>Например, тот же внешний дифференциал проще записать в координатах

Не уверен.

>связность, ассоциированная с метрикой - небось в координатах её тоже определить проще

Не только не проще, это вообще по-моему невозможно понять. Я по крайней мере не понимал, пока мне не обьяснили. А именно, берешь любую метрическую связность, потом поправляшь так, чтобы убрать кручение; это возможно потому, что пространство кручений и простанство поправок одинаковые -- \Lambda^2 T \otimes T -- а отображение это проекция из сечений T^{\otimes 3}, кососимметрических по первым двум аргументам, в сечения, кососимметрические по второму и третьему. И то, что это изоморфизм, теперь нетривиально, но понятно. А когда то же записано в коодинатах через символы Кристоффеля, как в книжке Милнора например, то выглядит как мутный бред.