Полные метрические пространства
Пусть X --- метрическое пространство. Тогда можно рассмотреть следующие два свойства.

1) Любая последовательность Коши в X сходится.
2) Для любой пары (Y,Y') из метрического пространства Y и его плотного подпространства Y' любое равномерно непрерывное отображение Y' \to X продолжается до непрерывного отображения Y \to X.

Общеизвестно, что (1) \implies (2). Похоже, обратное тоже верно.

Доказательство.
Рассмотрим множество точек отрезка [0,1] вида 2^{-n}, где n \in \N_0, которое обозначим через N'. Пусть N --- это N' \cup \{0\}.
Тогда последовательность --- это отображение N' \to X, а предел последовательности соответствует непрерывному продолжению этого отображения на N. Последовательность является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда соответствующее отображение N' \to X равномерно непрерывно. Конец доказательства.

Должно быть, просто суперстандартный факт. Но как-то, мне кажется, он менее популярен, чем должен был быть.

Tags: math