>"Доказательство" это не математический обьект
да, но это не умаляет его важности для математики

Я не читал Ловера, я знаю как определять топос-точку без понятия множества (если он это делает), но если в результате получается категория с какими-то абстрактными объектами, типа множествами, но с хорошо определенными стрелками с понятными свойствами, то я согласен что это звучит хорошо и комфортно.

> для Гильберта, базовым надежным уж точно существующим обьектом были положительные целые числа; с современной точки зрения, базовый обьект это категория конечных множеств, а число это так типа, обозначение для класса изоморфизма обьектов в ней

ну типа и с бесконечными множествами люди как-то так думают. Есть стандартные конструкции, можно добавлять аксимоы существования недостижимых кардиналов: омега, всякие произведения и степени омеги, ординалы в какой-нибудь записи, с помощью предикатов определяются подмножества этих множеств. Конечно бывают счетные модели этого всего богатства, по понятным причинам, и в целом структура гораздо сложнее скелета категории конечных множеств, но картинка перед глазами какая-то такая, у меня по крайней мере.