Re: Нужен совет
Тут главная проблема та, что отметил Миша: гомологическая алгебра это язык. Поэтому заниматься ей абстрактно, без приложений, не получается. Ну т.е. разные люди делают такое, но получается непонятно что. Я, например, гомологическую алгебру как метод очень люблю и всегда ее применяю; но каждый раз на поверку оказывается, что нужного утверждения в литературе нет, или его невозможно выкопать из-под кучи абстракций, и проще сделать все самому.

Это не уникальная ситуация, с функциональным анализом примерно так же происходит.

При этом в этой науке много не сделано, и действительно много очень делается прямо сейчас. В основном из-за того, что возникли новые приложения: к физике (топологические теории поля и прочие объекты такого рода, возникающие в струнах), к теории чисел. Кроме того, есть алгебраическая топология. Эта наука по большей части инкапсулировалась и неинтересна; зато некоторый кусок, в основном связанный с алгебраической K-теорией, страшно развивается и очень интересен (ключевые слова здесь "топологические циклические гомологии"). По нынешним временам, эта деятельность вплотную пересекается с собственно гомологической алгеброй, одно переходит в другое без границы.

В общем, я бы не советовал начинать занятия математикой с гомологической алгебры -- пока у вас нет в голове приложений, это опасно, вы можете потратить много времени на переливание из пустого в порожнее, которое потом все равно никому не понадобится. Лучше найти какую-нибудь более конкретную задачу, и от нее уже плясать.

Из тех, кто такими вещами занимается успешно, мне кажется наиболее интересными: Бертран Тоен (в Тулузе), Бернард Келлер (в Париже кажется), из топологов Ларс Хесселхолт (он был в MIT, но сейчас окончательно перебрался в Нагою). Еще Пирашвили.

В Америке традиционно много алгебраических топологов, но мне как раз кажется, что интересные вещи в этой науке происходят скорее не в Америке, а в Америке оно как-то все скисло; скажем, Питер Мэй с соавторами я вообще не понимаю, чем и зачем занимается. Впрочем, есть такой человек Goodwillie, он судя по статьям хороший и толковый (правда, сейчас он уже скорее классик этой науки, не знаю активен ли, но у него есть ученики).

Конкретно в Монреале я, как и Миша, знаю только Юртубиса, который скорее дифференциальный геометр.