Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2010-01-23 21:18:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Для связи.
Комменты скринятся


(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

вопросы
[info]dmitri83
2007-04-08 21:35 (ссылка)
У меня несколько вопросов по листку Алгебра 11 (теория Галуа).

1) Какое ожидается доказательство в задаче 11.1 (то, что K[t]/(P)
\cong K^n, где степень P равна n и у P ровно n различных корней в
K)? Я знаю доказательство, использующее китайскую теорему об остатках,
но мне кажется, что хоть оно и несложное, "на ровном месте" к нему
прийти маловероятно. В общем, хотелось бы знать, какое именно
доказательство вы имели в виду и какую задачу из листка 9 предлагается
использовать.


2) Аналогичный вопрос по 11.5. Можно доказывать, что расширение
[\Q[\zeta]:\Q] (\zeta - корень простой степени p из 1) - расширение
Галуа, представивив \Q[\zeta] как Q[t]/{(X^p-1)/(X-1)}. Тогда надо
доказывать неприводимость (X^p - 1)/(X-1), и это наверное можно как-то
сделать "голыми руками", но появись эта задача страницей позже, можно
было бы просто сказать, что Q[\zeta] это поле разложения X^p-1. По
прежнему интересует, каков был замысел составителя :-)

3) В задаче 11.32 требуется доказать, что для примитивного элемента a,
\nu_1(a), ..., \nu_n(a) линейно независимы (где \nu_i пробегает группу
Галуа расширения). Но для расширения [\C:\R] получаем i и -i. Имелось
в виду, что надо брать только нетривиальные автоморфизмы? И ещё: для
чего эта задача, где она потом используется?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: вопросы
[info]tiphareth
2007-04-12 21:08 (ссылка)
Спасибо за письмо!

>Какое ожидается доказательство в задаче 11.1 (то, что K[t]/(P)
>\cong K^n, где степень P равна n и у P ровно n различных корней в K)?

Надо построить гомоморфизм колец из K[t]/(P)
в K\oplus K \oplus ... (p раз), отобразив t
в (\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_n), и убедиться,
что это изоморфизм, по соображениям размерности.

Действительно, если P_1(t) при таком гомоморфизме
переходит в ноль, то P_1 делится на P, что ясно
из деления в столбик.

>Аналогичный вопрос по 11.5.

А все корни степени p являются степенями
примитивного. Соответственно, X^p - 1 имеет p
корней в [\Q[\zeta]:\Q], и утверждение следует
из задачи 11.2. Неприводимость кругового полинома предполагается
известной (возможно, это мой недосмотр: не помню,
было ли это раньше - должно было).

>В задаче 11.32 требуется доказать, что для примитивного элемента a,
>\nu_1(a), ..., \nu_n(a) линейно независимы (где \nu_i пробегает группу
>Галуа расширения). Но для расширения [\C:\R] получаем i и -i.

Там требуется доказать, что \nu_1(a), ..., \nu_n(a) линейно независимы
(без a). То есть для [\C:\R] все правильно.

>И ещё: для чего эта задача, где она потом используется?

Например, для того, чтобы доказать, что порядок группы Галуа
равен порядку расширения поля.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


(Читать комментарии) -