way as $V_a^*$.}

\proof
Since $(V_t^{-1})^*\frac {d V^*_t}{dt}(\eta)= \Lie_{X_t}(\eta)$,
this map it acts trivially on cohomology. Then
$V_b^*-V_a^*(\eta)=\int_{a}^b V^*_t\Lie_{X_t}(\eta)$ is exact for any closed $\eta$.
Therefore, $V_b^*(\eta)-V_a^*(\eta)$ is exact.
\endproof


(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:15 (ссылка)
Замечательно; но это прокатит только для окружности, а у тебя целая многомерная группа. Для каждого конкретного g конечно g^*\alpha - \alpha = d\beta, но дальше надо эти \beta тоже усреднять по группе, а они неканонические, и от g зависят случайным образом. Т.е. тупо проинтегрировать их нельзя.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:21 (ссылка)
какая разница? класс когомологий один и тот же

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:38 (ссылка)
Тебе нужно, что действие группы спускается до действия на когомологиях, причем такого, по которому можно усреднять (т.е. интегрировать). Первое ок, но второе ниоткуда не следует.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:44 (ссылка)
не понял, о чем ты

у меня есть действие группы на всех формах,
оно коммутирует с дифференциалом, и
индуцирует тождественное отображение на когомологиях

я беру форму, усредняю ее по компактной группе,
класс когомологий не меняется

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:51 (ссылка)
>не понял, о чем ты

Во-во -- ты даже не замечаешь.

>я беру форму, усредняю ее по компактной группе, класс когомологий не меняется

Откуда следует, что операция усреднения на когомологиях хорошо определена?

Разумеется, усреднение форм индуцирует какой-то эндоморфизм на когомологиях, но он уже никаким интегрированием по группе априори не задается, это надо доказывать (а точнее, надо доказывать, что интегрирование по группе на когомологиях вообще определено, т.е. что действие группы на них хотя бы измеримо). А если ты этого не доказал, то из того, что класс когомологий для каждого g тот же, совершенно не следует, что он тот же для усреднения.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 00:27 (ссылка)
Это факт линейной алгебры.

Пусть группа G непрерывно
действует на топологическом векторном пространстве.
Тогда определена операция "усреднения по группе". Эта операция
перестановочна с любым G-инвариантым линейным отображением
(непрерывным). Сие есть стандартный факт теории интегрирования.

У нас есть отображение проекции замкнутых форм в когомологии.
Оно (как уже доказано) перестановочно с действием G,
где действие на когомологиях определяется как тривиальное. Значит,
усреднение коммутирует с взятием когомологий.

Конечно, если студент дорос, он в этот момент спросит,
какую мы рассматриваем топологию, но данная группа студентов не могла
(в прошлом году спросили). Ответ понятно какой, C^1, она даже банахова

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 00:52 (ссылка)
>Пусть группа G непрерывно действует на топологическом векторном пространстве.

Во-во. Ключевое слово "непрерывно". Почему например образ дифференциала замкнут, и т.д. Я вообще не уверен, что оно делается без гармонической теории.

И кстати, группа конечно должна быть компактная.

>Конечно, если студент дорос

или если он очень смелый, и не поддается на proof by intimidation.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 02:56 (ссылка)
А зачем тебе нужно, что образ дифференциала замкнут?

>И кстати, группа конечно должна быть компактная.

Для усреднения? Само собой, у меня так и написано

> не поддается на proof by intimidation.

Да они, кажется, постоянно по группе усредняют
я специально спрашивал у разных групп студентов, все
вроде были хорошо знакомы (а вот с эрмитовым пространством
не все знакомы, такие чудеса образоватеъной системы)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 11:47 (ссылка)
>А зачем тебе нужно, что образ дифференциала замкнут?

Чтобы отображение из коциклов в когомологии было непрерывно! А иначе почему оно коммутирует с усреднением, и почему действие на когомологиях непрерывно?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 12:22 (ссылка)
>почему действие на когомологиях непрерывно

потому что оно там тривиально

>почему оно коммутирует с усреднением

потому что пусть a, b когомологичные формы,
a-b=dc, тогда Av(a)-Av(b) = d(Av c), так как
усреднение коммутирует с дифференциалом

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 12:27 (ссылка)
c нельзя усреднять, оно неконтроллируемым образом зависит от элемента группы (о чем я тебе уже раза 4 написал).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 12:32 (ссылка)
c вообще не зависит от элемента группы, это дифференциальная форма
дифференциальную форму всегда можно усреднять

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 12:50 (ссылка)
Это просто шедевр!!

Усреднять по чему, прости? по тому, от чего оно не зависит?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 13:46 (ссылка)
усреднять g^*(c) по g\in G

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 12:56 (ссылка)
Т.е. ок, в буквах, если слов мало. У тебя есть a, и a-g^*a = dc(g) для любого g. Отсюда следовало бы, что a - Av_g a = d Av_gc(g), если бы правая часть была хорошо определена. Но ниоткуда не следует, что она хорошо определена.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 13:45 (ссылка)
усреднение по компактной группе
хорошо определено и коммутирует с дифференциалом

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 14:35 (ссылка)
Усреднение это интегрирование; интегрировать можно только интегрируемые функции; соответствие g \mapsto c(g) неинтегрируемо, потому что выбор c в каждом g делается независимо. Это 5 и последнее повторение, извини.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 14:53 (ссылка)
>потому что выбор c в каждом g делается независимо

выбор c уже сделан, это одна форма
\int_G g^*(c)dg определен в силу общих соображений
(это интеграл от измеримой векторнозначной функции по пространству с мерой)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 15:06 (ссылка)
>измеримой

Это ниоткуда не следует (c(g) это любая форма, для которой dc(g)=a-g^*a, в разных g значения c(g) не связаны между собой никак, никакого g^*c там нет).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 15:22 (ссылка)
я выбираю c раз и навсегда, руководствуясь
d(c)=a-b
из чего получаю, что d\Av(c) = \Av(a)-Av(b)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 16:21 (ссылка)
>я выбираю c раз и навсегда

Где b это что? Если b=g^*a, то оно зависит от g. Если что-то еще, то что именно, и почему c существует.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 16:26 (ссылка)
В смысле, ты мне упорно зачем-то обьясняешь, что Av переводит когомологичные классы в когомологичные. Это тебя совершенно не спасает. Тебе нужно, что вот это индуцированное Av на когомологиях дается усреднением по (тривиальному) действию группы на когомологиях же, а это ниоткуда не следует. Или же, можно прямо пытаться доказать, что любое a когомлогично Av(a), но тогда будет проблема с усреднением c.

Короче, попробуй формально записать свое "очевидно, что", и устыдись.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 17:53 (ссылка)
Да без проблем, пусть a инвариантна, а b в том
же классе когомологий не инвариантна.
Тогда b = a + dc
\Av(b)= a + d(\Av c)

ибо \Av коммутирует с дифференциалом

вопросы?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 17:57 (ссылка)
>вопросы?

Да, конечно -- те же, что были с самого начала. Пусть есть замкнутая a. Где взять замкнутую инвариантную b в том же классе когомологий?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 20:08 (ссылка)
Ок, последний раз и подробно, раз уж ты своим упрямством меня в это втравил.

Ты хочешь сказать, что любое замкнутое а когомологично Av(a) = \Int_G(g^*a). Для этого есть два аргумента, оба не работают:

1. Форма a - g^*a точная для любого g, и a - Av(a) = \int_G (a - g^*a).

Не работает, потому что надо доказывать, что интеграл сохраняет точность форм (т.е. если у нас есть непрерывная функция на G со значениями в точных формах, то ее интеграл точен). Для этого надо знать, что про-во точных форм замкнуто, это весьма нетривиальный факт.

2. Напишем a-g^*a=d c(g) для любого g, тогда a - Av(a) = d\int_G c(g). Это не работает, потому что c(g) не обязано быть интегрируемо (чтобы оно вело себя прилично, надо бывирать не абы какие c(g), а это тоже весьма нетривиально).

Все, других аргументов нет, а в твоем "изящном доказательстве" огромная дыра.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 20:23 (ссылка)

А собственно и сегодня могу.
Рассмотрим семейство \Psi_t колоколообразных
функций, сходящихся в L^1 к дельта-функции в единице
(его можно явно выписать). Тогда
$a_t:= \int_G \Psi_t g^*(a) dg$
есть гладкое семейство форм, соединяющее
a и \Av(a), и с одним и тем же классом когомологий.
Дальше мы выписываем $\frac{da_t}{dt}$
через производные Ли и убеждаемся, что
оно точное: $\frac{da_t}{dt}=dc_t$,
и $c_t$ интегрируем по t, получая
гомологичность a и \Av(a).

По мне это уже какая-то патологическая
степень математической строгости, в то время
как оно всем и без того ясно,
особенно после того, как все много раз видели
доказательство леммы Пуанкаре тем же
способом (через производные Ли и гомотопии).

С таким же успехом можно и лемму Пуанкаре явной
гомотопией выписывать, с формулами.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 20:25 (ссылка)
> \Psi_t колоколообразных
> функций, сходящихся в L^1 к дельта-функции в единице

\Psi_0 должна быть константа, \Psi_1 дельта-функция, или наоборот

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 21:33 (ссылка)
>и с одним и тем же классом когомологий

эту фразу надо выкинуть (ты именно это дальше доказываешь).

>По мне это уже какая-то патологическая степень математической строгости

Хойбрехтс тоже так думал.

Ну т.е. ты или можешь обьявить это наглядной топологией, или вычислять когомологии сферы как обычно, или вот так вот.

Причем так вот я бы сказал, что хуже всего, потому что затеняет дело. То, что связная группа Ли тривиально действует на когомологиях в обсуждаемом смысле, это важный факт, но его лучше понимать в общем контексте (алгебры Ли, эквивариантные когомологии и т.д.), иначе получается трюкачество. А учитывая, что это всего лишь вычисляет когомологии сферы, очевидные из Майер-Вьеториса, получается дико.

>С таким же успехом можно и лемму Пуанкаре явной гомотопией выписывать, с формулами.

Так и надо, а как еще. Но там формула несложная, потому что группа однопараметрическая. А здесь \frac{da_t}{dt} пойди выпиши еще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 23:02 (ссылка)
>С таким же успехом можно и лемму
>Пуанкаре явной гомотопией выписывать, с формулами.

Выписывал, хуле
http://verbit.ru/ULB/GEOM-2015/slides-geom-ulb-10.pdf
умные студенты ярятся, а глупые ничего не понимают по-любому.
Давал им это как упражнение, эффект тот же. Причем пока они
это мне сдавали, я сам отупел до того, что перестал понимать
вообще что там происходит, потому что идиотство заразно. Нахуй
вообще такую жизнь.

Сейчас у меня новая охуенно простая
версия, без каких-либо вообще вычислений
http://verbit.ru/IMPA/TOP-2018/cohomology-04.pdf
и так гораздо понятнее.

Если найдется студент, который заметит ту нестрогость, которую
ты заметил, ему можно мой аргумент отдельно рассказать.
Но доебывание до мышей с неготовыми к таким проблемам студентами
ни к чему хорошему не приводит, они просто не видят, где там
могла бы быть дырка, и на объяснение того, где оно нестрого,
уходит больше времени, чем на затыкание.

>Хойбрехтс тоже так думал.

А потому что не надо по-глупому ссылаться на чужие работы, если ты
не разобрал доказательство. Заметь, к Петернеллу никто претензий
не предъявляет, ибо он не пользуется никакими результатами
вне их сферы применимости, а именно в том и была ошибка Д. Х.:
он заюзал аргумент Томаса, не разобравшись,
где он применим и где нет.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 23:12 (ссылка)
>Сейчас у меня новая охуенно простая версия

Так у тебя же есть формула, на странице 10. Так и надо конечно, более сложных формул нахуй не нужно. Но как у тебя доказана лемма Пуанкаре, все вполне строго, я не вижу проблем.

>Если найдется студент, который заметит ту нестрогость, которую ты заметил, ему можно мой аргумент отдельно рассказать.

Раз ты им это дело уже впарил, то переделывать ясно дело поздно, только запутаешь. Но на будущее, я бы советовал не повторять. Это не вполне пустое место и под ним много науки; сфера того не стоит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 23:20 (ссылка)
>Это не вполне пустое место и под ним много науки; сфера того не стоит.

Индуктивный аргумент работает ок, если у тебя
есть клеточные или симплициальные когомологии, если
они де рамовские, он довольно хуев, потому что на каждом
шаге надо строить эквивалентность когомологий k-сферы
и ее окрестности в n-сфере. А это концептуально разные
вещи, ибо там разные размерности, и походу придется
еще раз применять индукцию, чтобы доказать, что у них
одинаковые когомологии. Заметь, что слово "надстройка"
я вообще прозносить не могу, ибо она (почти) никогда
не гладкая, а я работаю в гладкой категории.

А вот усреднять по компактной группе Ли всегда хорошо и приятно,
и это самая естественная операция, ибо 3/4 задач геометрии
решаются усреднением, ну типа "найти функцию Грина
с источником в нуле" (я про ядро Ньютона)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 23:35 (ссылка)
>Индуктивный аргумент работает ок, если у тебя есть клеточные или симплициальные когомологии, если они де рамовские, он довольно хуев, потому что на каждом шаге надо строить эквивалентность когомологий k-сферы и ее окрестности в n-сфере. А это концептуально разные вещи, ибо там разные размерности, и походу придется еще раз применять индукцию, чтобы доказать, что у них одинаковые когомологии.

Одно стягивается на другое же?

>ибо 3/4 задач геометрии решаются усреднением

Это ок, но беда в том, что заметная часть ошибок тоже происходит при усреднении. Я бы поостерегся так уж по-кавалерски.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 23:39 (ссылка)
стягивается, конечно
но гомотопическую инвариантность когомологий де Рама
в полной общности (не на компакте) я не доказывал, ибо
там жесть какая-то, если вдаваться в детали
(ну типа: не все векторные поля продолжаются
с открытого подмножества)

я доказал им теорему де Рама, а из нее следует гомотопическая
инвариантность, ибо для сингулярных они ее уже знают

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 23:44 (ссылка)
А лемма Пуанкаре как же -- там тоже на компакте? неудобно.

Проблема с твоим общий аргументом вот в чем: по сути, ты говоришь, что постоянная форма обьема на компактной группе G гомологична дельта-функции в единице (и потому можно невозбранно усреднять). Это безусловно верно, но в явном виде красиво выписать трудно. Выписывать и не нужно, потому что фигли, там старшие когомологии одномерны... oh wait. Т.е. по хорошему, наверное надо все же выписывать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 23:56 (ссылка)
>А лемма Пуанкаре как же -- там тоже на компакте?

я ее отдельно доказываю, руками

>Т.е. по хорошему, наверное надо все же выписывать.

Учитывая, что нормальный (через симплексы)
подсчет (ко-)гомологий сферы у них уже был, я думаю, что перебьются.

Проблема в том, что на любой прямой вопрос вида "было ли у вас то-то"
они мнутся очень неуверенно, так что я даже то, что я уже рассказывал,
каждый раз повторяю. Соответственно, приходится все заново доказывать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 23:59 (ссылка)
>Учитывая, что нормальный (через симплексы) подсчет (ко-)гомологий сферы у них уже был, я думаю, что перебьются.

Тогда конечно перебьются.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2018-06-10 02:46 (ссылка)
Ну твоё доказательство без всяких изменений вполне себе доказывает, что если что угодно умножить на что-нибудь звёздчатое, то когомологии не поменяются, а для сферы тебе именно это и нужно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-10 03:26 (ссылка)
ну, будет одна индукция, а не две, зато
" если что угодно умножить на что-нибудь звёздчатое, то когомологии не поменяются" тоже придется доказывать

инвариантные формы по-любому симпатичнее

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 23:14 (ссылка)
А на странице 13 вранье конечно, я бы убрал.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]bors
2018-06-10 08:48 (ссылка)
А почему $\frac{da_t}{dt}=dc_t$ будет существовать где-либо кроме t=1?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-10 12:10 (ссылка)
семейство потому что гладко зависит от t

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-08 21:23 (ссылка)
>граждане первый раз услышали от меня, что такое есть CP^n

Они определение топологического пространства знают?

Если нет, то беда (и когомологий им не надо). Если да, то CP^n для когомологий нафиг не нужно. Так типа, один из примеров (а можно и другие приводить).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 22:26 (ссылка)
>Они определение топологического пространства знают?

знают

>Так типа, один из примеров (а можно и другие приводить).

а какие примеры, если никаких многообразий, кроме сферы и римановых
поверхностей, у них нет? Курс называется "топология многообразий"

проблема не в том, что они не знают про CP^n, проблема в том, что не
знают более-менее ничего, ибо первокурсники. Ни разу не слышали
про эрмитову структуру на векторном пространстве, например.

В любом случае, я не вижу никакого смысла преподавать любые
другие когомологии, пока нет де Рама, ибо (а) де Рама проще
вычислить и (б) они гораздо ближе к интуиции и не требуют ничего
континуальномерного (клеточные в этом плане еще лучше, но для
них ничего доказать нельзя без продвинутого инструментария)

Преподавать пучки начинающим я тоже несогласен,
нужно сначала накопить какой-то багаж примеров потому что
(или нужно потратить полкурса на пучки, если уж
совсем необходимо)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 22:47 (ссылка)
>(б) они гораздо ближе к интуиции и не требуют ничего континуальномерного

????

А пространство форм какой размерности, если не секрет?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 22:53 (ссылка)
над кольцом функций вполне себе конечно-порожденное

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:00 (ссылка)
А дифференциал что, линеен над кольцом функций? -- которое само какой размерности?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:07 (ссылка)
ну, с функциями ни у кого психологического дискомфорта
возникать не должно

а с комплексом сингуларных когомологий, наверное, должно

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:12 (ссылка)
>ну, с функциями ни у кого психологического дискомфорта возникать не должно

и совершенно напрасно.

У обычного человека конечно возникает -- как только "функции", сразу вопрос какой гладкости и в какой топологии (потому что рассматривать функции просто как векторное пространство противоестественно). И тут надо или подробно обьяснять, почему это неважно, или махать руками в духе наглядной топологии. И кстати, вот именно для бразильцев это может быть важно, потому что у них в динамике типичный пример многообразия это риманова поверхность бесконечного рода.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:14 (ссылка)
>сразу вопрос какой гладкости и в какой топологии

гладкие, а про топологию они не спрашивают
ибо топология на функциональных пространствах
это следующий уровень

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:16 (ссылка)
Ну и получается наглядная топология. Ну ок.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 23:22 (ссылка)
нет, просто анализ считается известным
ибо его они в теории должны были уже хорошо изучить
да и на практике, видимо, неплохо знают, типа рядов Фурье и всего такого

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 00:53 (ссылка)
Ну и наебывать с анализом всяко проще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 02:58 (ссылка)
ты еще про наждака спроси и фальшивый диплом

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 11:48 (ссылка)
Диплом-то здесь причем?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-08 22:49 (ссылка)
>а какие примеры, если никаких многообразий, кроме сферы и римановых поверхностей, у них нет?

CW-комплексы же простейшие, берешь и клеишь. Главное, что если есть Y \subset X, то можно Y стянуть в точку; с многообразиями такое не прокатит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 22:53 (ссылка)
а курс называется как?
правильно, топология многообразий

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-08 23:00 (ссылка)
Да хоть общей теорией всего назови. Толку-то; доказывать теоремы это не помогает.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 02:57 (ссылка)
я уже почти все доказал, что собирался
еще была теорема Хопфа, но там никаких проблем не намечается

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2018-06-09 03:34 (ссылка)
>а какие примеры
Нули вещественных и комплексных многочленов же, они же конфигурационные пространства механических систем.

Что любое топ. многообразие реализуется, как вещ алг, это теорема Нэша, если я не ошибаюсь; а не очень давно доказали, что достаточно плоской механической системы.

Это должно быть в книжке applied topology, кмк. Вообще примеры же это хорошо, а сферу Пуанкаре им определённо показать стоит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2018-06-09 03:35 (ссылка)
И немного морса туда ведь хорошо будет, это вполне многообразий. И да, ещё компактные группы же?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-09 05:23 (ссылка)
Есть кубические множества, у них тоже есть геометрическая реализация,
там наверное всё так же работает, но комбинаторика не проще ни разу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 20:25 (ссылка)
>там наверное всё так же работает

Я бы очень сильно удивился.

Теорема Милнора это некоторое чудо; внятное доказательство ее принаделжит Дринфельду, и оно существенно использует то, что симплекс это мн-во точке на отрезке. Для построения когомологий это несущественно, там вся сила теоремы Милнора не нужна.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 21:07 (ссылка)
Ага, я понял, о чем речь. Там выполняется формула |X⊗Y| = |X|×|Y|, но ⊗ --- это не произведение в категории кубических множеств. Вот тут оно обсуждается в разделе 2:
http://hopf.math.purdue.edu/Jardine/cubical2.pdf

(Это очень старая история. В 50-е топологи использовали кубы для определения сингулярных когомологий, и даже Кан работал с кубами в абстрактной теории гомотопий. Это к комментарию [info]tiphareth что кубов нигде не видно. С них как раз и начинали, но потом заменили симплексами.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 23:01 (ссылка)
Что-то я не очень верю Жардину. Он кажется не в курсе, что геометрическая реализация симплициального множества канонически гомеоморфна геометрической реализации его барицентрического подразбиения, и вообще не в курсе кучи всего про симплициальные множества. Здесь он в предисловии пишет, что любое симплициальное множество можно подразбить в регулярное, взяв барицентрическое подразбиение дважды -- но в его книжке этого нет, и в такой формулировке это вообще неверно (кучу времени на это потратил недавно, пришлось все изобретать самому). Кажется, он идиот.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 23:15 (ссылка)
Это просто первая попавшаяся ссылка, это что-то совсем древнее, сам же Жардин ссылается на статьи Кана.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-09 23:02 (ссылка)
А в теореме Милнора, отмечу, не только произведения, но и конечные пределы ("геометрическая реализация есть точка топоса симплициальных множеств"). Это настоящее чудо.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 23:11 (ссылка)
Ага, я знаю, но учил это по Габриэлю-Зисману и думал, что это не чудо, а какая-то комбинаторика.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 23:56 (ссылка)
Я этого, если честно, вооще не учил, слышал так типа краем уха, а выучил как раз по статье Дринфельда. Может и к лучшему.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2018-06-08 20:27 (ссылка)
делайте через кубы, неоссиляторы ебаные, тогда это будет круто, а от симплексов профита мало.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-09 01:47 (ссылка)
Да, кстати о шахматах: через комбинацию не пробовали-с?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-09 05:06 (ссылка)
А раньше как раз через кубы и определяли.

См. например учебник
Massey, Algebraic Topology: An Introduction.
Springer GTM 56.

Или тексты Серра по алгебраической топологии.
Там вроде кубы.

Никакой засады там нет, оно эквивалентное.
Просто легче от этого обычно не становится.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 05:18 (ссылка)
Что интересно, в качестве приложения теоремы,
статья Эйленберга и Маклейна про ацикличные модели
как раз доказывает эквивалентность кубических
(правильно определенных) и симплициальных комологий.

http://www.jstor.org/stable/2372628

В мотивных когомологиях иногда используют кубические
комплексы, потому что там якобы какая-то комбинаторика
упрощается.

В алгебраической топологии всё давно уже делают через
симплексы, потому что от кубов, вроде бы, не легче.
Ну и опять же, определение проще, не нужно выкидывать
вырожденные сингулярные симплексы (вырожденные сингулярные
кубы -- нужно).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-09 11:09 (ссылка)
симплексы это легко и тривиально, а кубы это круто. они входят в моду. скоро у вас все будет кубическое, а не триангулированное симплексами, в математике. куб топологически более подвижная структура. там на "симплектических" морфизмах больше профита.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-09 20:20 (ссылка)
weiner_, залогиньтесь.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-11 03:23 (ссылка)
> См. например учебник
> Massey, Algebraic Topology: An Introduction.
> Springer GTM 56.


Перечитал специально. Там натурально всё подробно проделано для кубов вместо симплексов. Можно посмотреть, чтобы убедиться, что никаких улучшений это не даёт.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 04:09 (ссылка)
есть одно очень существенное улучшение
(Масси, видимо, про него не знал): доказательство
формулы Кюннета делается в одну строчку

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 04:42 (ссылка)
Знал конечно. Оно там всё сделано целиком и подробно.
Наверное, я запутался в книжках, это GTM 127.

С кубами явная формула для изоморфизма комплексов
C (X × Y) = C (X) ⊗ C (Y)
действительно много проще.

(Для симплексов будут шаффл-произведения, но вообще они не нужны:
сами Эйленберг и Зильбер для доказательства использовали
теорему об ациклических моделях.)

В других же местах от кубов не станет проще, а даже сложнее.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 11:28 (ссылка)
>В других же местах от кубов не станет проще, а даже сложнее.

так надо сразу же доказать, что через кубы и через симплексы
получаются одни и те же сингулярные когомологии, это 20 минут

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 16:27 (ссылка)
В этом месте поди будет точно такая же проблема.

Придумать отображение между комплексами несложно. Проверять, что оно
(квази)изоморфизм --- опять полезут злоебучие индексы и знаки,
и ничего понятно не будет.

Эйленберг и Маклейн используют ациклические модели, чтобы всего
этого избежать:
http://www.jstor.org/stable/2372628

Там всё довольно просто, но такое нет смысла "сразу же доказывать",
потому что хоть и просто, но не тривиально, а профита с кубов
практически ноль.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 16:31 (ссылка)
>Эйленберг и Маклейн используют ациклические модели, чтобы всего этого избежать

Но чтобы применить такое к кубам, если я не сошел с ума, надо сначала определить категорию кубов. А у нее ни одного внятного определения нет, все случайные и ад хок.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 19:54 (ссылка)
Речь про древнюю "теорему об ациклических моделях". Там в конечном
счете берутся функторы F_*, G_* из категории топологических
пространств в цепные комплексы, и если они удовлетворяют некоторому
свойству относительно стягиваемых пространств, то можно по индукции
продолжать цепные отображения F_i (X) --> G_i (X) на старшие
размерности, и все эти продолжения гомотопные.

Это примерно как продолжение морфизма на резольвенты.

Для функтора сингулярных симплексов и функтора сингулярных кубов
просто руками проверяется, что они удовлетворяют условиям теоремы.

На этом уровне это просто такой способ не писать комбинаторные
формулы с индексами сразу во всех размерностях, а ограничиваться
нулевой и первой.

Кстати, Масси делает ровно то же самое, чтобы доказать изоморфизм
C (X × Y) = C (X) ⊗ C (Y) в кубическом случае. Т.е. отображение
конечно записывается формулой, которая чуть-чуть проще
шаффл-произведения, но нужно еще доказать, что оно изоморфизм.

(Кому вдруг интересно, это GTM 127, Chapter XI, Section 4,5.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 20:26 (ссылка)
>и если они удовлетворяют некоторому свойству относительно стягиваемых пространств

Ну да, но это надо проверять. В принципе, могла бы быть теорема, что если есть "хорошая" подкатегория A категории Top, все объекты ее стягиваемые, и дан "хороший" функтор из A в ацикличные комплексы, то он стандартным образом порождает гомологии. Но для кубов надо как минимум определить эту A, т.е. сказать, какие морфизмы берем. Ответ от этого вроде зависит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-11 21:57 (ссылка)
вроде как написано в википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Acyclic_model
это свойство это то, что сингулярные когомологии куба (топологического) нулевые.
Я правда не понимаю второго условия про то, что F_k has a basis in M_k и читаю его так, что кубический сингулярный комплекс это просто комплекс свободных модулей натянутых на некоторые морфизмы (собственно невырожденные сингулярные кубы), я один раз слышал доказательство, там вроде бы именно это нужно было

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 22:32 (ссылка)
Нет, там функтор сразу определен на всех топ. пространствах. Я имел в виду, что иногда его и определять достаточно на чем-то существенно меньшем (например, на \Delta).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ab7a
2018-06-11 20:26 (ссылка)
Т.е. по уму теорема Эйленберга-Зильбера она про симплициальные
множества, но дедовскими методами можно и так.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 21:13 (ссылка)
Вменяемый компромисс это перейти к (би)симплициальным множествам, а там теорема становится буквально утверждением о том, что все резольвенты одного и того же -- в категории бисимплициальных абелевых групп -- квазиизоморфны (без явного вида квазиизоморфима). Но с кубами такое не прокатит я думаю.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-11 13:50 (ссылка)
>доказательство формулы Кюннета делается в одну строчку

Ерунда. Отображение строится в одну строчку (а не в полторы). Что оно квазиизоморфизм пойди докажи еще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 16:08 (ссылка)
>Отображение строится в одну строчку (а не в полторы).
>Что оно квазиизоморфизм пойди докажи еще.

Так стандартный метод же, доказываешь для шаров, потом
Майер-Виеторис. Один слайд занимает.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-11 13:55 (ссылка)
>Масси, видимо, про него не знал

Знал конечно; просто оно несущественное (если не иметь на этом месте детской травмы).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 16:07 (ссылка)
существенно, я хотел прочесть им Кюннета
для сингулярных когомологий, но тот пиздец, который в Хатчере,
лучше вообще не трогать

а через кубы все делается сразу и очень просто

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 16:26 (ссылка)
Через симплексы тоже делается сразу и очень просто. Надо только разложить произведение двух симплексов в сумму симплексов; как именно, я пару дней назад написал. Минут 10 занимает если подробно (и одна картинка на доске). Совместимость с дифференциалом очевидна. Что в Хатчере, мне неведомо, я оттуда читал случайные 2 страницы, и решил больше никогда не читать ничего.

>а через кубы все делается сразу и очень просто

А до того? Уже нормализация у тебя займет полчаса, страшно контринтуитивная вещь. И все свойства типа гомотопической инвариантости доказывать заебешься (из-за нормализации).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 17:51 (ссылка)
>И все свойства типа гомотопической инвариантости доказывать заебешься (из-за нормализации).

А мне и не надо, мне надо только Майера-Виеториса (стандартный аргумент)
и лемму Пуанкаре (тоже стандартный)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-11 22:00 (ссылка)
лемму пуанкаре про шар? ты только с многообразиями что ли хочешь работать? зачем тогда сингулярные когомологии вообще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 22:05 (ссылка)
для общей интеллигентности

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 22:35 (ссылка)
По факту, будет "для воспитания отвращения к предмету".

Что в принципе неудивительно, нельзя же привить любовь к тому, что сам не любишь.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 23:02 (ссылка)
да там всего аргументов-то на полстраницы текста
мы здесь раз в 30 больше успели написать

>нельзя же привить любовь к тому, что сам не любишь

да просто игнорирую, потому что не в состоянии уследить за индексами,
когда их слишком много

в принципе, вопрос был такой: в Вышке много лет читали
когомологии второкурсникам в лучшем случае по Хатчеру, никто ничего
не понимал, и тогда топологию из программы просто нахуй выкинули
(по инициативе Бурмана, который ее читал, и убедился, что
прочесть их понятно просто невозможно; по-моему, у него все
доказательства в несколько раз сложнее, чем оптимум)

я поспорил со Львовским, что после оптимизации
доказательств можно рассказать когомологии
младшекурсникам в обьеме "двойственность Пуанкаре,
эквивалентность разных теорий когомологий, формула
Кюннета, форма пересечения, все над полем характеристики 0"
за полсеместра (если дифференциал де Рама уже был) или семестр,
но так, что будет понятно, и этим занимаюсь

Эквивалентность сингулярных когомологий с кубами и с симплексами
прекрасно в этот сценарий вписывается, ибо это очередное применение стандартного
аргумента, которое займет от силы 20 минут, зато у студентов не
будет возникать вопроса "почему именно симплексы", который
всегда возникал у меня

Второкурсники Вышки от второкурсников Импы отличаются
довольно мало, и те и другие знают анализ и больше ничего

Твои предложения делать все комбинаторно
и сразу через симплициальную или бисимплициальную
категорию приведут понятно к чему: целевая аудитория
не знает, что такое функтор, и половина из нее никогда
этого не узнает, и не факт, что способна вообще.
Геометрам категории в основном нафиг
не нужны. С другой стороны, желающие могут потом взять продвинутый
курс и узнать все про симлициальные категории. Моя задача - сделать
по-минимуму, но понятно для ребенка, без индексов, и с доказательствами
максимальной строгости, доступной целевой аудитории.

Рассказывать одного де Рама, по твоему прошлому предложению,
точно не надо: чтобы доказать гомотопическую инвартиантность
де Рама, надо перейти к сингулярным когомологиям, иначе никак,
а гомотопическая инвариантность это базовая вещь вообще

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 23:48 (ссылка)
>зато у студентов не будет возникать вопроса "почему именно симплексы", который всегда возникал у меня

Ха-ха. Не только у тебя; там длинный список начиная с Гротендика. И хорошего ответа человечеству неизвестно. "Как показала практика, так проще всего", а на самом деле хрен знает.

>чтобы доказать гомотопическую инвартиантность де Рама, надо перейти к сингулярным когомологиям

Да нет же. Для гомотопической инвариантности достаточно того, что у M и M \times I одинаковые гомологии (I это отрезок). Если ты готов на многообразия с краем, то это просто вот уже у тебя есть; без края надо чуть повозиться (уменьшая отрезок), но тоже не так уж дико сложно.

Что до индексов, то их в симплициальной науке не нужно вообще (как учат умные люди, в первую очередь Дринфельд). Надо просто серьезно воспринимать определение категории \Delta. Тогда n-симплекс -- это конфигурационное пространство n точек на отрезке (откуда и порядок на них), грани и вырождения тоже совершенно прозрачны, и триангуляция произведения совершенно очевидна. Знаки надо выписывать формулой конечно, но она во-первых несложная, а во-вторых тоже геометрически очевидная (из ориентации симплекса).

>и сразу через симплициальную или бисимплициальную категорию

Я тебе такого не предлагал, что я, больной что ли. Я типа про конфигурации точек, по рабоче-крестьянски типа (но на современный манер).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-12 00:27 (ссылка)
>без края надо чуть повозиться (уменьшая отрезок),
>но тоже не так уж дико сложно.

Даже для некомпактных сложно, ибо не любое векторное поле
продолжается с открытого подмножества на многообразие,
а значит, придется его обрезать, интегрировать,
и следить за фазовыми траекториями, чтобы они не налезали
куда не надо.

в пизду такую жизнь, правда
проще через сингулярные

> Надо просто серьезно воспринимать определение категории \Delta.

Слушай, но простой рабоче-крестьянский второкурсник Вышки
(как и импы) услышит определение категории в первый раз
на этом курсе, и прежде, чем он сможет им полноценно оперировать,
надо будет его полгода категориями жестко дрючить,
а весь курс полгода (или полсеместра, как в Вышке предлагается).

Я обыкновенно даю определение категории на любом своем
курсе, именно в надежде, что оно после этого отлежится,
и в следующий раз будет проще; и на этом, в принципе,
даю (в этот раз не дал, потому что М. Б. читал ту половину,
где следовало бы его дать, но оно там морально присутствует
в виде портретов Эйленберга и Маклейна). Но ожидать, что студент
придет готовый к этому определению, не надо.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-12 00:42 (ссылка)
>> Надо просто серьезно воспринимать определение категории \Delta.
>
>Слушай, но простой рабоче-крестьянский второкурсник Вышки
>(как и импы) услышит определение категории в первый раз
>на этом курсе

Ты вообще читаешь то, на что отвечаешь?

Определение \Delta надо знать лектору. Студенту достаточно (а по-моему, и необходимо) знать вытекающий из него взгляд на симплекс как на конфигурационное пространство точке на отрезке. С этой точки зрения, вся комбинаторика визуально очевидна, а индекса нет ровно ни одного.

Собственно, симплекс отличается от куба только тем, что точки упорядоченные.

Категорий на этом уровне вообще не должно быть. Естественное место в первый раз поговорить про категории например историческое, когда определяешь гомоморфизм Гуревича. Т.е. не в этом курсе уж точно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-12 04:33 (ссылка)
Покажи пример того что ты имеешь в виду: как рассказать
сингулярные когомологии для начинающего,
без индексов и без категорий. Я не видел,
все изложения, которые я видел, были с жуткими
индексами, без внятных мотиваций, и напоминали
определение определителя через разложение
по столбцу. То есть ебануться то чего
хлопотно, некрасиво и неинтуитивно.

Я потому и рассказываю де рамовские когомологии,
что они служат для всех прочих мотивацией.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-12 14:06 (ссылка)
>Покажи пример того что ты имеешь в виду: как рассказать сингулярные когомологии для начинающего, без индексов и без категорий.

Как ты рассказываешь это с индексами и категориями или нет?

Я просто говорю тебе, как внятно написать отображение Кюннета. Где оно в литературе, мне неведомо и неебет (кроме статьи Дринфельда, которую ты все равно не будешь читать, да и незачем).

Не хочешь, не бери.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2018-06-11 22:07 (ссылка)
но в принципе, там доказательство, которое работает для любого стягиваемого
пространства

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-12 22:38 (ссылка)
а собственно зачем тебе лемма пуанкаре, если для кубических и сингулярных когомологий гомотопическая инвариантность получается забесплатно.
Для кубических даже чуть попроще, потому что не надо триангулировать произведение симплекса на отрезок. Реально это единственное место, где работа с кубами упрощает жизнь - доказательство формулы Кюннета становится, наоборот, сложнее, как раз из-за того, что надо факторизоваться по невырожденным симплексам, так что оно того не стоит.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-11 16:40 (ссылка)
Т.е. вот тебе один пример пиздеца. Если просто тупо отфакторизовать по вырожденным кубам, ниоткуда не следует, что в факторе не будет кручения. А если оно вдруг есть, то формула Кюннета становится попросту неверна.

На самом деле, кручения нет (наверно, точно не проверял), потому что вырожденные кубы отщепляются в прямое слагаемое. Но в случае симплексов вот это место как раз комбинаторно весьма нетривиально, тут сидит эквивалентность Дольда-Кана (потому что разные вырождения не коммутируют, и пойди еще отщепи). С кубами будет еще хуже.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 17:50 (ссылка)
>А если оно вдруг есть, то формула Кюннета становится попросту неверна.

Само собой, но мне оно только тензор Q и нужно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 18:55 (ссылка)
Используй тогда де Рама, и не мучь бедных бразильцев своей версией интеграла данжуа.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-11 19:37 (ссылка)
я так и сделал, есличо
но таки с кубами некоторые вещи проще,
надо просто сразу доказать, что когомологии те же

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2018-06-12 22:41 (ссылка)
в смысле? в пространстве кубов есть базис, состоящий из всех сингулярных кубов, профакторизоваться по вырожденным это просто убрать часть элементов этого базиса.
с сингулярными симплексами то же самое - нам же (на этом уровне) не нужно работать с любыми симплициальными множествами.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-13 00:27 (ссылка)
Ок, ок.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-13 02:48 (ссылка)
а при чём тут дольд-кан, кстати?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-13 03:10 (ссылка)
Ну как? Тебе надо доказать, что, если забыть про крайнюю грань, то у тебя есть каноническое расщепление на вырожденные/невырожденные (а крайняя грань потом дает дифференциал). То очевидное, которое ты привел, наканоническое и вообще зависит от базиса. Нужно другое, построенное из граней и вырождений. Но хотя граней (без крайней) столько же, сколько вырождений, они все друг за друга зацепляются, поэтому доказать, что там действительно есть канонический идемпотент, не то что трудно, но не вполне тривиально. Теорема Дольда-Кана в этом и заключается более-менее.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-13 03:44 (ссылка)
я честно говоря никогда этого толком не понимал.

ты кстати летом в москве?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-13 10:41 (ссылка)
Ну плюс-минус.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2018-06-12 22:47 (ссылка)
я думаю не делается.
или у тебя есть этот аргумент в одну строчку?

реально проще всего доказать формулу кюннета с клеточными гомологиями, потому что клеточный комплекс произведения CW-комплексов это _буквально_ тензорное произведение клеточных комплексов

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-12 22:50 (ссылка)
>реально проще всего доказать формулу кюннета с клеточными гомологиями

да, само собой
но мой коллега их не очень рассказал
и мне не хочется ими пользоваться

по крайней мере независимость от клеточного разбиения
в такой версии совсем неочевидна

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2018-06-09 22:17 (ссылка)
https://mathoverflow.net/questions/3656/cubical-vs-simplicial-singular-homology

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-09 23:04 (ссылка)
Охуенно!!! Спасибище!!!
Матоверфлоу вообще рулит, надо было погуглить, да

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 13:25 (ссылка)
Use with caution -- в этом конкретном треде добрая половина ораторов не знают, о чем говорят. Завершается никокошевым вообще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-10 14:14 (ссылка)
а чем плох никокошев? ни разу не слышал про него

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-10 14:25 (ссылка)
Это некоторый... как бы сказать повежливее... короче, студент типа физик из Москвы, метафизическая интоксикация, уехал в америку не смог сдать кволы, зато прижился и процвел на матоверфлоу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 00:44 (ссылка)
Никокошев был активен на МО бог весть когда, причем в вопросах про "философию и интуицию", сейчас его там больше нет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-11 01:31 (ссылка)
Ну так и ссылка не новая (9й год).

А вообще познавательно, видно, чем живет модная молодежь. Перфектоиды у них теперь. Кубические комплексы очень удобны для перфектоидных пространств.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ab7a
2018-06-11 03:19 (ссылка)
Там же по ссылке Ронни Браун, весьма немолодой.

Видел премного кубических комплексов в статьях Марка Левина про мотивы (уже давно не модные, к счастью).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-11 11:51 (ссылка)
Новое — это хорошо забытое старое. Мода циклична.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-06-11 13:52 (ссылка)
>Там же по ссылке Ронни Браун, весьма немолодой.

Угу; но не он один.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2018-06-09 09:06 (ссылка)
Правильную книжку назовите, пожалуйста.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 20:27 (ссылка)
Sur quelques points d'algebre homologique.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2018-06-09 21:08 (ссылка)
Я, признаюсь, ожидал чего-нибудь вроде Weibel/Rotman.
Но прекрасно. Спасибо.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-06-09 23:04 (ссылка)
Ну а фигли ссылаться на пересказы, если есть оригинал.

Но Гельфанд-Манин синий тоже неплох (по модулю того, что там в каждом месте ошибка, т.е. надо читать осторожно).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]polytheme
2018-06-08 04:31 (ссылка)
да, я тоже вспомнил это, про то, что форма-представитель загоняется в окрестность подмногообразия.
но Миша в чем-то прав, она местами как-то чудовищно контринтуитивно написана, например
даже то, что класс эйлера нечетномерного расслоения равен нулю, которое можно
сказать очевидно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]grigori
2018-06-08 17:58 (ссылка)
у меня презумпция невиновности в отношении этой книжки, потому что она, кажется, единственная, в которой я прочитал хотя бы половину

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]polytheme
2018-06-08 21:54 (ссылка)
Я Ботта-Ту люблю адски, прочел её в 17 лет совершенно наркоманским образом и охуел.
Я бы её сделал потолще, конечно, слив с Милнор-Сташефф (вторая норкоманская книжка) и выдержав стайл. И, например, с теорией Морса еще.

У меня нет особой аллергии на вычисления, но я люблю, когда причина указывается тоже. Как, например, в суммировании Эйлера-Маклорена мне Безрукавников давно рассказывал смысловое рассуждение про выражение оператора конечных разностей через экспоненту от производной; оно "некорректное", но копает к сути.

Но вот в паре-тройке мест (в эйлере, и еще, помнится, про изоморфизм гомотопно индуцированных раслоений) я просто реально охуел. Сейчас я это вижу сверху и могу сам доказать, но тогда был расстроен чрезвычайно.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]bors
2018-06-09 09:11 (ссылка)
У Бредона, если правильно помню, тоже через класс Тома. Ну а что, вещь полезная, особенно в surgery theory (насколько полезна последняя - вопрос спорный), а это "топология многообразий" в прямом смысле.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ololo
2018-06-08 02:48 (ссылка)
Шрифт уебанский, будто его под прессом сжали.

(Ответить)


(Анонимно)
2018-06-08 14:19 (ссылка)
Картинок бы хоть добавил

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 14:28 (ссылка)
картинки на доске были

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2018-06-08 17:39 (ссылка)
Последние замечание на слайде 2
когомологии с компактным носителем это ковариантный функтор
Да, но только на категории открытых множеств, где стрелки --- включения.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-06-08 20:28 (ссылка)
угу

(Ответить) (Уровень выше)