Кстати, может быть, я выпендриваюсь, но я не считаю правильным
популяризировать массы про топологию этим расхожим примером
про чашку и бублик.

Мне более животрепещущими кажутся такие примеры:

пространство прямых на плоскости гомеоморфно листу Мёбиуса
(это имеет смысл при изучении преобразования Радона,
в контексте, например, той самой "компьютерной"
[т.е. на самом деле рентгеновской] томографии)

или

пространство вращений твердого тела гомеоморфно трехмерному
проективному пространству - пространству прямых в четырехмерном
пространстве, проходящих через фиксированную точку
(что тоже вполне прикладные аспекты имеет - касательно
того же твердого тела - самолета, вертолета, ракеты)