Настроение:	tired
Музыка:	Чернила для пятого класса - МАЛОЛЕТКА
Entry tags:	arxiv, mathematics

Hodge theory on nearly Kaehler manifolds
Выложил статью
"Hodge theory on nearly Kaehler manifolds"
http://arxiv.org/abs/math.DG/0510618

NK-многообразия это почти комплексные многообразия,
по проявлениям очень похожие на обыкновенные
(3-мерные) многообразия Калаби-Яу; я писал про них
довольно подробно вот тут. С одной стороны, они
интересны тем, что на них решаются те же уравнения
струнной физики, что на обыкновенных Калаби-Яу
("type IIB String Theory equations"). С другой
стороны, на них натянуты конические особенности
G_2-многообразий, которые в физических приложениях
еще важнее обыкновенных Калаби-Яу, ибо из них
получается M-теория.

С тех пор, как NK-многообразия придумали в конце 1960-х,
почти все теоремы про них имели вид "есть классификация
многообразий, обладающих свойством X, можно доказать,
что все такие многообразия - либо такие, либо такие
(перечисляются разные классы), либо nearly Kaehler".
Исключений всего два - это теорема В.Ф.Кириченко
о том, что NK-многообразия допускают связность
с кручением, которое (относительно этой связности)
параллельно, и теорема Хитчина (и другая
такая же теорема, полученная мною и в
другой, более слабой форме - Брайантом)
о том, что NK-многообразия суть минимумы
различных естественных функционалов.

Теперь мне удалось вывести алгебраически
соотношения между различными естественные
дифференциальными операторами на NK-многообразиях,
следуя более-менее той же модели, из которой
выводят теорию Ходжа на обыкновенных кэлеровых
многообразиях. Поскольку NK-многообразие
не комплексное, у оператора де Рама есть
четыре ходжевы компоненты (две обычные -
типа (0,1) и (1,0) и две C^\infty-линейные,
типа (2,-1) и (-1,2), получаемые из тензора
Ниейнхуйса). Так вот, каждую из этих компонент
можно прокоммутировать с оператором Ходжа
\Lambda (сопряженным с умножением на эрмитову
форму), и получить нечто, пропорциональное
оператору, сопряженному с комплексно
сопряженной компонентой. Это же верно
и на обычном кэлеровом многообразии,
и там из этого сразу следует, что половина
лапласиана, связанного с оператором де Рама,
равна лапласианам, связанным с двумя дифференциалами
Дольбо. На NK-многообразии все несколько
более странно - там почему-то лапласиан
де Рама равен сумме двух лапласов:
\[
\Delta_d = \Delta_{d^{1,0}-d^{0,1}} + \Delta_{d^{2,-1}+d^{-2,1}}
\]
Первый из них связан с разностью (0,1) и (1,0)-компонент
де Рама, а второй - с суммой (2,-1) и (-1,2)-компонент.
Почему сие получается (то есть какая мораль у этой
формулы), мне неведомо, но теория Ходжа для
компактного NK-многообразия из этого соотношения
вытекает сразу.

Привет