| 1:13a |
.
Напишу сюда, вдруг кто (например я через эн лет) прочитает и что скажет.
Зададим такой вопрос: как геометрически охарактеризовать компактные кэлеровы многообразия, допускающие неалгебраические комплексные структуры?
Есть известный критерий: на таком многообразии должны существовать голоморфные 2-формы (иначе все вещественные 2-классы типа (1,1), а кэлеровы в них образуют открытый конус, значит можно найти рациональный кэлеров класс и вложить многообразие в проективное пространство по Кодаире).
Этот критерий явно не является достаточным: например, на поверхности большой степени в $\P^3$ голоморфных 2-форм полно, но любая ее малая деформация снова будет общего типа, а значит алгебраична.
Какие есть источники примеров?
1. Твисторные семейства -- они обобщаются в принципе до любых многообразий с численно тривиальным каноническим классом. То есть многообразие с численно тривиальным каноническим классом допускает неалгебраическую комплексную структуру тогда и только тогда, когда на нем есть ненулевая голоморфная 2-форма (это я в принципе умею доказывать, самая сложная часть там была с плоским случаем, но он сделан в моем тезисе)
2.Главные торические расслоения. Там примерно такая философия: главные A-расслоения (давайте пока считать что A коммутативна) классифицируется первыми когомологиями базы с коэффициентами в пучке функций со значениями в A. Когомологии можно брать аналитические или этальные. Если взять класс, который лежит в аналитической группе когомологий, но не приходит из этальных, конструкция будет не алгебраической и тотальное пространство алгебраическим не будет. Другая точка зрения на то же самое: этальные классы соответствуют точкам кручения в группе когомологий, они же -- расслоениям, допускающим мультисечения. В алгебраическом мире у всего есть мультисечение, если группа когомологий имеет положительную размерность, почти все точки имеют бесконечный порядок, и следовательно у расслоения нет мультисечения, а значит тотальное пространство не алгебраично.
Дословно это работает в случае, когда A это комплексный тор, а обобщать это особо не куда, потому что других компактных комплексных групп Ли не бывает. Можно рассматривать расслоения с достаточно большой группой автоморфизмов слоя, например на проективные пространства, но там это не будет работать, не потому что на когомологиях не будет групповой структуры (хотя и это тоже), а потому что я сильно подозреваю, что расслоение на рационально связные многообразия над проективным проективно (доказывать кажется не умею?). Что происходит в случае неглавных расслоений на торы в размерности больше 2 понимать очень сложно, хотя идеологически там примерно такая же машинерия должна работать.
3. Есть примеры Вуазен. Напомню, что Вуазен закрыла гипотезу Кодаиры о том, что всякое компактное кэлерово многообразие деформируется в проективное, построив примеры кэлеровых многообразий, гомотопически не эквивалентных никакому проективному.Примеры из первой серии были бирациональны торам, дальше она придумал односвязный вариант и вариант, когда в бирациональном типе все многообразия такие. Все эти примеры по видимости жесткие и по своему искусственные, и от того получается еще более интригующе -- вот как найти внятный топологический инвариант, различающий проективные и кэлеровы многообразия? Ведь все результаты о топологии кэлеровых многообразий на 99% либо получаются чисто аналитическими методами, либо переговариваются на аналитическом языке (типа как трудная теорема Лефшеца обобщает классическую, ну насколько это имеет смысл).
При этом, инфинитезимально-то ситуация выглядит очень простой: имеется умножение (имени Кодаиры-Спенсера) H^1(X, TX) \o H^{1,1} \to H^{0,2} и неалгебраические деформации касательны к тем классам \xi \in H^1(X, TX), которые умножаются не нулем на всякий обильный дивизор (потому что тогда она трансверсальна локусу Нетера-Лефшеца каждого обильного дивизора). Иными словами, у нас есть счетный набор классов в H^{1,1}, каждый из них задает подпространство (ядро умножения) в H^1(X, TX), и мы хотим понять, когда объединение этих подпространств не заметает все, или, что то же самое, когда каждое подпространство является собственным.
Наверное, самый разумный подход к этому вопросу -- через "йогу Кампаны" о развинчивании кэлеровых многообразий, типа оно отображается на орбиобразие общего типа, слой -- специален по Кампане, у него есть "сердцевина", которая Калаби-Яу, и над ней навешано что-то отрицательной кодаировской размерности. Но там сразу начинается бирациональная геометрия, во-первых тяжелая, а во-вторых, по состоянию на момент написания Кампаной соответствующего опуса довольно сильно не доделанная (он там все время в предположении каких-то гипотез все делает). В третьих, как показывает пример Вуазен, этот вопрос может быть весьма чувствителен к бирациональной замене.
Однако все равно конечно складывается впечатление, что в неалгебраических многообразиях где-то далеко должны сидеть гиперкэлеровы многообразия или торы, но "сидеть" в достаточно обобщенном смысле.
Другой путь -- начать раскручивать алгебраическую редукцию, типа взять ее и надеяться продеформировать ее в "прямое произведение", ну не буквально конечно, но например доказать гипотезу Кодаиры для многообразий, у которых слои алгебраической редукции алгебраичны. Дальше работать уже с общим слоем, и т.д., и в итоге свести все к многообразиям алгебраической размерности ноль, которые согласно еще одной безнадежной гипотезе все являются гиперкэлеровыми многообразиями или торами.
Но там снова начинают перемешиваться бирациональные проблемы и деформации и становится невозможно жить.
Кстати, я какое-то время думал, что наличие 2-формы постоянного ранга является достаточным условием, но это не верно. Контрпримером является проективизация негиперголоморфного векторного расслоения над гиперкэлеровым многообразием.
Какой-то жутковатый у меня вкус, конечно. |