это довольно интересно, но там самых базовых определений нет - неясно даже, что такое квазикогерентный аналитический пучок.
Если определять его просто как локально модуль над функциями, то теоремы картана про то, что у них когомологий нет, будут неверны.
Определение должно учитывать топологию на функциях как-то, и тут начинается очень много тонкостей. Самоочевидная идея это рассматривать
пучки фреше. Для них теорема картана верна (см книжку Spectral decompositions and analytic sheaves Путинара и Эшмейера),
но патологий тоже много, например, открытое вложение не будет плоским.
Слышал тезис, что правильный фреймворк это борнологические (инд-банаховы) пространства, но туда лучше без надобности не лезть.

когерентную производную категорию (точнее, производную категорию комплексов пучков с когерентными когомологиями --- в комплексном случае
важное уточнение) можно восстановить по алгебре Дольбо, это довольно-таки интересная деятельность. Этим разные люди занимались,
например, относительная неоднородная кошулева двойственность имени лёни п. (неопубликованная кажется нигде кроме как у него в жж) тоже
более-менее про это. Вот очень хорошая статья: http://research.ipmu.jp/ipmu/sysimg/ipmu/672.pdf