> Определение разумно, если про определяемый обьект потом
> можно построить теорию

глупая точка зрения. Про группы (цитирую Громова)
известно, что любое общее утверждение либо тривиально,
либо имеет очень сложный и неинтересный контрпример.
Из этого никак не следует, что само понятие группы
дурацкое. Eсли наложить осмысленные ограничения
(группа Ли, групповая схема, whatever), получаются
очень красивые теории.

То же и с банаховыми пространствами, сами они,
как и абстрактные группы, неинтересные, но есть
масса интересных теорий, которые получаются,
если наложить еще условия, типа C^*-алгебр,

Например, коммутативная банахова C^*-алгебра
это алгебра непрерывных функций на компакте, и
соответствующие категории эквививалентны.
Это утверждение ("теорема Гельфанда-Наймарка")
донельзя содержательное.

Такие дела
Миша